Papyrus ahmes

Egyptské zlomky byly přenášeny předložkou r , která vyjadřuje vztah. Hieroglyficky byla tato předložka přenášena znakem

Bylo to napsáno například takto:

Egyptské frakce byly rozděleny do alikvotů . Jako výjimku měli staří Egypťané dva symboly pro zlomky a :

a

respektive.

Proces sčítání zlomků se nelišil od moderního způsobu jejich přivádění ke společnému jmenovateli. Výsledek násobení největším z dostupných jmenovatelů se zapsal pod zlomek červeným inkoustem a nebylo nutné získávat celá čísla. Pak se výsledek sečetl.

Úkoly

Problémy #1-6

Mezi 10 lidí je třeba rozdělit 1, 2, 6, 7, 8, 9 chlebů. Protože staroegyptské zlomky byly alikvotní, všechny zlomky s čitatelem větším než 1 (kromě výjimek) byly vyjádřeny jako součet zlomků s 1 v čitateli. Použitím úvahy v papyru získáme následující řešení:

1. 1/10 = 1/10, tedy na rozdělení 1 chleba mezi 10 lidí je potřeba ho rozdělit na 10 dílů a dát každému jeden.
2. 2/10=1/5, tedy k rozdělení 2 bochníků mezi 10 lidí, je potřeba rozdělit každý bochník na 5 dílů a dát každému jeden.
3. 6/10=1/2+1/10, to znamená, že musíte rozdělit 5 bochníků na polovinu a dát každou polovinu, a poté rozdělit zbývající chléb na 10 dílů a dát každý jeden.
4. 7/10=2/3+1/30, to znamená, že musíte nejprve rozdělit každý chléb na 3 díly a dát každý dva, a poté rozdělit zbývající třetinu na 10 dílů a dát každému jeden.
5. 8/10=2/3+1/10+1/30, to znamená, že nejprve musíte rozdělit 7 bochníků na 3 díly a dát každý dva, poté zbývající chléb rozdělit na 10 dílů a dát každému jeden, poté rozdělit zbývající třetinu na 10 dílů a dejte každému jeden.
6. 9/10=2/3+1/5+1/30, to znamená, že musíte rozdělit 7 bochníků na 3 části a dát každé dva, poté zbývající 2 bochníky rozdělit na pět částí a dát každý jeden, pak , zbylou třetinu je potřeba rozdělit na 10 dílů a dát každému jeden .

Problém # R26

Neznámé číslo ( aHa ) se přičte k 1/4, která také obsahuje aHa, a výsledkem je 15, tzn.

První krok: starověký matematik nahradil "x" 4. Je zřejmé, že toto číslo není vhodné pro řešení  :

Výsledek: 5.

Druhý krok: V prvním kroku jsme dostali pouze 5 místo 15. Jaký je vztah mezi těmito dvěma čísly?

Vynásobíme-li 5 3, dostaneme 15. Vynásobíme libovolně vzaté číslo „4“ a obdržené číslo „3“, takže dostaneme požadované aHa , tedy 4 x 3 = aHa .

Třetí krok: vypočítejte 4 x 3 :

Odpověď: 12.

Čtvrtý krok: Zkontrolujte výsledky našich výpočtů, tzn.

Požadované číslo aHa je 12.

Problém # R44

Úloha č. R44 ukazuje, že Egypťané znali vzorec pro zjištění objemu pravoúhlého rovnoběžnostěnu : kde L , S a H jsou délka, šířka a výška.

„Příklad výpočtu objemu čtvercové obilné stodoly. Jeho délka je 10, šířka 10 a výška 10. Kolik zrn se vejde? Vynásobte 10 10. To je 100. Vynásobte 100 10. To je 1 000. Vezměte polovinu z 1 000, to je 500. To je 1 500. Množství máte v pytlích. Vynásobte 1/20 číslem 1500. Dostanete 75. Převeďte toto množství obilí na heqaty (tedy vynásobte 100) a dostanete odpověď – 7500 heqatů obilí.“

Jeden pytel neboli „har“ se rovnal 75,56 litru a sestával z 10 heqatů.

Problém # R48

a

Jedna sechat nebo aura (řecký název) se rovná 100 čtverečních metrů. loktů, to jest 0,28 ha. Ve skutečnosti se jednalo o pozemek ne 10 x 10 loket, ale 1 x 100 loket. Jeden loket se rovnal 52,5 cm a sestával ze 7 dlaní a každá dlaň sestávala ze 4 prstů.

Složitost tohoto úkolu spočívá v tom, že k němu v papyru nejsou uvedeny žádné vysvětlující texty. Před námi jsou pouze dvě tabulky čísel a jeden obrázek. Na obrázku je zobrazena postava připomínající osmiúhelník nebo kruh vepsaný do čtverce.

Podle jedné teorie je na obrázku znázorněn čtverec, jehož strany se rovnají délce průměru vepsané kružnice. Plocha osmiúhelníku se vypočítá podle vzorce: , v tomto případě by plocha kruhu měla být 64 [7] .

Druhá teorie, navržená Michelem Guillemotem, vysvětluje kresbu přesněji. Teorie říká, že obrázek ukazuje nepravidelný osmiúhelník, jehož plocha by se měla rovnat kružnici vepsané do čtverce. Oblast takového osmiúhelníku se nachází podle vzorce: . Ale Michel Guillemot šel dále a navrhl, že staří Egypťané měli představu o kvadratickém tvaru kruhu a mohli postavit stejný čtverec na základě plochy daného kruhu.

Ludwig Borchardt našel velmi podobnou kresbu na zdech chrámu v Luxoru.

Problém # R50

"Existují kruhy po 9 kloboucích. Jaká je plocha kruhu? Jeden musíte odečíst od 9. Zbývá 8. Vynásobte 8 x 8. To se bude rovnat 64. Zde je odpověď pro vás - plocha kruhu je 64 sekcí. Podrobný proces výpočtu:"

"Po odečtení je to 8."

"Plocha kruhu je 64".

1 klobouk se skládal ze 100 loket a byl roven 52,5 m. Jeden sechat se rovnal 0,28 hektaru.

Je zřejmé, že v tomto případě byl použit následující vzorec: . Zde se zdá, že průměr je 9 klobouků. Totéž by se však dalo napsat i jinak: . Moderní vzorec pro výpočet plochy kruhu je: nebo . Vědci se domnívají, že Egypťané na svou dobu dosáhli velkého úspěchu v matematice - určili poměr obvodu kruhu k délce jeho průměru (nebo ) rovný , tedy 3,1605. To je velmi blízko pravdě (číslo ). „Problém R50“ však naznačuje, že Egypťané o existenci konstanty nevěděli .

Problém # R51

Příklad výpočtu plochy trojúhelníku . Pokud vám někdo řekne: "Trojúhelník má 'mryt' z 10 klobouků a jeho základnou jsou 4 klobouky. Jakou má plochu?" Musíte vypočítat polovinu ze 4. Pak vynásobte 10 2. Zde je odpověď.

Slovo "mryt" pravděpodobně znamená výšku.

Vzorec Egypťanů je stejný jako ten moderní:

Problém # R52

Problém R52 se týká výpočtu plochy lichoběžníku .

„Jaká je plocha zkráceného trojúhelníku, pokud jeho výška je 20 klobouků, jeho základna je 6 klobouků a jeho horní základna je 4 klobouky? Přeložte spodní základnu lichoběžníku horní částí. Získejte 10. Rozdělte 10 na polovinu. A pak vynásobte 5 krát 20. Pamatujte, že 1 klobouk = 100 loket. Spočítejte si svou odpověď."

Toto řešení lze zapsat do následujícího vzorce: .

Problém # R56

Úlohy R56, R57, R58 a R59 podrobně rozebírají, jak vypočítat sklon pyramidy.

Staroegyptský výraz „ seked “ znamenal z moderního pohledu kotangens úhlu ( ctg α ). V dávných dobách se měřila jako délka segmentu podél měřícího pravítka goniometru, kterému se také říkalo „seked“. Délka byla měřena v dlaních a prstech (1 dlaň = 4 prsty). Matematicky to bylo zjištěno poměrem poloviny základny k výšce.

„Metoda výpočtu pyramidy, jejíž základna je 360 ​​loket a jejíž výška je 250 loket. Abyste zjistili její seked, musíte vzít polovinu z 360, což je 180. Pak musíte vydělit 180 250, dostaneme: 1/2, 1/5, 1/50 lokte (tj. 0,72 lokte). Protože loket je 7 dlaní, musíte výsledek vynásobit 7 (=5,04 dlaně).

Dnes bychom při řešení tohoto problému hledali kotangens úhlu se znalostí poloviny základny a apotému [8] . Obecně platí, že egyptský vzorec pro výpočet sekedu pyramidy vypadá takto: kde b  je 1/2 základny pyramidy a h  je její výška. Samotný úhel ve stupních lze vypočítat pomocí inverzní trigonometrické funkce arkus tangens nebo - podle Bradisovy tabulky .

Poměr sekedu a úhlů sklonu:

Problém # R64

Problém číslo R64 nám říká, že ve starověkém Egyptě se při výpočtech používal aritmetický postup .

"Příklad rozdělení na části. Pokud vám někdo řekne: máme 10 heqátů pšenice na 10 lidí, ale je mezi nimi rozdíl v 1/8 heqatu pšenice. V průměru je to 1 heqat. Odečtěte 1 od 10 , dostaneme 9. Vezměte polovinu rozdílu, tj. 1/16. Vynásobte 9. Poté k průměrné hodnotě přičtěte 1/2 a 1/16 heqatu a odečtěte 1/8 heqatu od každé další osoby. Zde jsou výpočty o čem mluvíme: ".

Vysvětlení : Úkolem je rozdělit 10 heqat pšenice mezi 10 lidí. Označme osoby: H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7, H8, H9 a H10. S je celkové množství, tedy 10 hekatů pšenice. N je počet dílů. Každý má jiný počet hekatů. Každý má přitom o 1/8 heqatu více než ten předchozí. Nechť H2 = H1 + 1/8, H3 = H2 + 1/8 atd., ta má nejvíce pšenice. Krok progrese je R = 1/8.

Zjistíme průměrný počet hekat, který je distribuován všem, to znamená S/N = 10/10 = 1.

Poté vypočteme rozdíl, který vznikne následným dělením. To znamená, že N-1 = 10-1 se rovná 9. Takže R/2 = 1/16 a R/2 * (N-1) = 1/16 * 9 = 1/2 + 1/16. Největší číslo se vypočítá podle vzorce: R/2 * (N-1) + S/N = 1/2 + 1/16 + 1.

Rozdělení na 10 dílů:

Je docela možné, že řešení tohoto problému mělo praktické uplatnění.

Řešení můžete napsat ve formě vzorců:

Problém # R79

Problém číslo R79 nám říká, že ve starověkém Egyptě se při výpočtech používal geometrický postup . Víme však pouze to, že Egypťané používali čísla "2" a "1/2" pro postup, to znamená, že mohli získat takové hodnoty jako: 1/2, 1/4, 1/8 ... a 2, 4, 8, 16 … Otázka praktického využití geometrické progrese ve starověkém Egyptě také zůstává otevřená.

Viz také

• Geometrie ve starověkém Egyptě
• Matematika ve starověkém Egyptě
• Moskevský matematický papyrus

Poznámky

1. ↑ Rhindův matematický papyrus  . britishmuseum.org . Získáno 10. prosince 2019. Archivováno z originálu dne 12. listopadu 2020.
2. ↑ Londýn, The British Museum Press, 1987
3. ↑ BM 10058
4. ↑ 1 2 I. Ya. Depman, Historie aritmetiky. Průvodce pro učitele - M .: 1965 (druhé vydání, přepracované), s. 196
5. ↑ S. Clark, R. Engelbach, Stavitelství a architektura ve starém Egyptě. ISBN 978-5-9524-4351-8
6. ↑ Dějiny matematiky od nejstarších dob do počátku 19. století, ed. A. P. Juškevič.-M.: 1970, s. 25
7. ↑ K. Vogel, Vorgriechische Mathematik , s.66
8. ↑ Apotém - výška boční stěny pravidelného jehlanu.

Literatura

• Bobynin V.V. Matematika starých Egypťanů (založená na papyru Rinda). - M. , 1882.
• Van der Waerden B.L. Awakening Science: Matematika starověkého Egypta, Babylonu a Řecka. — M .: Fizmatgiz , 1959. (Reprint: M .: URSS , 2007)
• Vygodsky M. Ya. Aritmetika a algebra ve starověkém světě. — M .: Nauka , 1967.
• Raik A.E. Eseje o historii matematiky ve starověku. - Saransk: Mordovský stát. nakladatelství, 1977.
• Rinda papyrus // Velká sovětská encyklopedie  : [ve 30 svazcích]  / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M  .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.
• Gillings RJ Matematika v době faraonů. — Cambridge: MIT Press , 1972.
• Peet T.E. The Rind matematický papyrus. - Liverpool University Press, L .: Hodder & Stoughton, 1923.
• Robins G., Shute CCD Rhindův matematický papyrus: starověký egyptský text. — N. Y .: Dover, 1987.

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština Britannica (online)
V bibliografických katalozích	GND : 4735890-7