Legendreovy polynomy

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 29. prosince 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Legendreovy polynomy
obecná informace
Vzorec	$P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1 )^{n}$
Skalární součin	${\displaystyle (f,\;g)=\int \limits _{-1}^{1}{f(x)g(x)\,dx))$
Doména	$[-1,\;1]$
doplňkové vlastnosti
Diferenciální rovnice	$(1-z^{2}){\frac {{\mathrm d}^{2}u}{{\mathrm d}z^{2))}-2z{\frac {{\mathrm d}u} {{\mathrm d}z}}+n(n+1)u=0$
Norma	${\displaystyle \\|P_{n}(x)\\|={\sqrt {\frac {2}{2n+1))))$
Pojmenoval podle	Legendre, Adrien Marie

Legendreův polynom je polynom , který se odchyluje nejméně od nuly ve smyslu středního čtverce . Tvoří ortogonální systém polynomů na segmentu v prostoru . Legendreovy polynomy lze získat z polynomů Gram-Schmidtovou ortogonalizací . $[-1,\;1]$ $L^{2}$ $\{1,\;x,\;x^{2},\;x^{3},\;\ldots \}$

Pojmenován po francouzském matematikovi Adrien Marii Legendre .

Definice

Legendreovy polynomy a související Legendreovy funkce prvního a druhého druhu

Uvažujme diferenciální rovnici tvaru

(1-z^{2}){\frac {{\mathrm d}^{2}u}{{\mathrm d}z^{2))}-2z{\frac {{\mathrm d}u} {{\mathrm d}z}}+n(n+1)u=0,

(jeden)

kde je komplexní proměnná . Řešení této rovnice pro celá čísla mají formu polynomů , nazývaných Legendreovy polynomy . Legendreův polynom stupně může být reprezentován Rodriguesovým vzorcem ve tvaru [1] $z$ $n$ $n$

P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2 }-1)^{n}.

Často místo toho pište kosinusový polární úhel : $z$

P_{n}(\cos \theta )={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{d(\cos \theta )^{ n}}}(\cos ^{2}\theta -1)^{n}.

Rovnici ( 1 ) lze získat ze speciálního případu hypergeometrické rovnice nazývané Legendreova rovnice

(1-z^{2}){\frac {{\mathrm d}^{2}u}{{\mathrm d}z^{2))}-2z{\frac {{\mathrm d}u} {{\mathrm d}z}}+\left[\nu (\nu +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-z^{2}}}\right]u=0,

(2)

kde , jsou libovolné komplexní konstanty. Zajímavá jsou jeho řešení, která jsou jednohodnotová a regulární pro (zejména pro reálné ) nebo když je reálná část čísla větší než jedna. Jeho řešení se nazývají sdružené Legendreovy funkce nebo sférické funkce (harmonické) . Dosazením tvaru v ( 2 ) vznikne Gaussova rovnice , jejíž řešení v oblasti nabývá tvaru $\mu$ $\nu$ $|z|<1$ $z$ $z$ $w=(z^{2}-1)^{{\mu /2}}$ $|1-z|<2$

w=P_{\nu }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )))\left({\frac {z+1}{z- 1}}\right)^{\mu /2}F\left(-\nu ,\;\nu +1;\;1-\mu ;\;{\frac {1}{2}}-{\ frac {z}{2}}\right),

kde je hypergeometrická funkce . Substituce v ( 2 ) vede k řešení tvaru $F$ $w=z^{2}$

w=Q_{\nu }^{\mu }(z)=e^{\mu i\pi }2^{-\nu -1}{\sqrt {\pi }}{\frac {\ Gamma (\nu +\mu +1)}{\Gamma (\nu +3/2)))z^{-\nu -\mu -1}(z^{2}-1)^{\mu / 2}F\left({\frac {\nu }{2))+{\frac {\mu }{2))+1,\;{\frac {\nu }{2))+{\frac { \mu }{2))+{\frac {1}{2));\;\nu +{\frac {3}{2));\;z^{-2}\right),

definováno na . Funkce a se nazývají Legendre funkce prvního a druhého druhu . [2] $|z|>1$ $P_{\nu }^{\mu }(z)$ $Q_{\nu }^{\mu }(z)$

Následující vztahy jsou platné [3]

P_{\nu }^{\mu }(z)=P_{{-\nu -1}}^{\mu }(z)

Q_{\nu }^{\mu }(z)\sin \pi (\nu +\mu )-Q_{{-\nu -1}}^{\mu }(z)\sin \pi (\nu -\mu )=\pi e^{{i\mu \pi }}\cos(\nu \pi )P_{\nu }^{\mu }(z).

Vyjádření pomocí součtů

Legendreovy polynomy jsou také definovány následujícím vzorcem:

P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n))}\sum _{k=0}^{E(n/2)}(-1)^{k} {\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k}.

Opakovaný vzorec

Lze je také vypočítat pomocí rekurzivního vzorce (pro ) [4] : $n\geqslant 1$

P_{n+1}(x)={\frac {2n+1}{n+1}}xP_{n}(x)-{\frac {n}{n+1}}P_{n -1}(x),

(3)

a první dvě funkce mají tvar

P_{0}(x)=1,

P_{1}(x)=x.

Derivace Legendreho polynomu

Vypočteno podle vzorce [5]

P'_{n}(x)={\frac {n}{1-x^{2}}}[P_{n-1}(x)-xP_{n}(x)].

(čtyři)

Kořeny Legendreho polynomu

Vypočteno iterativně Newtonovou metodou [5] :

x_{i}^{(k+1)}=x_{i}^{(k)}-{\frac {P_{n}(x_{i}^{(k)})}{P '_{n}(x_{i}^{(k)})}},

a počáteční aproximace pro -tou odmocninu ( ) se bere podle vzorce [5] $i$ $i=1,\;2,\;\ldots ,\;n$

x_{i}^{(0)}=\cos {\frac {\pi (4i-1)}{4n+2)).

Hodnotu polynomu lze vypočítat pomocí rekurzivního vzorce pro konkrétní hodnotu x . Derivaci lze také vypočítat pro konkrétní hodnotu x pomocí derivačního vzorce .

Vzorce s rozšířeními

Legendreovy polynomy jsou také definovány následujícími expanzemi:

(1-2tx+t^{2})^{-{\frac {1}{2))}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t ^{n}

pro

|t|<\min \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|,

(1-2tx+t^{2})^{-{\frac {1}{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x){ \frac {1}{t^{n+1}}}

pro

|t|>\max \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|.

Tudíž,

P_{n}(x)={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\left[x^{n}-{\frac {n (n-1)}{2(2n-1)}}x^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4( 2n-1)(2n-3)}}x^{n-4}-\ldots\right].

Přidružené Legendreovy polynomy

Přidružené Legendreovy polynomy jsou definovány vzorcem

P_{n}^{m}(x)=(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}P_{ n}(x),

který může být také reprezentován jako

P_{n}^{m}(\cos \theta )=\sin ^{m}\theta {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}} P_{n}(\cos \theta).

Pro , funkce je stejná jako . $m=0$ $P_{n}^{m}$ $P_{n}$

Normalizace podle Schmidtova pravidla

Legendreovy polynomy normalizované podle Schmidtova pravidla vypadají takto [6] :

SP_{n}^{0}(x)=P_{n}^{0}(x),

SP_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}\left({\frac {2(nm)!}{(n+m)!}}\right)^{ 1/2}P_{n}^{m}(x).

Posunuté Legendreovy polynomy

Posunuté Legendreovy polynomy jsou definovány jako , kde funkce posunu (toto je afinní transformace ) je zvolena tak, aby jednoznačně mapovala interval ortogonality polynomů na interval , ve kterém jsou posunuté polynomy již ortogonální : ${\tilde {P_{n}}}(x)=P_{n}(2x-1)$ $x\mapsto 2x-1$ $[-1,\;1]$ $[0,\;1]$ ${\tilde {P_{n))} (x)$

\int \nolimits _{0}^{1}{\tilde {P_{m))}(x){\tilde {P_{n))}(x)\,dx={\frac {1 }{2n+1}}\delta _{mn}.

Explicitní výraz pro posunuté Legendreovy polynomy je dán jako

{\tilde {P_{n))}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k)){\binom {n+k}{k}}(-x)^{k}.

Analogem Rodriguesova vzorce pro posunuté Legendreovy polynomy je

{\tilde {P_{n))}(x)={\frac {1}{n!)}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[ ( x^{2}-x)^{n}\right].

Výrazy pro některé první posunuté Legendreovy polynomy:

n	${\tilde {P_{n))} (x)$
0	$jeden$
jeden	$2x-1$
2	$6x^{2}-6x+1$
3	$20x^{3}-30x^{2}+12x-1$
čtyři	$70x^{4}-140x^{3}+90x^{2}-20x+1$

Matice Legendreovy polynomické funkce

{\begin{pmatrix}0&0&-2&0&0&\vdots &0&\vdots &0\\0&2&0&-6&0&\vdots &0&\vdots &\vdots \\0&0&6&0&-12&\vdots &0&&\&\0 &\0&vdots &0 \vtečky &\vtečky \\0&0&0&0&20&\vtečky &0&\vtečky &\vtečky \\\tečky &\tečky &\tečky &\tečky &\tečky &\dtečky &\vtečky &\tečky &\vtečky \\0&0&0&0&0&\tečky &k (k+1)&\tečky &\vtečky \\\tečky &\tečky &\tečky &\tečky &\tečky &\tečky &\tečky &\dtečky &\vtečky \\0&0&0&0&0&\tečky &0&\tečky &n(n +1)\\\end{pmatrix}}

Tato matrice je horní trojúhelníková . Jeho determinant je roven nule a vlastní čísla jsou , kde . $k(k+1)$ ${\displaystyle k\in \{0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots ,\;n\))$

Příklady

První Legendreovy polynomy v explicitní podobě:

P_{0}(x)=1,

P_{1}(x)=x,

P_{2}(x)={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1),

P_{3}(x)={\frac {1}{2}}(5x^{3}-3x),

P_{4}(x)={\frac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3),

P_{5}(x)={\frac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x),

P_{6}(x)={\frac {1}{16}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5),

P_{7}(x)={\frac {1}{16}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x),

P_{8}(x)={\frac {1}{128}}(6435x^{8}-12\,012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35 ),

P_{9}(x)={\frac {1}{128}}(12\,155x^{9}-25\,740x^{7}+18\,018x^{5}-4620x ^{3}+315x),

P_{10}(x)={\frac {1}{256}}(46\,189x^{10}-109\,395x^{8}+90\,090x^{6}-30 \,030x^{4}+3465x^{2}-63),

P_{11}(x)={\frac {1}{256}}(88\,179x^{11}-230\,945x^{9}+218\,790x^{7}-90 \,090x^{5}+15\,015x^{3}-693x),

P_{12}(x)={\frac {1}{1024}}(676\,039x^{12}-1\,939\,938x^{10}+2\,078\,505x ^{8}-1\,021\,020x^{6}+225\,225x^{4}-18\,018x^{2}+231),

P_{13}(x)={\frac {1}{1024}}(1\,300\,075x^{13}-4\,056\,234x^{11}+4\,849 \,845x^{9}-2\,771\,340x^{7}+765\,765x^{5}-90\,090x^{3}+3003x),

P_{14}(x)={\frac {1}{2048}}(5\,014\,575x^{14}-16\,900\,975x^{12}+22\,309 \,287x^{10}-14\,549\,535x^{8}+4\,849\,845x^{6}-765\,765x^{4}+45\,045x^{2}- 429),

P_{15}(x)={\frac {1}{2048}}(9\,694\,845x^{15}-35\,102\,025x^{13}+50\,702 \,925x^{11}-37\,182\,145x^{9}+14\,549\,535x^{7}-2\,909\,907x^{5}+255\,255x^{ 3}-6435x),

P_{16}(x)={\frac {1}{32768}}(300540195x^{16}-1163381400x^{14}+1825305300x^{12}-1487285800x^8276{10}+ }-162954792x^{6}+19399380x^{4}-875160x^{2}+6435),

P_{17}(x)={\frac {1}{32768}}(583\,401\,555x^{17}-2\,404\,321\,560x^{15}+4 \,071\,834\,900x^{13}-3\,650\,610\,600x^{11}+1\,859\,107\,250x^{9}-535\,422\, 888x^{7}+81\,477\,396x^{5}-5\,542\,680x^{3}+109\,395x).

Od té doby $P_{n}(1)=1$

P_{n}(x)={\frac {\lambda _{0}+\lambda _{1}x+\lambda _{2}x^{2}+\ldots +\lambda _{n} x^{n)){\lambda _{0}+\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n))}={\frac {\sum \limits _{i=0}^{n }\lambda _{i}x^{i}}{\součet \limits _{i=0}^{n}\lambda _{i}}}.

Vlastnosti

Pokud , pak $n \neq 0$ $\forall x\in (-1,\;1)\quad |P_{n}(x)|<1.$
Protože titul je . $n \neq 0$ $P_{n}$ $n$
Součet koeficientů Legendreho polynomu je 1. $P_n(x)$
Rovnice má přesně odlišné kořeny na segmentu $P_{n}(x)=0$ $n$ $[-1,\;1].$
Nechte _ Pak ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad U_{n}(x)=(x^{2}-1)^{n))$ $U'_{n+1}(x)-2(n+1)xU_{n}(x)=0,$ $(x^{2}-1)U'_{n}(x)-2nxU_{n}(x)=0.$
Přidružené Legendreovy polynomy jsou řešením diferenciální rovnice ${\frac {d}{dx}}\left[(1-x^{2}){\frac {d}{dx}}P_{n}(x)\right]-{\frac { m^{2}}{(1-x^{2})}}P_{n}(x)+n(n+1)P_{n}(x)=0.$

V , rovnice nabývá tvaru

m=0

P'_{n+1}(x)=xP'_{n}(x)+(n+1)P_{n}(x).

Generující funkce pro Legendreovy polynomy je $\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(z)x^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-2xz+x^{2))} }.$
Podmínka ortogonality pro tyto polynomy na segmentu : $[-1,\;1]$ $\int \limits _{-1}^{1}P_{k}(x)P_{l}(x)\,dx={\frac {2}{2k+1}}\delta _{ kl},$

kde je symbol Kronecker .

\delta _{{kl}}

Neboť norma je $n\in \mathbb {N}$ $P_{n}$ $\|P_{n}\|={\sqrt {\int \limits _{-1}^{1}P_{n}^{2}(x)\,dx))={\sqrt { \frac {2}{2n+1}}}.$
Normalizovaná Legendreova polynomiální funkce souvisí s normou následujícím vztahem: $P_{n}$ ${\tilde {P}}_{n}(x)={\frac {P_{n}(x)}{\|P_{n}\|}}={\sqrt {\frac {2n +1}{2}}}P_{n}(x).$
U každého je systém souvisejících funkcí Legendre kompletní v . $m>0$ $P_{n}^{m}(x),\ n=m,\;m+1,\;\ldots$ $L_{2}(-1;\;1)$
V závislosti na a mohou být přidružené Legendreovy polynomy buď sudé nebo liché funkce: $m$ $n$ $P_{n}^{m}(-x)=(-1)^{{m+n}}P_{n}^{m}(x).$ ${\displaystyle P_{2n))$ je rovnoměrná funkce, $P_{2n+1}$ je zvláštní funkce.
$P_{n}(1)=1.$
$P_{n}(-1)=(-1)^{n}.$
$P_{2n}(0)={\frac {1}{2^{2n))}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {2n }{k}}{\binom {4n-2k}{2n}}0^{2n-2k}={\frac {1}{2^{2n}}}(-1)^{n}{\binom {2n}{n}}$ , od , a . $\forall k\neq n\quad 0^{2n-2k}=0$ $0^{2n-2n}=1$
Pro se provádí . $n \neq 0$ ${\displaystyle P_{2n}(0)\leqslant {\frac {1}{\sqrt {\pi n))))$
$\forall x\in [-1,\;1],\;\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad |P_{n}(x)|\leqslant {\sqrt { \frac {2}{\pi n(1-x^{2})}}}.$

Řada Legendreových polynomů

Rozšíření Lipschitzovy funkce do řady Legendreových polynomů

Funkce Lipschitz je funkce s majetkem $F$

|f(x)-f(y)|\leqslant L|xy|

, kde .

L>0

Tato funkce se rozšiřuje do řady Legendreových polynomů.

Dovolit je prostor spojitých zobrazení na segment , , a . $\varepsilon (I)$ $I=[-1,\;1]$ $f\in \varepsilon (I)$ $n\in \mathbb {N}$

Nechat

c_{n}(f)=\int \limits _{-1}^{1}f(x){\tilde {P}}_{n}(x)\,dx,

pak splňuje následující podmínku: $c_{n}(f)$

\lim _{n\to \infty }c_{n}(f)=0.

Nechte a splňte následující podmínky: $S_{n}f=\sum _{k=0}^{n}c_{k}(f){\tilde {P}}_{k}$ $S_{n}f$

$\forall x\in I\quad S_{n}f(x)=\int \limits _{-1}^{1}K_{n}(x,\;y)f(y)\, dy$ , kde $K_{n}(x,\;y)={\frac {n+1}{2}}{\frac {P_{n+1}(x)P_{n}(y)-P_{ n+1}(y)P_{n}(x)}{xy}};$
$S_{n}f(x)-f(x)=\int \limits _{-1}^{1}K_{n}(x,\;y){\big (}f(y) -f(x){\big )}\,dy;$
$\forall x\in [-1,1]\quad \lim _{n\to \infty }S_{n}f(x)=f(x).$

Lipschitzovu funkci lze zapsat následovně: $F$

f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(f){\tilde {P}}_{n}.

Dekompozice holomorfní funkce

Jakoukoli holomorfní funkci uvnitř elipsy s ohnisky −1 a +1 lze reprezentovat jako řadu: $F$

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n}P_{n}(x).

Sčítací teorém

Pro veličiny splňující podmínky , , , je reálné číslo , můžeme napsat sčítací větu pro Legendreovy polynomy prvního druhu: [7] $0\leqslant \psi _{1}<\pi$ $0\leqslant \psi _{2}<\pi$ $\psi _{1}+\psi _{2}<\pi$ $\varphi$

P_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k }(\cos \psi _{1})P_{k}(\cos \psi _{2})+2\součet \limits _{m=1}^{\infty }(-1)^{m} P_{k}^{-m}(\cos \psi _{1})P_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi ,

nebo alternativně prostřednictvím funkce gama :

P_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k }(\cos \psi _{1})P_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {\Gamma (k -m+1)}{\Gamma (k+m+1)}}P_{k}^{m}(\cos \psi _{1})P_{k}^{m}(\cos \psi _ {2})\cos m\varphi .

Pro Legendreovy polynomy druhého druhu vypadá adiční teorém takto [8]

Q_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k }(\cos \psi _{1})Q_{k}(\cos \psi _{2})+2\součet \limits _{m=1}^{\infty }(-1)^{m} P_{k}^{-m}(\cos \psi _{1})Q_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi

za podmínek , , , . $0\leqslant \psi _{1}<\pi /2$ $0\leqslant \psi _{2}<\pi$ $\psi _{1}+\psi _{2}<\pi$ $\varphi$

Legendre funkce

Legendreovy polynomy (spolu se souvisejícími Legendreovými funkcemi ) přirozeně vznikají v teorii potenciálu . $P_{{n,\;m}}(x)$

Sférické funkce jsou funkce (ve sférických souřadnicích ) tvaru (až do konstanty) $r,\;\theta ,\;\varphi$

r^{n}P_{n}^{m}(\cos \theta )\cos m\varphi

r^{n}P_{n}^{m}(\cos \theta )\sin m\varphi ,

kde jsou související Legendreovy polynomy. Mohou být také reprezentovány jako , kde jsou sférické funkce . $P_{n}^{m}$ ${\displaystyle r^{n}Y_{nm))$ ${\displaystyle Y_{nm))$

Sférické funkce splňují Laplaceovu rovnici všude v . $\mathbb {R} ^{3}$

Poznámky

↑ Gradstein, Ryzhik, 1963 , str. 1039.
↑ Bateman, Erdeyi, svazek 1, 1973 , s. 126-127.
↑ Bateman, Erdeyi, svazek 1, 1973 , s. 140.
↑ Zimring, 1988 , str. 196.
↑ 1 2 3 Zimring, 1988 , str. 197.
↑ John W. Eaton, David Bateman, Søren Hauberg, Rik Wehbring. GNU Octave . - Edice 4 pro Octave verze 4.4.1. - 2018. - S. 530-531.
↑ Gradstein, Ryzhik, 1963 , str. 1027.
↑ Gradstein, Ryzhik, 1963 , str. 1028.

Literatura

Bateman G., Erdeyi A. Vyšší transcendentální funkce = vyšší transcendentální funkce / Per. N. Ya. Vilenkina. - Ed. 2.,. - M. : Nauka, 1973. - T. 1. - 296 s. - 14 000 výtisků.
Vladimirov V. S., Zharinov V. V. Rovnice matematické fyziky. - M. : Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-5 .
Gradshtein I.S., Ryzhik I.M. Tabulky integrálů, součtů, řad a součinů. - Ed. 4., revidovaný. - M . : Státní nakladatelství fyzikální a matematické literatury, 1963. - 19 000 výtisků.
Campe de Ferrier J., Campbell R., Petio G., Vogel T. Functions of Mathematical Physics. — M .: Fizmatlit, 1963.
Nikolsky S. M. Kvadraturní vzorce. — M .: Nauka, 1988.
Zimring Sh. E. Speciální funkce a určité integrály. Algoritmy. Programy pro kalkulačky: příručka. - M .: Rádio a komunikace, 1988.

Odkazy

Legendre Polynomials - University of Rochester, 2010.

Ortogonální polynomy
Besselovy polynomy Gegenbauerovy polynomy Kravčukovy polynomy Laguerrovy polynomy Legendreovy polynomy Polachkovy polynomy Rogersovy polynomy Zernikeovy polynomy Čebyševovy polynomy Charlierovy polynomy Hermitovy polynomy Jacobiho polynomy