Hypergeometrické funkce

Hypergeometrická funkce (Gaussova funkce) je definována uvnitř kruhu jako součet hypergeometrické řady $|z|<1$

F(a,b;c;z)=1+\součet _{{k=1}}^{\infty }\left[\prod _{{l=0}}^{{k-1}}{ (a+l)(b+l) \over (1+l)(c+l)}\right]z^{k}=1+{\frac {ab}{c}}{\frac {z} {1!}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\tečky ,

a na - jako její analytické pokračování . Jedná se o řešení lineární obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu (ODE) zvané hypergeometrické rovnice. $|z|>1$

Historie

Termín „hypergeometrické řady“ poprvé použil John Wallis v roce 1655 v knize Arithmetica Infinitorum . Tento výraz označoval řadu, jejíž obecný vzorec má tvar [1]

{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n+1)}{2\cdot 4\cdot \ldots \cdot 2n)).

Hypergeometrické řady studoval Leonhard Euler a podrobněji Gauss [2] . V 19. století ve studii pokračoval Ernst Kummer a Bernhard Riemann definoval hypergeometrickou funkci pomocí rovnice, kterou splňuje.

Hypergeometrická rovnice

Uvažujme Eulerovu diferenciální rovnici , kde parametry a , b a c mohou být libovolná komplexní čísla. Jeho zobecnění na libovolné pravidelné singulární body je dáno Riemannovou diferenciální rovnicí . Eulerova rovnice má tři singulární body : 0, 1 a . $z(1-z){\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+[c-(a+b+1)z]{\frac {du}{dz}}-abu =0,$ $\infty$

Když se parametr nerovná nule a záporným celým číslům , lze řešení Eulerovy rovnice pravidelné na nule zapsat pomocí řady nazývané hypergeometrické: $C$ $(c\neq 0,-1,-2,\ldots )$

_{2}F_{1}(a,b;c;z)\ekviv F(a,b;c;z)=1+{\frac {ab}{c}}{\frac {z}{1 !}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\tečky .

Tato funkce se nazývá hypergeometrická. Často používaná notace ( symbol Pochhammer )

(p)_{n}={\frac {\Gamma (p+n)}{\Gamma (p))),

kde je funkce gama . Potom může být hypergeometrická funkce reprezentována jako $\Gamma$

F(a,b;c;z)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}z^{n}} {(c)_{n}n!}}.

Zápis znamená, že existují dva parametry, a a b, „přecházející do čitatele“ a jeden, c, „přecházející do jmenovatele“. Na hranici řada, kterou je hypergeometrická funkce definována , konverguje absolutně , pokud reálná část součtu , podmíněně konverguje v a diverguje, pokud . Druhé lineárně nezávislé řešení Eulerovy diferenciální rovnice má tvar $_{2}F_{1}(a,b;c;z)$ $|z|=1$ $a+bc<0$ $z\neq 1$ $0\leq a+bc<1$ $a+bc\geq 1$

\ z^{{1-c}}F(b-c+1,a-c+1;2-c;z)

Má singulární bod a platí pro všechny nekladné . [3] $z=0$ $C$ $(c=0,-1,-2,\ldots )$

Celou reprezentaci hypergeometrické funkce at (Eulerův vzorec) lze zapsat následovně: ${\text{Re}}(c)>{\text{Re}}(b)>0$

F(a,b;c;z)={\Gamma (c) \over \Gamma (b)\Gamma (cb)}\int \limits _{{0}}^{{1}}t^{{ b-1}}(1-t)^{{cb-1}}(1-tz)^{{-a}}\,dt,

kde je Eulerova gama funkce . Tento výraz je jednohodnotová analytická funkce na komplexní rovině s řezem podél reálné osy od do a poskytuje analytické pokračování do celé komplexní roviny pro hypergeometrické řady konvergující pouze v . $\gamma (x)$ $z$ $jeden$ $\infty$ $\left|z\right|<1$

Soukromé hodnoty na $z=1/2$

Druhá Gaussova věta o součtu je vyjádřena vzorcem:

_{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac 12}\left(1+a+b\right);{\tfrac 12}\right)={\frac {\Gamma ({\ tfrac 12})\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+b\vpravo)))}}.

Baileyho věta je vyjádřena vzorcem:

_{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac 12}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac 12}c)\Gamma ({\tfrac 12} \left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac 12}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+ca\right)))) .

Zápis dalších funkcí z hlediska hypergeometrických

Důležitou vlastností hypergeometrické funkce je, že z ní lze získat mnoho speciálních a elementárních funkcí s určitými hodnotami parametrů a transformací nezávislého argumentu.

Příklady

$\left(1+x\right)^{n}=F(-n,b;b;-x)$
$x^{n}=F\left(-n,b;b;1-x\vpravo)$
${1 \over x}\ln(1+x)=F(1,1;2;-x)$

{1 \over x}\arcsin(x)=F\left({\frac {1}{2)),{\frac {1}{2));{\frac {3}{2));x ^{2}\vpravo)

$e^{x}=\lim _{{n\to \infty }}F\left(1,n;1;{x \over n}\right)$
$\cos x=\lim _{{a,\;b\to \infty }}F\left(a,b;{\frac {1}{2));-{\frac {x^{2}} {4ab}}\vpravo)$
$\cosh x=\lim _{{a,\;b\to \infty }}F\left(a,b;{\frac {1}{2}};{x^{2} \over 4ab}\ že jo)$
Úplný eliptický integrál prvního druhu: $K(k)=\int \limits _{{0}}^{{\pi /2}}\!{\frac {d\varphi }{{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{ 2}\varphi ))))={\frac {\pi }{2))F\left({\frac {1}{2)),{\frac {1}{2));1;k^ {2}\vpravo)$
Úplný eliptický integrál druhého druhu: $E(k)=\int \limits _{{0}}^{{\pi /2}}\!{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,d \varphi ={\frac {\pi }{2}}F\left(-{\frac {1}{2)),{\frac {1}{2));1;k^{2}\right )$
Legendrův polynom : $P_{n}(x)=F(n+1,-n;1;{\frac {1-x}{2)))$
Přidružená funkce Legendre : $P_{{n,\;m}}(x)=(1-x^{2})^{({\frac {m}{2}}}}{\Gamma (n+m+1) \over 2^{m}\Gamma (n-m+1)\Gamma (m+1)}F\left(n+m+1,mn;m+1;{\frac {1-x}{2)) \že jo)$
Besselovy funkce : $J_{\nu }(x)=\lim _{a,\;b\to \infty }\left[{\frac {\left({\dfrac {x}{2))\right)^ {\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}F\left(a,b;\nu +1;-{\frac {x^{2}}{4ab}}\right)\right]$
Kummerova (Pochhammerova) funkce, neboli degenerovaná hypergeometrická funkce $M(a,c,z)={}_{1}F_{1}(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }F(a,b;c;z/ b)$ je řešením degenerované hypergeometrické rovnice $z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(cz){\frac {dw}{dz}}-aw=0.$
Degenerovaná hypergeometrická funkce s celočíselným nekladným prvním argumentem je zobecněný Laguerreův polynom : $L_{n}^{\lambda }(x)={}_{1}F_{1}(-n,\lambda ,x).$

Totožnosti

$27\,(z-1)^{2}\cdot {_{2}F_{1}}\left({\tfrac {1}{4)),{\tfrac {3}{4} };{\tfrac {2}{3}};z\right)^{8}+18\,(z-1)\cdot {_{2}F_{1}}\left({\tfrac {1 }{4)),{\tfrac {3}{4}};{\tfrac {2}{3}};z\right)^{4}-8\cdot {_{2}F_{1}} \left({\tfrac {1}{4)),{\tfrac {3}{4));{\tfrac {2}{3));z\right)^{2}=1$
A nádherný zvláštní případ předchozího výrazu: $_{2}F_{1}\left({\frac {1}{4)),{\frac {3}{4));\,{\frac {2}{3));\ ,{\frac {1}{3}}\right)={\frac {1}{\sqrt ({\sqrt ({\frac {4}{\sqrt {2-{\sqrt[{3}]{ 4}}}}}+{\sqrt[{3}]{4}}+4}}-{\sqrt {2-{\sqrt[{3}]{4}}}}-2}}}$

Poznámky

↑ Scott, 1981 , str. 16.
↑ Vinogradov, 1977 , s. 1004.
↑ Bateman, Erdeyi, svazek 1, 1973 , s. 69-70.

Literatura

Matematická encyklopedie / Ed. I. M. Vinogradová. - M. , 1977. - T. 1.
Bateman G., Erdeyi A. Vyšší transcendentální funkce = vyšší transcendentální funkce / Per. N. Ya. Vilenkina. - Ed. 2.,. - M. : Nauka, 1973. - T. 1. - 296 s. - 14 000 výtisků.
Kuzněcov D. S.: Speciální funkce - M .: "Vysoká škola", 1962
Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantová mechanika (nerelativistická teorie). — Vydání 4. — M .: Nauka , 1989. — 768 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek III). - ISBN 5-02-014421-5 . - matematické sčítání
Kazuhiko Aomoto, Michitake Kita. Teorie hypergeometrických funkcí / Přel. od Kenji Iohara. - Springer, 2011. - Sv. 305. - 317 s. — (Série Springerových monografií v matematice). — ISBN 9784431539124 .
Scott JF Matematické dílo Johna Wallise, DD, FRS, (1616-1703). - American Mathematical Soc., 1981. - 240 s. — (Série vydavatelství Chelsea). — ISBN 9780828403146 .

Slovníky a encyklopedie	Velký sovět (1 ed.) Britannica (online)
V bibliografických katalozích	NKC : ph161655