Ahmův matematický papyrus (také známý jako Rinda Papyrus nebo Rhindův papyrus ) je staroegyptská učebnice aritmetiky a geometrie z 12. dynastie Říše středu (1985-1795 př. n. l.), přepsaná ve 33. roce vlády Král Apopi (kolem 1550) př. n. l. od písaře jménem Ahmes na papyrusovém svitku [1] . Jednotliví badatelé[ kdo? ] naznačují, že papyrus dynastie XII by mohl být sestaven na základě ještě staršího textu z III. tisíciletí před naším letopočtem. E. Jazyk: středoegyptština , písmo: hieratické .
Ahmesův papyrus byl objeven v roce 1858 v Thébách a po svém prvním majiteli je často nazýván Rhind (Rhind) papyrus. V roce 1887 papyrus rozluštili, přeložili a vydali G. Robinson a K. Schute [2] . Většina rukopisu je nyní v Britském muzeu . Skládá se ze dvou částí: BM 10057 (32 cm × 295,5 cm) a BM 10058 (32 cm × 199,5 cm). Mezi nimi by měl být kousek asi 18 cm dlouhý, který se ztratil. Některé fragmenty, které částečně vyplňují tuto mezeru, byly objeveny v roce 1922 v muzeu New York Historical Society [3] .
Papyrus Ahmes obsahuje podmínky a řešení pro 84 problémů a je nejúplnější egyptskou knihou problémů, která se dochovala dodnes. Moskevský matematický papyrus , který se nachází v Puškinově státním muzeu výtvarných umění, je v úplnosti (skládá se z 25 úkolů) horší než Ahmesův papyrus, ale svým stářím jej předčí.
V úvodní části Ahmesova papyru je vysvětleno, že je věnován „dokonalému a důkladnému studiu všech věcí, pochopení jejich podstaty, poznání jejich tajemství“. Všechny úkoly uvedené v textu jsou v té či oné míře praktické povahy a lze je uplatnit ve stavebnictví, vymezování pozemků a dalších oblastech života a výroby. Z velké části se jedná o úlohy na hledání obsahů trojúhelníku, čtyřúhelníků a kružnice, různé akce s celými čísly a alikvotními zlomky , proporcionální dělení, hledání poměrů. K vyřešení mnoha z nich byla vyvinuta obecná pravidla.
Zároveň je v papyru řada důkazů, že matematika ve starověkém Egyptě přerostla výlučně praktickou etapu a získala teoretický charakter. Takže egyptští matematici byli schopni zakořenit a pozvednout se k moci znali aritmetickou a geometrickou posloupnost (jedním z úkolů Ahmesova papyru je najít součet členů geometrické posloupnosti). Mnoho problémů, které se týkají řešení rovnic (včetně čtvercových) s jednou neznámou, je spojeno s použitím speciální hieroglyfové „množiny“ (analog latiny , tradičně používaného v moderní algebře) k označení neznámého, což naznačuje návrh. základů algebry .
Ahmesův papyrus, stejně jako moskevský matematický papyrus, ukazuje, že staří Egypťané se snadno vyrovnali s měřením plochy trojúhelníku a poměrně přesně určili aproximaci čísla , zatímco na celém starověkém Blízkém východě bylo považováno za rovné třem. . Papyrus však svědčí i o nedostatcích egyptské matematiky. Například plocha libovolného čtyřúhelníku v nich se vypočítá vynásobením polovičních součtů délek dvou párů protilehlých stran , což platí pouze ve zvláštních případech (například v obdélníku). Pro lichoběžník je tento vzorec nesprávný, ale Egypťané znali a používali správný vzorec. Kromě toho se také upozorňuje na skutečnost, že egyptský matematik používá pouze alikvotní zlomky (ve tvaru , kde je přirozené číslo). V jiných případech byl druhový zlomek nahrazen součinem čísla a alikvotního zlomku , což často komplikovalo výpočty, i když v některých případech je to mohlo usnadnit.
Egypťané prováděli násobení a dělení prostřednictvím součtu, zdvojnásobení a půlení . Odečítání bylo provedeno přidáním subtrahendu k minuendu. [4] K označení všech těchto akcí v egyptském jazyce bylo použito jedno sloveso wAH
|
(podmíněně čtěte „wah“ nebo „wah“ a znamená „umístit“; „pokračovat“ atd.). Pro označení výsledku operací s čísly bylo použito sloveso xpr .
|
(podmíněně čteno "heper", znamená "objevit se") nebo podstatné jméno dmD
|
(podmíněně čteno "poškození", znamená "celkové"). Požadované číslo bylo označeno podstatným jménem aHa
|
(podmíněně čteno "aha", znamená "číslo", "set").
Před hodnocením matematických metod Egypťanů je třeba mluvit o rysech jejich myšlení. Dobře je vyjadřuje následující výrok: "Navzdory tomu, že Řekové připisovali Egypťanům moudrost filozofů, žádný národ neměl takovou averzi k abstraktním úvahám a nebyl tak upřímně oddán materiálním zájmům jako Egypťané." Ze všech věd se toto tvrzení nejvíce hodí pro matematiku Egypťanů. Egypťan o čísle „osm“ nemluví a neuvažuje o něm jako o abstraktním čísle, myslí si o osmi bochnících nebo osmi ovcích. Vypočítá sklon strany pyramidy, vůbec ne proto, že by to bylo zajímavé, ale proto, že potřebuje zedníkovi vysvětlit, jak bude muset být kámen otesán (tzv. „posvátný úhel“ 52 stupňů je tzv. mezní hodnota, při které vápencové obložení nespadne ze stupňů pyramidy vlastní vahou). Pokud se rozloží na , není to vůbec proto, že by se mu to líbilo, ale prostě proto, že dříve nebo později při sčítání narazí na zlomek , a protože neví, jak sčítat zlomky, jejichž čitatel je větší než jedna, bude potřebovat rozklad uvedený výše. [5]
Protože staří Egypťané ještě neznali násobilku , všechny výpočty byly extrémně těžkopádné a probíhaly v několika fázích. K provádění operací, jako je násobení nebo dělení, byla použita následující metoda [4] :
Násobení
Ne vždy bylo dělení spojeno s hledáním zlomkových čísel, v tomto případě byl zvolen minimální počet čísel z druhé řady, který by v součtu dal největší číslo dané podmínkami úlohy, a řešení úlohy v tomto případě by to byl součet odpovídajících čísel z prvního řádku.
Další akceEgyptské zlomky byly přenášeny předložkou r , která vyjadřuje vztah. Hieroglyficky byla tato předložka přenášena znakem
|
Bylo to napsáno například takto:
|
Egyptské frakce byly rozděleny do alikvotů . Jako výjimku měli staří Egypťané dva symboly pro zlomky a :
|
a
|
respektive.
2/3 = 1/2 + 1/6 | 2/5 = 1/3 + 1/15 | 2/7 = 1/4 + 1/28 |
2/9 = 1/6 + 1/18 | 2/11 = 1/6 + 1/66 | 2/13 = 1/8 + 1/52 + 1/104 |
2/15 = 1/10 + 1/30 | 2/17 = 1/12 + 1/51 + 1/68 | 2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114 |
2/21 = 1/14 + 1/42 | 2/23 = 1/12 + 1/276 | 2/25 = 1/15 + 1/75 |
2/27 = 1/18 + 1/54 | 2/29 = 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232 | 2/31 = 1/20 + 1/124 + 1/155 |
2/33 = 1/22 + 1/66 | 2/35 = 1/30 + 1/42 | 2/37 = 1/24 + 1/111 + 1/296 |
2/39 = 1/26 + 1/78 | 2/41 = 1/24 + 1/246 + 1/328 | 2/43 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301 |
2/45 = 1/30 + 1/90 | 2/47 = 1/30 + 1/141 + 1/470 | 2/49 = 1/28 + 1/196 |
2/51 = 1/34 + 1/102 | 2/53 = 1/30 + 1/318 + 1/795 | 2/55 = 1/30 + 1/330 |
2/57 = 1/38 + 1/114 | 2/59 = 1/36 + 1/236 + 1/531 | 2/61 = 1/40 + 1/244 + 1/488 + 1/610 |
2/63 = 1/42 + 1/126 | 2/65 = 1/39 + 1/195 | 2/67 = 1/40 + 1/335 + 1/536 |
2/69 = 1/46 + 1/138 | 2/71 = 1/40 + 1/568 + 1/710 | 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365 |
2/75 = 1/50 + 1/150 | 2/77 = 1/44 + 1/308 | 2/79 = 1/60 + 1/237 + 1/316 + 1/790 |
2/81 = 1/54 + 1/162 | 2/83 = 1/60 + 1/332 + 1/415 + 1/498 | 2/85 = 1/51 + 1/255 |
2/87 = 1/58 + 1/174 | 2/89 = 1/60 + 1/356 + 1/534 + 1/890 | 2/91 = 1/70 + 1/130 |
2/93 = 1/62 + 1/186 | 2/95 = 1/60 + 1/380 + 1/570 | 2/97 = 1/56 + 1/679 + 1/776 |
2/99 = 1/66 + 1/198 | 2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606 |
Proces sčítání zlomků se nelišil od moderního způsobu jejich přivádění ke společnému jmenovateli. Výsledek násobení největším z dostupných jmenovatelů se zapsal pod zlomek červeným inkoustem a nebylo nutné získávat celá čísla. Pak se výsledek sečetl.
Mezi 10 lidí je třeba rozdělit 1, 2, 6, 7, 8, 9 chlebů. Protože staroegyptské zlomky byly alikvotní, všechny zlomky s čitatelem větším než 1 (kromě výjimek) byly vyjádřeny jako součet zlomků s 1 v čitateli. Použitím úvahy v papyru získáme následující řešení:
Neznámé číslo ( aHa ) se přičte k 1/4, která také obsahuje aHa, a výsledkem je 15, tzn.
První krok: starověký matematik nahradil "x" 4. Je zřejmé, že toto číslo není vhodné pro řešení :
✔ | jeden | čtyři |
✔ | 1/4 | jeden |
1+1/4 | 5 |
Výsledek: 5.
Druhý krok: V prvním kroku jsme dostali pouze 5 místo 15. Jaký je vztah mezi těmito dvěma čísly?
✔ | jeden | 5 |
✔ | 2 | deset |
3 | patnáct |
Vynásobíme-li 5 3, dostaneme 15. Vynásobíme libovolně vzaté číslo „4“ a obdržené číslo „3“, takže dostaneme požadované aHa , tedy 4 x 3 = aHa .
Třetí krok: vypočítejte 4 x 3 :
jeden | 3 | |
2 | 6 | |
✔ | čtyři | 12 |
čtyři | 12 |
Odpověď: 12.
Čtvrtý krok: Zkontrolujte výsledky našich výpočtů, tzn.
✔ | jeden | 12 |
✔ | 1/4 | 3 |
1+1/4 | patnáct |
Požadované číslo aHa je 12.
Úloha č. R44 ukazuje, že Egypťané znali vzorec pro zjištění objemu pravoúhlého rovnoběžnostěnu : kde L , S a H jsou délka, šířka a výška.
„Příklad výpočtu objemu čtvercové obilné stodoly. Jeho délka je 10, šířka 10 a výška 10. Kolik zrn se vejde? Vynásobte 10 10. To je 100. Vynásobte 100 10. To je 1 000. Vezměte polovinu z 1 000, to je 500. To je 1 500. Množství máte v pytlích. Vynásobte 1/20 číslem 1500. Dostanete 75. Převeďte toto množství obilí na heqaty (tedy vynásobte 100) a dostanete odpověď – 7500 heqatů obilí.“
Jeden pytel neboli „har“ se rovnal 75,56 litru a sestával z 10 heqatů.
jeden | Kapitola 8 | |
2 | Kapitola 16 | |
čtyři | 32 sezení | |
✔ | osm | 64 sezení |
a
✔ | jeden | Kapitola 9 |
2 | Kapitola 18 | |
čtyři | Kapitola 36 | |
✔ | osm | 72 sezení |
81 |
Jedna sechat nebo aura (řecký název) se rovná 100 čtverečních metrů. loktů, to jest 0,28 ha. Ve skutečnosti se jednalo o pozemek ne 10 x 10 loket, ale 1 x 100 loket. Jeden loket se rovnal 52,5 cm a sestával ze 7 dlaní a každá dlaň sestávala ze 4 prstů.
Složitost tohoto úkolu spočívá v tom, že k němu v papyru nejsou uvedeny žádné vysvětlující texty. Před námi jsou pouze dvě tabulky čísel a jeden obrázek. Na obrázku je zobrazena postava připomínající osmiúhelník nebo kruh vepsaný do čtverce.
Podle jedné teorie je na obrázku znázorněn čtverec, jehož strany se rovnají délce průměru vepsané kružnice. Plocha osmiúhelníku se vypočítá podle vzorce: , v tomto případě by plocha kruhu měla být 64 [7] .
Druhá teorie, navržená Michelem Guillemotem, vysvětluje kresbu přesněji. Teorie říká, že obrázek ukazuje nepravidelný osmiúhelník, jehož plocha by se měla rovnat kružnici vepsané do čtverce. Oblast takového osmiúhelníku se nachází podle vzorce: . Ale Michel Guillemot šel dále a navrhl, že staří Egypťané měli představu o kvadratickém tvaru kruhu a mohli postavit stejný čtverec na základě plochy daného kruhu.
Ludwig Borchardt našel velmi podobnou kresbu na zdech chrámu v Luxoru.
"Existují kruhy po 9 kloboucích. Jaká je plocha kruhu? Jeden musíte odečíst od 9. Zbývá 8. Vynásobte 8 x 8. To se bude rovnat 64. Zde je odpověď pro vás - plocha kruhu je 64 sekcí. Podrobný proces výpočtu:"
1 x 9 | = 9 | |
✔ | 1/9 x 9 | = 1 |
"Po odečtení je to 8."
1 x 8 | = 8 | |
2 x 8 | = 16 | |
4 x 8 | = 32 | |
✔ | 8 x 8 | = 64 |
"Plocha kruhu je 64".
1 klobouk se skládal ze 100 loket a byl roven 52,5 m. Jeden sechat se rovnal 0,28 hektaru.
Je zřejmé, že v tomto případě byl použit následující vzorec: . Zde se zdá, že průměr je 9 klobouků. Totéž by se však dalo napsat i jinak: . Moderní vzorec pro výpočet plochy kruhu je: nebo . Vědci se domnívají, že Egypťané na svou dobu dosáhli velkého úspěchu v matematice - určili poměr obvodu kruhu k délce jeho průměru (nebo ) rovný , tedy 3,1605. To je velmi blízko pravdě (číslo ). „Problém R50“ však naznačuje, že Egypťané o existenci konstanty nevěděli .
Příklad výpočtu plochy trojúhelníku . Pokud vám někdo řekne: "Trojúhelník má 'mryt' z 10 klobouků a jeho základnou jsou 4 klobouky. Jakou má plochu?" Musíte vypočítat polovinu ze 4. Pak vynásobte 10 2. Zde je odpověď.
Slovo "mryt" pravděpodobně znamená výšku.
Vzorec Egypťanů je stejný jako ten moderní:
Problém R52 se týká výpočtu plochy lichoběžníku .
„Jaká je plocha zkráceného trojúhelníku, pokud jeho výška je 20 klobouků, jeho základna je 6 klobouků a jeho horní základna je 4 klobouky? Přeložte spodní základnu lichoběžníku horní částí. Získejte 10. Rozdělte 10 na polovinu. A pak vynásobte 5 krát 20. Pamatujte, že 1 klobouk = 100 loket. Spočítejte si svou odpověď."
1 x 1000 | = 1000 | |
1/2 x 1000 | = 500 | |
✔ | 1 x 1000 | = 2000 |
2 x 1000 | = 4000 | |
✔ | 4 x 1000 | = 8000 |
10 000 (tj. 100 sechat ) |
Toto řešení lze zapsat do následujícího vzorce: .
Úlohy R56, R57, R58 a R59 podrobně rozebírají, jak vypočítat sklon pyramidy.
Staroegyptský výraz „ seked “ znamenal z moderního pohledu kotangens úhlu ( ctg α ). V dávných dobách se měřila jako délka segmentu podél měřícího pravítka goniometru, kterému se také říkalo „seked“. Délka byla měřena v dlaních a prstech (1 dlaň = 4 prsty). Matematicky to bylo zjištěno poměrem poloviny základny k výšce.
„Metoda výpočtu pyramidy, jejíž základna je 360 loket a jejíž výška je 250 loket. Abyste zjistili její seked, musíte vzít polovinu z 360, což je 180. Pak musíte vydělit 180 250, dostaneme: 1/2, 1/5, 1/50 lokte (tj. 0,72 lokte). Protože loket je 7 dlaní, musíte výsledek vynásobit 7 (=5,04 dlaně).
1/2 x 7 ; | 7/2 = 3 1/2 _ _ _ | |
1/5 x 7 ; | 7/5 = 1 1/4 a 1 1/5 _ _ _ _ | |
1/50 x 7 ; | 7/50 = 1/10 a 1/25 _ _ _ _ _ _ |
Dnes bychom při řešení tohoto problému hledali kotangens úhlu se znalostí poloviny základny a apotému [8] . Obecně platí, že egyptský vzorec pro výpočet sekedu pyramidy vypadá takto: kde b je 1/2 základny pyramidy a h je její výška. Samotný úhel ve stupních lze vypočítat pomocí inverzní trigonometrické funkce arkus tangens nebo - podle Bradisovy tabulky .
Poměr sekedu a úhlů sklonu:
Seked, prsty | Seked, dlaně | Úhel, stupně | Krok ve stupních na prst |
---|---|---|---|
patnáct | 3,75 | 61,82° | |
16 | čtyři | 60,26° | 1,56° |
17 | 4.25 | 58,74° | 1,52° |
osmnáct | 4.5 | 57,26° | 1,47° |
19 | 4,75 | 55,84° | 1,42° |
dvacet | 5 | 54,46° | 1,38° |
21 | 5.25 | 53,13° | 1,33° |
22 | 5.5 | 51,84° | 1,29° |
23 | 5,75 | 50,60° | 1,24° |
24 | 6 | 49,40° | 1,20° |
25 | 6.25 | 48,24° | 1,16° |
26 | 6.5 | 47,12° | 1,12° |
27 | 6,75 | 46,04° | 1,08° |
28 | 7 (=1 loket) | 45,00° | 1,04° |
29 | 7.25 | 43,99° | 1,01° |
třicet | 7.5 | 43,03° | 0,97° |
31 | 7,75 | 42,09° | 0,94° |
32 | osm | 41,19° | 0,90° |
33 | 8.25 | 40,31° | 0,87° |
34 | 8.5 | 39,47° | 0,84° |
35 | 8,75 | 38,66° | 0,81° |
Problém číslo R64 nám říká, že ve starověkém Egyptě se při výpočtech používal aritmetický postup .
"Příklad rozdělení na části. Pokud vám někdo řekne: máme 10 heqátů pšenice na 10 lidí, ale je mezi nimi rozdíl v 1/8 heqatu pšenice. V průměru je to 1 heqat. Odečtěte 1 od 10 , dostaneme 9. Vezměte polovinu rozdílu, tj. 1/16. Vynásobte 9. Poté k průměrné hodnotě přičtěte 1/2 a 1/16 heqatu a odečtěte 1/8 heqatu od každé další osoby. Zde jsou výpočty o čem mluvíme: ".
1 1/2 1/16 | ||
1 1/4 1/8 1/16 | ||
1 1/4 1/16 | ||
11/8 1/16 | ||
11/16 | ||
1/2 1/4 1/8 1/16 | ||
1/2 1/4 1/16 | ||
1/2 1/8 1/16 | ||
1/2 1/16 | ||
1/4 1/8 1/16 | ||
deset |
Vysvětlení : Úkolem je rozdělit 10 heqat pšenice mezi 10 lidí. Označme osoby: H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7, H8, H9 a H10. S je celkové množství, tedy 10 hekatů pšenice. N je počet dílů. Každý má jiný počet hekatů. Každý má přitom o 1/8 heqatu více než ten předchozí. Nechť H2 = H1 + 1/8, H3 = H2 + 1/8 atd., ta má nejvíce pšenice. Krok progrese je R = 1/8.
Zjistíme průměrný počet hekat, který je distribuován všem, to znamená S/N = 10/10 = 1.
Poté vypočteme rozdíl, který vznikne následným dělením. To znamená, že N-1 = 10-1 se rovná 9. Takže R/2 = 1/16 a R/2 * (N-1) = 1/16 * 9 = 1/2 + 1/16. Největší číslo se vypočítá podle vzorce: R/2 * (N-1) + S/N = 1/2 + 1/16 + 1.
Rozdělení na 10 dílů:
H10 = 1 + 1/2 + 1/16. | ||
H9 = H10 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/8 + 1/16 | ||
H8 = H9 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/16 | ||
H7 = H8 - 1/8 = 1 + 1/8 + 1/16 | ||
H6 = H7 - 1/8 = 1 + 1/16 | ||
H5 = H6 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 | ||
H4 = H5 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/16 | ||
H3 = H4 - 1/8 = 1/2 + 1/8 + 1/16 | ||
H2 = H3 - 1/8 = 1/2 + 1/16 | ||
H1 = H2 - 1/8 = 1/4 + 1/8 + 1/16 | ||
Celkem = 10 |
Je docela možné, že řešení tohoto problému mělo praktické uplatnění.
Řešení můžete napsat ve formě vzorců:
Problém číslo R79 nám říká, že ve starověkém Egyptě se při výpočtech používal geometrický postup . Víme však pouze to, že Egypťané používali čísla "2" a "1/2" pro postup, to znamená, že mohli získat takové hodnoty jako: 1/2, 1/4, 1/8 ... a 2, 4, 8, 16 … Otázka praktického využití geometrické progrese ve starověkém Egyptě také zůstává otevřená.
✔ | jeden | 2801 |
✔ | 2 | 5602 |
✔ | čtyři | 11204 |
7 | 19607 |
domy | 7 | |
kočky | 49 | |
Myši | 343 | |
Slad | 2401 (pisař omylem napsal 2301) | |
Hekat | 16807 | |
19607 |
![]() | |
---|---|
V bibliografických katalozích |
Jazyk a písmo starověkého Egypta | |||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
|