Hypergeometrická funkce (Gaussova funkce) je definována uvnitř kruhu jako součet hypergeometrické řady
a na - jako její analytické pokračování . Jedná se o řešení lineární obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu (ODE) zvané hypergeometrické rovnice.
Termín „hypergeometrické řady“ poprvé použil John Wallis v roce 1655 v knize Arithmetica Infinitorum . Tento výraz označoval řadu, jejíž obecný vzorec má tvar [1]
Hypergeometrické řady studoval Leonhard Euler a podrobněji Gauss [2] . V 19. století ve studii pokračoval Ernst Kummer a Bernhard Riemann definoval hypergeometrickou funkci pomocí rovnice, kterou splňuje.
Uvažujme Eulerovu diferenciální rovnici , kde parametry a , b a c mohou být libovolná komplexní čísla. Jeho zobecnění na libovolné pravidelné singulární body je dáno Riemannovou diferenciální rovnicí . Eulerova rovnice má tři singulární body : 0, 1 a .
Když se parametr nerovná nule a záporným celým číslům , lze řešení Eulerovy rovnice pravidelné na nule zapsat pomocí řady nazývané hypergeometrické:
Tato funkce se nazývá hypergeometrická. Často používaná notace ( symbol Pochhammer )
kde je funkce gama . Potom může být hypergeometrická funkce reprezentována jako
Zápis znamená, že existují dva parametry, a a b, „přecházející do čitatele“ a jeden, c, „přecházející do jmenovatele“. Na hranici řada, kterou je hypergeometrická funkce definována , konverguje absolutně , pokud reálná část součtu , podmíněně konverguje v a diverguje, pokud . Druhé lineárně nezávislé řešení Eulerovy diferenciální rovnice má tvar
Má singulární bod a platí pro všechny nekladné . [3]
Celou reprezentaci hypergeometrické funkce at (Eulerův vzorec) lze zapsat následovně:
kde je Eulerova gama funkce . Tento výraz je jednohodnotová analytická funkce na komplexní rovině s řezem podél reálné osy od do a poskytuje analytické pokračování do celé komplexní roviny pro hypergeometrické řady konvergující pouze v .
Druhá Gaussova věta o součtu je vyjádřena vzorcem:
Baileyho věta je vyjádřena vzorcem:
Důležitou vlastností hypergeometrické funkce je, že z ní lze získat mnoho speciálních a elementárních funkcí s určitými hodnotami parametrů a transformací nezávislého argumentu.
![]() |
|
---|---|
V bibliografických katalozích |