Bogomolov, Fedor Alekseevič

Fedor Bogomolov

Datum narození	26. září 1946 (76 let)( 1946-09-26 )
Místo narození	Moskva , Ruská SFSR , SSSR
Země	SSSR Rusko
Vědecká sféra	matematika
Místo výkonu práce	NRU HSE MIAN Courantův ústav matematických věd [1] New York University [2] [1]
Alma mater	Moskevská státní univerzita (Mekhmat)
Akademický titul	Doktor fyzikálních a matematických věd
Akademický titul	Profesor
vědecký poradce	S. P. Novikov

Fedor Alekseevič Bogomolov (narozený 26. září 1946 , Moskva ) je sovětský a americký matematik , známý pro svou práci na algebraické geometrii a teorii čísel .

Profesor Courantova institutu New York University, doktor fyziky a matematiky. Člen NAS USA (2022) [3] .

Životopis

Narozen 26. září 1946 v Moskvě . Syn radiotechnika akademika Alexeje Fedoroviče Bogomolova a bratr slavného ruského spisovatele Andreje Alekseeviče Molčanova .

V roce 1970 promoval na Fakultě mechaniky a matematiky Lomonosovovy moskevské státní univerzity .

Od roku 1970 do roku 1973 byl postgraduálním studentem na Matematickém ústavu. V. A. Steklová (školitel - S. P. Novikov ), v roce 1974 obhájil diplomovou práci. Od roku 1973 - vědecký pracovník Matematického ústavu. V. A. Šteklová. Doktor fyzikálních a matematických věd (1983).

V roce 1994 emigroval do Spojených států , kde se stal profesorem na Courant Institute of Mathematics v New Yorku.

Od listopadu 2010 - vědecký ředitel Laboratoře algebraické geometrie a jejích aplikací , Matematická fakulta Vyšší ekonomická škola v Moskvě [4] .

F. A. Bogomolov je zvaným řečníkem na mnoha mezinárodních vědeckých konferencích. V letech 2009 až 2014 byl šéfredaktorem Central European Journal of Mathematics ( Open Math. ), byl členem redakční rady časopisu Geometric and Functional Analysis journal .

Člen správní rady Institutu pro geometrii a fyziku Miami-Cinvestav-Campinas, Collaboration in the Americas in Geometry and Physics [5] .

Vědecké úspěchy

První článek, publikovaný v roce 1969 , byl věnován topologii. Na počátku 70. let Bogomolov zahájil výzkum v oblasti algebraické geometrie .

Bogomolov je široce citovaný matematik pracující v oblasti algebraické geometrie; jeho výzkum Calabiho- Yauových variet, hyperkählerových variet, teorie algebraických povrchů, svazků stabilních vektorů, aritmetická algebraická geometrie podporuje moderní algebraickou geometrii a její průsečíky s teoretickou fyzikou (teorií strun).

F. A. Bogomolov je zodpovědný za řadu silných výsledků, které určují vývoj algebraické geometrie. Je autorem více než 100 vědeckých prací v matematice.

Funguje jako základ hyperkählerovy geometrie

V letech 1973 a 1974 publikoval Bogomolov sérii prací [6] [7] [8] , ve kterých podal geometrický důkaz rozkladové věty pro kompaktní Kählerianovy manifoldy s triviálním kanonickým svazkem , vylepšující Calabiho výsledek , prokázal pouze za předpokladu jeho jména domněnka . Důkaz se ukázal být neúplný a po Yauově řešení Calabiho domněnky byl Bogomolovův teorém o rozkladu pokárán v Calabiho duchu (důkaz publikoval Beauville ). Bogomolovovy geometrické představy související s teorií algebraických foliací se přitom ukázaly jako plodné v dalším bádání v tomto směru.

Na rozdíl od Calabiho výsledku Bogomolovova dekompoziční věta neobsahuje dvě, ale tři třídy „elementárních“ variet s triviální kanonickou třídou: stabilně algebraické (v moderní terminologii striktní Calabi-Yauovy variety ) a primitivní hamiltonovské (v moderní terminologii neredukovatelné holomorfně symplektické variety nebo hyperkählerovy rozdělovače). V roce 1978 Bogomolov publikoval článek Hamiltonian Kahlerian manifolds, který obsahoval důkaz domněnky A. N. Tyurina , podle níž je každá neredukovatelně holomorfně symplektická manifolda K3-povrch . [9] Tento výsledek se ukázal jako chybný: o čtyři roky později Fujiki a Beauville ukázali, že Hilbertovo schéma bodů na povrchu K3 a zobecněná Kummerova varieta Abelova povrchu jsou neredukovatelně homomorfně symplektické.

Zároveň je v tomto článku jako lemma dokázána Bogomolov-Tian-Todorovova věta pro holomorfně symplektické variety, která říká, že jakákoli deformace prvního řádu hyperkählerovy variety se rozšiřuje na deformaci analytickou. Na stejném místě Bogomolov poznamenal, že tento teorém lze dokázat i pro odrůdy Calabi-Yau, což učinil v preprintu IHES v roce 1981. Dnes tento teorém je základem fyzikální teorie zrcadlové symetrie . Ve stejném článku Hamiltonovské Kählerovy variety je ukázána existence kvadratické formy na druhé kohomologii jakékoli hyperkählerovy variety, která se v případě K3-plochy shoduje s průnikovou formou . Nyní se nazývá Beauville-Bogomolovova forma a je výchozím bodem pro studium kohomologických algeber kompaktních hyperkählerových variet, které provedl Verbitsky a které vyvrcholily důkazem globálního Torelliho teorému pro hyperkählerovy variety.

V roce 1996 popsal Bogomolov Guanovy příklady ne-Kählerovských holomorfně symplektických variet jako Hilbertova schémata bodů na povrchu Kodaira-Thurston . [10] Tyto manifoldy byly později nazvány Bogomolov-Guan manifoldy , jsou v mnoha ohledech podobné hyperkählerovi manifoldy - zejména připouštějí variantu Beauville-Bogomolovovy formy.

Bogomolovovy práce o holomorfně symplektických varietách, napsané v druhé polovině 10. let 20. století, se zabývají především automorfismy hyperkählerových variet [11] [12] [13] a jsou spoluautory s různými matematiky (včetně Verbitského a Kamenové ). Samostatně stojí za zmínku článek Lagrangeovy fibrace pro IHS fourfolds , napsaný ve spolupráci s Kurnosovem , ve kterém byla vyřešena Matsushitova domněnka pro čtyřrozměrné hyperkähler manifoldy , kde se uvádí, že Lagrangian fibrations na nich nemají více vláken (když následuje že existuje základ takové fibrace ). [14] Přibližně ve stejnou dobu tyto výsledky získali Huybrechts a Xu . [patnáct] ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{2))$

Foliace a holomorfní symetrické tenzory

V práci z roku 1977 „ Rodiny křivek na plochách obecného typu “ [16] Bogomolov dokázal, že na jakékoli ploše obecného typu c existuje pouze konečný počet křivek ohraničeného rodu. Myšlenky tohoto důkazu, založené na uvažování o holomorfních tenzorech a foliacích na takových površích, použil o více než 20 let později McQuillan [17] k prokázání Green-Griffithsovy domněnky pro takové povrchy. ${\displaystyle c_{1}^{2}>c_{2))$

V pozdější práci, ve spolupráci s de Oliveira , Bogomolov znovu se vrátil ke studiu holomorfních symetrických tenzorů na projektivních varietách. [18] [19] [20]

Povrchy třídy VII₀

V článku Klasifikace povrchů třídy c [21] z roku 1976 studoval Bogomolov povrchy tzv. třídy VII , ne-Kählerovy povrchy z klasifikace Kodaira-Enriques , jejichž klasifikace je stále neúplná. Dokázal, že za podmínky , nějaké konečné pokrytí takového povrchu připouští holomorfní foliaci, a proto je buď Hopfovým povrchem nebo Inueho povrchem . S výjimkou Bogomolovovy věty je k dispozici jediný klasifikační výsledek pro povrchy třídy VII pro případ , který v roce 2005 získal Telemann . [22] $\mathrm {VII} _{0}$ $b_{2}=0$ $b_{2}=0$ $b_2 = 1$

V roce 2017 ve společné práci s Buonerbou a Kurnosovem Bogomolov výrazně zjednodušil důkaz svého výsledku a opíral se o teorii grup. [23]

Stabilní vektorové svazky

Bogomolov byl jedním z prvních geometrů, kteří rozšířili vědu o stabilních vektorových svazcích na Riemannových plochách (tj. algebraických křivkách) na algebraické odrůdy vyšší dimenze. Na nich lze pojem stability definovat různými způsoby; Bogomolova nestabilita pro svazek řady dva na algebraické ploše se redukuje na existenci konečné podmnožiny (možná prázdné) a svazků řádků tak, že existuje přesná trojice snopů a nerovnosti také platí pro libovolného velkého dělitele (podobná definice lze zavést v případě svazků vyšší hodnosti). Bogomolovova věta o nestabilitě [24] říká, že pokud na Chernových číslech existuje nerovnost , pak je svazek nestabilní. V dokumentu z roku 1978 Holomorfní tenzory a vektorové svazky na projektivních varietách [25] Bogomolov odvodil z těchto úvah to, co je nyní známé jako Bogomolov-Miyaoka-Yauova nerovnost (s konstantou 4 místo 3). $E$ $X$ $Z\subset X$ $A,B$ $0\to A\to E\to B\otimes I_{Z}\to 0$ $(AB)^{2}>0$ $(AB).H>0$ $H$ $c_{1}(E)^{2}>4c_{2}(E)$ $E$

Tento dokument také dokazuje následující

Teorém. Nechť je projektivní varieta a je koherentní podsvazek úrovně jedna. Pak dimenze Iitake $X$ ${\displaystyle L\subset \Omega ^{p))$ $\kappa (X,L)$ tento dílčí svazek nepřesahuje . Navíc v případě rovnosti existuje svazek nad dimenzionální základnou , takže . $p$ $\kappa (X,L)=p$ $p$ $f\dvojtečka X\to Y$ $L=f^{*}(K_{Y})$

Toto je zobecnění klasické Castelnuovo-de Francisovy věty, která říká, že pokud jsou dvě holomorfní 1-formy na projektivní ploše vynásobeny nulou, pak lze tuto plochu zmapovat na křivku takovým způsobem, že tyto dvě formy jsou výtahy. Abelovských diferenciálů na této křivce. Na základě této Bogomolovovy věty Campana zavedl koncept Bogomolova podsvazku , nasyceného koherentního podsvazku úrovně jedna ve svazku holomorfních forem na projektivní varietě, jejíž dimenze Iitaki je . Rozvody, které nepřipouštějí Bogomolovské podsnopy, se nazývají Campana special . Slouží jako základní stavební kámen v Campanově dosud nedokončeném projektu reprezentovat každou algebraickou varietu jako svazek se speciálními vlákny Campana nad orbifoldem obecného typu. Předpokládá se, že vlastnost nepřítomnosti Bogomolovových podsnopů je ekvivalentní širokému spektru vlastností, a to jak geometrických (vymizení Kobayashiho pseudometrie ), tak číselně teoretických (pro variety definované v podoblasti , Zariského hustota bodů definovaná přes nějaké pevné konečné rozšíření , ekvivalence hustoty potenciálu s mizením pseudometrického Kobayashi je variantou známé Lengovy domněnky ). [26] $\Omega ^{p}$ $p$ $p>0$ $k\subset \mathbb {C}$ $k'\supset k$

Invariantní teorie a otázky racionality

Jedním z východisek Bogomolova výzkumu racionality algebraických variet je

Noetherův problém . Nechť je komplexní vektorový prostor a buď konečná grupa, která na něj působí. Je pravda, že faktor je racionální odrůda? $PROTI$ $G$ $V/G$

Například pro a , symetrickou grupu, která na ni působí permutací souřadnicových os, je racionalita takového faktoru známou hlavní větou teorie symetrických polynomů . Příklady, ve kterých takový faktor není racionální, byly nalezeny v roce 1969 Swanem a v roce 1984 Zaltmanem . Důkaz toho druhého byl založen na analýze takového faktoru skupinou Brouwer . V článku z roku 1987 , The Brauer Group of Factor Spaces of Linear Representations [27] , Bogomolov dokázal, že tato Brauerova grupa může být vyjádřena výhradně v termínech algebry: konkrétně se shoduje s podgrupou ve druhé cohomologii grupy , sestávající z prvky omezené nulou na všechny abelovské podskupiny ve skupině . Bogomolov získal podobný výsledek pro přesné reprezentace komplexních algebraických grup (racionalita některých těchto faktorů byla prokázána v jeho dřívější práci v roce 1985, jejímž spoluautorem je Katsylo [28] ). $V=\mathbb {C} ^{n}$ $G=\mathrm {Sym} (n)$ $B_{0}\subset H^{2}(G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )$ $G$ $G$

Bogomolov také studoval abelovské podgrupy absolutních Galoisových grup polí meromorfních funkcí na libovolných algebraických varietách, konkrétně dokázal, že abelovská podgrupa hodnosti vyšší než jedna je obsažena v nějaké větvené podskupině (to znamená, že existuje ocenění jako že podskupina je obsažena v podskupině Galois, skupině Galois dokončení pole v tomto nařízení). [29] Tyto výsledky následně posílil spolu s Tschinkelem . [30] [31] Také tyto dva matematici získali podobné výsledky pro variety na konečných polích: pole racionálních funkcí na algebraické rozmanitosti dimenzí více než jedna nad konečným polem, až do čistě neoddělitelného rozšíření, je obnoveno. z faktoru druhým členem nižší centrální řady pro- - doplnění Galoisovy grupy [32] (v charakteristické nule dokázali větu o obnovení pole racionálních funkcí z její první a druhé Minlor K-grupy). ). [33] $\nu$ $\mathrm {Gal} (K_{\nu })\subset \mathrm {Gal} (K)$ $\ell$

Shafarevičova hypotéza

Od konce devadesátých let se Bogomolov také zabývá studiem základních skupin Kählerianových variet . Zvláštní místo v těchto studiích zaujímá domněnka formulovaná I. R. Shafarevičem : univerzální kryt kompaktního Kählerova manifoldu je holomorfně konvexní (je mapován kompaktními vlákny na Stein manifold ). Předpokládá se, že tato domněnka platí pro komplexní projektivní variety se zbytkově konečnými základními grupami (tj. těmi, ve kterých je průsečík všech podgrup konečného indexu triviální podgrupou). Bogomolov se ve spolupráci s Katsarkovem pokusil zkonstruovat povrchy s nezbytkově konečnými základními grupami a získal je jako svazek přes křivku s vláknem křivky s vhodnou monodromií kolem singulárních vláken. Porušení zbytkové konečnosti pro takové skupiny by bylo podobné negativnímu řešení problému Burnside , ale pro faktory skupiny třídy mapování koule s úchyty namísto volné skupiny. [34] [35] Tyto práce však nepřinesly výsledky kvůli extrémní složitosti otázky Kählerových základních skupin, na které se redukují, a jejichž přesný status není zcela jasný [36]

Racionální body a aritmetická geometrie

Bogomolov předložil řadu dohadů o struktuře torzních bodů na eliptických křivkách a abelovských varietách . Nejjednodušeji je formulováno následující.

Hypotéza. Dovolit , jsou dvě eliptické křivky, a jsou standardní projekce identifikující dvojice bodů a . Pak průměty množin torzních bodů do a buď se shodují a a nebo mají nejvíce společných bodů, kde je apriorní konstanta. $E$ $E'$ ${\displaystyle E,E'\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1))$ $X$ $-X$ $E$ $E'$ $E\simeq E'$ $B$ $B$

Tento dohad byl prokázán Laurou de Marco , Holly Krieger a Ye Hexi . [37] Slavnější Bogomolovova domněnka také souvisí s Manin-Mumfordovou domněnkou a uvádí, že pro jakékoli vložení křivky definované přes číselné pole v její jakobiánské varietě je počet bodů dostatečně malé výšky Nero-Severi ležících na tato křivka je konečná (protože torzní body jsou přesně body Nero-Severiho nulové výšky, to implikuje Manin-Mumfordův dohad, že počet torzních bodů na křivce ležící v její jakobiánské varietě je konečný). Tuto domněnku dokazují Yullmo a Zhang .

Bogomolovovy aritmetické výsledky ve spolupráci s Tschinkelem et al. odkazují na potenciální hustotu (tj. hustotu po konečné expanzi základního pole) racionálních bodů na Enriquesových plochách [38] a eliptických plochách K3, [39] a hustota racionálních křivek na plochách K3. [40] [41] Mochizuki považuje Bogomolovův důkaz geometrické verze Spirovy domněnky za nejblíže svému důkazu aritmetické verze této domněnky [42] (která využívá nějaký aparát, který matematická komunita jednoznačně nepřijímá).

Poznámky

↑ 1 2 Library of Congress Authority (anglicky) - Library of Congress .
↑ https://math.nyu.edu/people/profiles/BOGOMOLOV_Fedor.html
↑ Volby NAS 2022 . Získáno 9. května 2022. Archivováno z originálu dne 10. května 2022. (neurčitý)
↑ Místo Laboratoře algebraické geometrie a jejích aplikací . Získáno 2. června 2012. Archivováno z originálu 17. června 2012. (neurčitý)
↑ Institut pro geometrii a fyziku Miami-Cinvestav-Campinas . Získáno 2. června 2012. Archivováno z originálu 5. března 2016. (neurčitý)
↑ F. A. Bogomolov, „O odrůdách s triviální kanonickou třídou“ , Uspekhi Mat. Nauk, 28:6(174) (1973), 193–194
↑ F. A. Bogomolov, „Kählerian manifolds with a trivial canonical class“ , Izv. Akademie věd SSSR. Ser. Mat., 38:1 (1974), 11-21
↑ F. A. Bogomolov, „O rozkladu Kählerianových variet s triviální kanonickou třídou“ , Mat. Sb., 93(135):4 (1974), 573–575
↑ F. A. Bogomolov, „Hamiltonian Kähler manifolds“ , Dokl. AN SSSR, 243:5 (1978), 1101–1104
↑ FA Bogomolov, „Na příkladech Guanových jednoduše připojených kompaktních komplexních rozvodů jiných než Kähler“, Amer. J. Math., 118:5 (1996), 1037–1046
↑ Fedor Bogomolov, Ljudmila Kamenová, Steven Lu, Misha Verbitsky. O Kobayashi pseudometrických, komplexních automorfismech a hyperkaehlerových varietách , 2016
↑ Fedor Bogomolov, Ljudmila Kamenová, Misha Verbitsky. Algebraicky hyperbolické variety mají konečné skupiny automorfismu Archivováno 30. ledna 2022 na Wayback Machine , 2017
↑ Fedor Bogomolov, Nikon Kurnosov, Alexandra Kuzněcovová, Jegor Jasinskij. Geometrie a automorfismy non-Kählerových holomorfních symplektických variet Archivováno 1. listopadu 2020 na Wayback Machine , 2020
↑ Fedor Bogomolov, Nikon Kurnosov. Lagrangiánské fibrace pro IHS čtyřikrát Archivováno 22. května 2021 na Wayback Machine , 2018
↑ Daniel Huybrechts, Chenyang Xu. Lagrangiánské fibrace hyperkählerovy čtyřikrát Archivováno 7. srpna 2020 na Wayback Machine , 2019
↑ F. A. Bogomolov, „Rodiny křivek na plochách obecného typu“ , Dokl. AN SSSR, 236:5 (1977), 1041–1044
↑ McQuillan, Michael (1998), Diophantine aproximace a foliace , Publikace Mathématiques de l'IHÉS vol. 87: 121–174, doi : 10.1007/BF02698862 , < http : //www.itnum1_0_0_7_71 Archivováno 22. června 2020 na Wayback Machine
↑ Fedor Bogomolov, Bruno De Oliveira. Symetrické tenzory a geometrie pododrůd $\mathbb {P} ^{N}$ Archived 2. února 2022 na Wayback Machine , 2006
↑ Fedor Bogomolov, Bruno De Oliveira. Uzavřené symetrické 2-diferenciály 1. druhu , 2013
↑ Fedor Bogomolov, Bruno De Oliveira. Lokální struktura uzavřených symetrických 2-diferenciálů , 2014
↑ F. A. Bogomolov, „Klasifikace povrchů třídy c “ $\mathrm {VII} _{0}$ $b_{2}=0$ , Izv. Akademie věd SSSR. Ser. Mat., 40:2 (1976), 273-288
↑ Andrei Teleman, Donaldsonova teorie o nekählerovských površích a površích třídy VII s , $b_{2}=1$ Inventiones Mathematicae 162, 493–521, 2005. MR : 2006i:32020
↑ Federico Buonerba, Fedor Bogomolov, Nikon Kurnosov. Klasifikace povrchů pomocí teorie grup $\mathrm {VII} _{0}$ $b_{2}=0$ Archivováno 21. ledna 2022 na Wayback Machine , 2017
↑ Poznámky z matematiky 252 -- Lineární systémy a pozitivita vektorových svazků . Získáno 27. srpna 2020. Archivováno z originálu dne 13. listopadu 2020. (neurčitý)
↑ F. A. Bogomolov, „Holomorfní tenzory a vektorové svazky na projektivních varietách“ , Izv. Akademie věd SSSR. Ser. Mat., 42:6 (1978), 1227-1287
↑ Frederic Campana. Speciální odrůdy a teorie klasifikace Archivováno 11. května 2017 na Wayback Machine , 2001
↑ F. A. Bogomolov, „Brauerova skupina kvocientových prostorů lineárních reprezentací“ , Izv. Akademie věd SSSR. Ser. Mat., 51:3 (1987), 485-516
↑ F. A. Bogomolov, P. I. Katsylo, „Racionalita některých kvocientových odrůd“ , Mat. Sb., 126(168):4 (1985), 584–589
↑ F. A. Bogomolov, „Abelian subgroups of Galois groups“ , Izv. Akademie věd SSSR. Ser. Mat., 55:1 (1991), 32-67
↑ Fedor Bogomolov, Jurij Tschinkel. Prvky dojíždění ve skupinách funkčních polí Galois Archivováno 6. dubna 2022 na Wayback Machine , 2000
↑ Fedor Bogomolov, Jurij Tschinkel. Noetherův problém a sestup , 2017
↑ Fedor Bogomolov, Jurij Tschinkel, „Rekonstrukce polí funkcí vyšších dimenzí“ , Mosc. Matematika. J. 11:2 (2011), 185–204
↑ Fedor Bogomolov, Jurij Tschinkel. Milnor K_2 a homomorfismy polí , 2009
↑ Fedor Bogomolov, Ludmil Katzarkov. Komplexní projektivní plochy a nekonečné grupy , 1997
↑ Fedor Bogomolov, Ludmil Katzarkov. Symplectic Lefschetz fibrations s libovolnými základními skupinami Archivováno 7. května 2021 na Wayback Machine , 1998
↑ Carlos Simpson . Konstrukční problém v Kählerově geometrii
↑ Laura DeMarco, Holly Krieger, Hexi Ye. Uniform Manin-Mumford pro rodinu rodu 2 křivek Archivováno 1. listopadu 2020 na Wayback Machine , 2019
↑ Fedor Bogomolov, Jurij Tschinkel. Hustota racionálních bodů na Enriquesových površích , 1998
↑ Fedor Bogomolov, Jurij Tschinkel. Hustota racionálních bodů na eliptických plochách K3 , 1999
↑ Fedor Bogomolov, Jurij Tschinkel. Racionální křivky a body na plochách K3 , 2003
↑ Fedor Bogomolov, Brendan Hassett, Jurij Tschinkel. Konstrukce racionálních křivek na plochách K3 , 2009
↑ Shinichi Mochizuki. BOGOMOLOVŮV DŮKAZ GEOMETRICKÉ VERZE KONJEKTURY SZPIRO Z POHLEDU INTER-UNIVERSAL TEICHM ̈ULLEROVA TEORIE Archivováno 8. února 2020 na Wayback Machine , 2016

Odkazy

Tematické stránky

V bibliografických katalozích
BIBSYS: 3036010 BNF : 14514203b GND : 129921637 ISNI : 0000 0001 1763 2416 J9U : 987007454985405171 LCCN : n2001019243 NTA : 071472835 NUKAT : n2004000416 SUDOC : 079278612 VIAF : 51923039 WorldCat VIAF : 51923039