Zrcadlová symetrie (teorie strun)

V matematice a teoretické fyzice je zrcadlová symetrie ekvivalentem Calabi-Yauových variet v následujícím smyslu. Dvě Calabiho-Yauovy variety mohou být geometricky zcela odlišné, ale poskytují stejnou fyziku elementárních částic, když jsou použity jako "složené" další dimenze teorie strun . Takové rozvody se nazývají zrcadlově symetrické .

Zrcadlová symetrie byla původně objevena fyziky. Matematici se o tento fenomén začali zajímat kolem roku 1990, kdy Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green a Linda Parks ukázali, že zrcadlovou symetrii lze použít jako nástroj ve výpočetní geometrii , odvětví matematiky, která se zabývá počítáním počtu odpovědí. na určité geometrické otázky. Candelas et al ukázali, že zrcadlovou symetrii lze použít k počítání počtu racionálních křivek na odrůdě Calabi-Yau, což řeší dlouhodobý problém. Ačkoli původní přístup k zrcadlové symetrii byl založen na myšlenkách formulovaných na fyzické úrovni přísnosti, matematici byli schopni přísně dokázat některé z předpovědí provedených fyziky.

Zrcadlová symetrie je nyní jednou z nejhlavnějších oblastí výzkumu v čisté matematice a matematici pracují na rozvoji matematického pochopení tohoto jevu založeného na fyzické intuici. Kromě toho je zrcadlová symetrie hlavním výpočetním nástrojem v teorii strun; to také bylo používáno rozumět detailům kvantové teorie pole , formalismu, kterým fyzici popisují elementární částice . Mezi hlavní přístupy k zrcadlové symetrii patří program homologické zrcadlové symetrie Maxima Kontseviče a hypotéza SYZ Stromingera , Yaua a Zaslowa .

Přehled

Řetězce a kompaktifikace

Teorie strun  je teorie, ve které základními objekty nejsou bodové částice, ale jednorozměrné objekty zvané struny. Řetězce jsou otevřené a uzavřené; otevřené vypadají jako segmenty, uzavřené vypadají jako smyčky. Teorie strun se zabývá popisem toho, jak se tyto základní objekty – řetězce – šíří prostorem a vzájemně se ovlivňují. Ve vzdálenosti větší než Planckova délka vypadá struna jako bodová částice s vlastní hmotností , nábojem a dalšími vlastnostmi, které závisí na vibračním režimu struny. Štěpení a rekombinace řetězců odpovídá emisi a absorpci částic – máme tedy jazyk řetězce, který popisuje interakci částic. [jeden]

Mezi světem popisovaným teorií strun a světem, se kterým se setkáváme v každodenním životě, je podstatný rozdíl. V běžném životě pozorujeme tři prostorové dimenze (nahoru/dolů, vlevo/vpravo a dopředu/dozadu) a současně o e (dříve/později). V řeči moderní fyziky je tedy časoprostor čtyřrozměrný. [2] Jedním z rysů teorie strun je skutečnost, že pro její vlastní konzistenci jsou zapotřebí další dimenze časoprostoru. Teorie superstrun (verze teorie strun, která zahrnuje supersymetrii ) vyžaduje šest dalších dimenzí časoprostoru kromě obvyklých čtyř. [3]

Jedním z cílů současného výzkumu v teorii strun je vyvinout modely, ve kterých struny popisují chování částic pozorovaných při experimentech fyziky vysokých energií. Svět, ve kterém částice pozorujeme, se nám jeví jako čtyřrozměrný – proto je nutné zvolit způsob, jak se zredukovat na čtyři rozměry na vzdálenosti, na které jsme zvyklí. V nejrealističtějších teoriích je toho dosaženo procesem zhutňování , ve kterém se dodatečné dimenze "uzavírají" samy do sebe v kruhu. [4] Pokud se tyto "složené" dodatečné dimenze ukáží jako velmi malé, bude se nám zdát, že časoprostor v takové teorii má méně dimenzí. Standardní analogií je zde zahradní hadice. Při pohledu z dostatečně velké vzdálenosti působí zahradní hadice dojmem jednorozměrného předmětu. Zároveň, pokud se k němu přiblížíte, uvidíte i druhý rozměr odpovídající kružnici. Takže mravenec lezoucí po povrchu hadice se ve skutečnosti pohybuje ve dvou rozměrech, ne v jednom. [5]

Calabi-Yauovy rozdělovače

Pomocí kompaktifikace lze výsledné teoreticky vícerozměrné prostory přeměnit na efektivně čtyřrozměrné. Ne každý způsob zhutnění však vede ke čtyřrozměrnému prostoru, který by mohl popsat náš svět. Lze dosáhnout toho, že kompaktní dodatečné rozměry by měly mít podobu Calabi-Yauova rozdělovače . [4] Calabiho-Yauova varieta je (obvykle komplexní trojrozměrný) prostor, jehož hlavní vlastností je triviálnost kanonického svazku . Je pojmenována po Eugeniu Calabim , který formuloval domněnku o existenci a jedinečnosti odpovídající metriky  – Calabiho domněnce  – a Shintanovi Yauovi , který ji dokázal. [6]

Poté, co Calabi-Yauovy variety vstoupily do fyziky (jako způsob, jak zhutnit „nadbytečné“ dimenze), fyzici je začali intenzivně studovat. Na konci 80. let si Wafa a další všimli, že nebylo možné jedinečně obnovit Calabi-Yauovu varietu, ze které byla provedena kompaktifikace, z výsledného čtyřrozměrného prostoru. [7] Místo toho lze dvě různé teorie strun – teorii strun typu IIA a teorii strun typu IIB  – zkompaktovat pomocí zcela odlišných Calabi-Yauových variet takovým způsobem, že to vede ke stejné fyzice. [8] O takových dvou Calabi-Yauových varietách se říká, že jsou zrcadlově symetrické a korespondence mezi dvěma původními teoriemi strun (přesněji konformními teoriemi pole , které je popisují) se nazývá zrcadlová symetrie. [9]

Zrcadlová symetrie je zvláštním případem toho, co fyzici nazývají dualitou . Duality jsou situace, kdy se dvě různé fyzikální teorie ukáží jako rovnocenné netriviálním způsobem. Pokud je možné provést takovou transformaci, aby se rovnice jedné teorie shodovaly s rovnicemi jiné teorie, pak se dvě takové teorie s ohledem na tuto transformaci nazývají duální. Dá se to vyjádřit jinak: dvě duální teorie jsou matematicky odlišnými popisy stejného jevu. [10] Takové duality často vznikají v moderní fyzice, zejména v teorii strun. [jedenáct]

Bez ohledu na to, zda jsou kompaktifikace teorie strun s Calabi-Yauovými varietami relevantní pro skutečný svět, existence zrcadlové symetrie má významné matematické důsledky. [12] Calabiho-Yauovy variety jsou předmětem studia v čisté matematice a s pomocí zrcadlové symetrie umožňují matematikům řešit problémy enumerativní algebraické geometrie . Typickým problémem výpočetní geometrie je spočítat počet racionálních křivek na Calabi-Yauově varietě (jako je ta, která je zobrazena výše). Pomocí zrcadlové symetrie matematici ukázali, že tento problém má ekvivalent pro zrcadlově symetrickou varietu, což je snazší řešit. [13]

Fyzikové získali zrcadlovou symetrii, aniž by se uchýlili k matematickým úvahám. [14] Matematici se přitom obvykle zajímají o matematicky rigorózní důkazy – důkazy, ve kterých není místo pro fyzikální intuici. Z matematického hlediska je výše popsaná verze zrcadlové symetrie stále předpokladem, ale existuje ještě jedna verze zrcadlové symetrie – verze spojená s topologickou teorií strun , zjednodušenou teorií strun zavedenou Wittenem [15] . přísně dokázané matematiky. [16] V jazyce topologické teorie strun je zrcadlová symetrie prohlášením o ekvivalenci A-modelu a B-modelu ; jsou rovnocenné v tom smyslu, že jsou spojeny dualitou. [17] Nyní matematici aktivně pracují na rozvoji matematického chápání zrcadlové symetrie, která byla objevena fyziky v jazyce, který je pro fyziky pohodlnější pro myšlení. [18] Zejména matematici ještě plně nerozumí tomu, jak konstruovat nové příklady zrcadlově symetrických Calabi-Yauových variet, navzdory určitému pokroku v této oblasti. [19]

Historie

Počátky zrcadlové symetrie je třeba hledat v polovině 80. let, kdy bylo zjištěno, že uzavřená struna šířící se po kružnici o poloměru je fyzicky ekvivalentní uzavřené struně šířící se po kružnici o poloměru (v některých systémech jednotek ). [20] Tento jev se nazývá T-dualita a úzce souvisí se zrcadlovou symetrií. [21] V článku z roku 1985 Candelas, Horowitz, Strominger a Witten ukázali, že zhutněním teorie strun pomocí Calabi-Yauova manifoldu lze získat teorii podobnou standardnímu modelu částicové fyziky . [22] Po této úvaze začali fyzici studovat zhutnění Calabi-Yauových variet v naději, že sestrojí částicovou fyziku popisující skutečný svět, což by bylo důsledkem teorie strun. Vafa a další si všimli, že z tohoto modelu 4D částicové fyziky není možné jednoznačně rekonstruovat Calabi-Yauovu varietu, která se zhutnila. Místo toho existují dva Calabiho-Yauovy variety, které vedou ke stejným čtyřrozměrným teoriím částicové fyziky. [23]

Studiem korespondence mezi Calabi-Yauovými varietami a určitými konformními teoriemi pole ( Gepnerovy modely ) našli Brian Greene a Ronen Plesser netriviální příklady zrcadlové korespondence. [24] Tato otázka byla dále rozvinuta poněkud později, když Philip Candelas a dva jeho studenti testovali velké množství Calabi-Yauových variet na počítači a zjistili, že každý z nich je "zrcadlově symetrický pár" pro nějakou jinou. [25]

Matematici se o zrcadlovou symetrii začali zajímat kolem roku 1990, kdy fyzici Philippe Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green a Linda Parks ukázali, že ji lze použít k řešení desetiletí trvajících problémů ve výpočetní geometrii . [26] [27] Tyto výsledky byly prezentovány na konferenci v Berkeley v květnu 1991. Během této konference bylo zaznamenáno, že jedno z čísel získaných Candelasem při výpočtu racionálních křivek se neshodovalo s číslem získaným norskými matematiky Geirem Ellingsrudem a Steinem Arildem Strommem, kteří zřejmě použili přísnější úvahy. [28] Většina matematiků na konferenci věřila, že Candelasova práce obsahuje chybu, protože byla založena na matematicky volných úsudcích. Ellingsrud a Stromme však brzy našli chybu ve svém počítačovém programu a po opravě kódu obdrželi odpověď, která se shodovala s odpovědí Candelase a jeho spoluautorů. [29]

V roce 1990 Edward Witten představil topologickou teorii strun [15]  , zjednodušenou verzi teorie strun, a fyzici ukázali, že má také svou vlastní zrcadlovou symetrii. [30] [31] Ve zprávě pro Mezinárodní kongres matematiků v roce 1994 představil Maxim Kontsevich matematický dohad založený na fenoménu zrcadlové symetrie objeveném ve fyzickém jazyce v topologické teorii strun. Tato domněnka je známá jako domněnka homologické zrcadlové symetrie a formalizuje pojem zrcadlové symetrie jako prohlášení o ekvivalenci dvou odvozených kategorií: odvozené kategorie koherentních kladek na Calabi-Yauově manifoldu a odvozené kategorie Fukai konstruované ze zrcadla. -symetrický rozdělovač. [32]

Také kolem roku 1995 Kontsevich analyzoval práci Candelas, která dala obecný vzorec pro počítání racionálních křivek na trojrozměrné kvintice , a přeformuloval tyto výsledky jako přísnou matematickou hypotézu. [33] V roce 1996 publikoval Givental článek, který podle Giventala samotného poskytuje důkaz této Koncevičovy domněnky. [34] Zpočátku velká část matematiků považovala tuto práci za krajně nesrozumitelnou, a proto pochybovala o její správnosti. O něco později Lian, Liu a Yau nezávisle publikovali svůj důkaz v řadě článků. [35] Bez ohledu na debatu o tom, kdo publikoval důkaz jako první, jsou tyto články nyní široce přijímány jako matematické důkazy výsledků získaných pomocí zrcadlové symetrie v jazyce fyziků. [36] V roce 2000 Kentaro Hori a Kumrun Wafa předložili fyzický důkaz zrcadlové symetrie založené na T-dualitě. [čtrnáct]

Aplikace

Výpočetní geometrie

Zrcadlová symetrie je aktivně používána ve výpočetní geometrii - odvětví matematiky, která se zajímá o otázky jako "kolik těch nebo těch geometrických struktur existuje"; hlavním nástrojem výpočetní geometrie jsou techniky vyvinuté v algebraické geometrii . Jeden z prvních problémů ve výpočetní geometrii byl položen kolem roku 200 př.nl. E. starověký řecký matematik Apollonius . „ Kolik kruhů v rovině se dotýká tří datových bodů? “ zeptal se Apollonius. Odpověď dal sám Apollonius; je to takto: jsou-li dané kruhy tři - v obecné poloze je kruhů, které se jich dotýkají, osm. [37]

Numerické problémy v matematice jsou obvykle problémy o množství existujících algebraických variet , které jsou definovány jako soubory řešení systémů polynomiálních rovnic. Například Clebschova kostka (viz obrázek) je definována pomocí nějakého polynomu stupně tři ve čtyřech proměnných. Arthur Cayley a George Salmon se ve své době dočkali pozoruhodného výsledku – na takovou plochu lze nakreslit přesně 27 rovných čar. [38]

Když tento problém zobecníme, můžeme se zeptat, kolik čar lze nakreslit na Calabi-Yauově kvintě (viz obrázek výše). Tento problém vyřešil Hermann Schubert , který ukázal, že existuje přesně 2875 takových řádků. V roce 1986 Sheldon Katz dokázal, že počet kuželoseček patřících k této kvintice je 609250. [37]

V roce 1991 byla většina klasických problémů výpočetní geometrie vyřešena a zájem o výpočetní geometrii začal slábnout. Jak řekl matematik Mark Gross: "Když byly vyřešeny klasické problémy, lidé začali přepočítávat Schubertova čísla moderními metodami, ale nevypadalo to jako něco nového." [39] Fyzici Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green a Linda Parks vdechli život oboru v květnu 1991, když ukázali, že zrcadlovou symetrii lze použít k počítání počtu křivek stupně tři na kvintice, která je Calabi-Yau potrubí. . Candelas et al zjistili, že Calabi-Yauův komplex 3-krát obsahuje přesně 317206375 křivek stupně-tři. [39]

Kromě počítání křivek třetího stupně na trojrozměrné kvintice získali Candelas a spol. mnohem obecnější výsledky o počítání racionálních křivek – mnohem silnější než ty, které v té době znali matematici. [40] Přestože metody používané Candelasem byly založeny na nerigorózních myšlenkách teoretické fyziky, matematici byli schopni prokázat některé předpovědi zrcadlové symetrie provedené na fyzické úrovni přísnosti – zejména všechny nově získané výsledky ve výpočetní geometrii. . [36]

V teoretické fyzice

Kromě aplikací v enumerativní geometrii je zrcadlová symetrie jedním z hlavních výpočetních nástrojů v teorii strun. V A-modelu topologické teorie strun jsou fyzikálně zajímavé veličiny ( korelátory , které určují pravděpodobnost určitých interakčních procesů) vyjádřeny pomocí Gromov-Wittenových invariantů , kterých je nekonečně mnoho a které je extrémně obtížné vypočítat. V B-modelu lze výpočty zredukovat na klasické integrály („periody“), a tedy mnohem jednodušší. [41] Pomocí zrcadlové symetrie je možné místo složitých výpočtů v A-modelu provádět ekvivalentní, ale technicky jednodušší výpočty v B-modelu. Můžete také použít jiné duality teorie strun , kombinovat s nimi zrcadlovou symetrii, abyste mohli provádět ekvivalentní výpočty v teorii, kde jsou nejjednodušší. Výběrem vhodné teorie mohou fyzici vypočítat veličiny, které je nemožné nebo extrémně obtížné vypočítat bez použití dualit. [42]

Mimo teorii strun se zrcadlová symetrie používá k pochopení aspektů kvantové teorie pole , formalismu, kterým fyzici vysvětlují šíření a interakci elementárních částic . Některé teorie měřidla , které nejsou součástí standardního modelu, ale neméně teoreticky důležité, jsou odvozeny ze strun šířících se podél téměř singulárních povrchů. V takových teoriích je zrcadlová symetrie důležitou výpočetní technikou. [43] S pomocí zrcadlové symetrie je skutečně možné provádět výpočty ve čtyřrozměrné kalibrační teorii, kterou studovali Nathan Seiberg a Edward Witten a která je dobře známá v matematice v kontextu Donaldsonových invariantů . [44]

Přístupy

Homologická zrcadlová symetrie

V teorii strun se objevuje pojem brane  - objekt, který zobecňuje pojem částice (0-rozměrný objekt) do vyšších dimenzí. Bodovou částici si tedy lze představit jako branku dimenze 0, strunu za branku dimenze 1. Lze uvažovat o branách vyšších dimenzí. Slovo 'brane' je zkratka pro 'membrána', která se někdy používá k označení dvourozměrného povrchu, což je další rozměrové zobecnění bodové částice po struně. [45]

Teorie strun uvažuje otevřené a uzavřené struny. D-brány  jsou důležitou třídou bran, které se objevují při zvažování otevřených strun. Písmeno "D" v názvu D-brány znamená okrajovou podmínku, kterou musí taková brána splňovat - Dirichletovu okrajovou podmínku . [46] Podle těchto okrajových podmínek musí být konce otevřené struny na D-bránách.

Matematicky lze brany popsat pomocí pojmu kategorie . [47] Kategorie je podle definice entita sestávající z objektů a pro každou dvojici objektů morfismů mezi nimi. Objekty jsou matematické struktury (jako jsou množiny , vektorové prostory nebo topologické prostory ) a morfismy jsou mapování mezi těmito strukturami. [48] ​​Můžeme také uvažovat o kategorii, jejíž objekty jsou D-brány a jejíž morfismy jsou stavy otevřených řetězců natažených mezi dvěma různými D-bránami. [49]

V B-modelu topologické teorie strun jsou  D -brány složité podvariety Calabiho-Yauovy manifoldy s dodatečnou podmínkou, že konce řetězce jsou na nich upevněny. [27] [49] Kategorie , jejíž objekty jsou takové brány, je známá jako odvozená kategorie koherentních snopů na Calabi-Yauově manifoldu. [50] V A-modelu mohou být D-brány také považovány za podmanifoldy Calabi-Yauova manifoldu. Zhruba řečeno, toto jsou to, co matematici nazývají speciální speciální Lagrangeovy podvariety . [50] Mimo jiné to znamená, že jejich rozměr je poloviční než rozměr prostoru, do kterého jsou zasazeny, a že jde o pododrůdy o minimálním objemu. [51] Kategorie, jejímž předmětem jsou tyto brany, se nazývá kategorie Fukai . [padesáti]

Odvozená kategorie koherentních kladek je konstruována pomocí nástrojů komplexní geometrie . [52] Pokud jde o A-stranu, Fukaiova kategorie výslovně používá symplektickou geometrii , obor matematiky, který vyrostl z klasické mechaniky . Symplektická geometrie studuje prostory, na kterých je dán symplektický tvar  , entitu, kterou lze použít k výpočtu plochy ve dvourozměrných situacích. [17]

Hypotéza homologické zrcadlové symetrie , kterou v této podobě vyhlásil Maxim Kontsevich , uvádí, že odvozená kategorie koherentních snopů na nějakém Calabi-Yauově manifoldu je ekvivalentní odvozené kategorii Fukai na manifoldu, který je zrcadlově symetrický k vybranému Calabi-Yauovi. potrubí. [53] Tato ekvivalence se zdá být přesnou matematickou formulací zrcadlové symetrie v topologické teorii strun. Nečekaným způsobem propojuje složité a symplektické geometrie. [54]

Hypotéza SYZ

Jiný přístup k pochopení zrcadlové symetrie navrhli Strominger , Yau a Zaslow v roce 1996. [21] Podle jejich návrhu, nyní známého jako hypotéza SYZ, lze zrcadlovou symetrii pochopit tak, že původní Calabi-Yauovu varietu rozložíme na jednodušší kousky a poté se z nich sestaví zrcadlově symetricky do původního Calabi-Yauova potrubí. [55] Pokusme se vysvětlit, co je myšleno.

Nejjednodušším příkladem Calabi-Yauova manifoldu je dvourozměrný torus (plocha koblihy). [56] Uvažujme nestahovací kruh na povrchu torusu obsahující vnitřek koblihy (červený kruh na obrázku). Takových kruhů je na torusu nekonečně mnoho; vlastně celý torus lze chápat jako spojení takových kruhů. [57] Zvolme na obrázku libovolný růžový kruh . Body tohoto růžového kruhu budeme parametrizovat jako červené v tom smyslu, že mezi bodem růžového kruhu a odpovídajícím červeným kruhem existuje bijekce . [51]

Myšlenku rozdělení torusu na části parametrizované libovolným prostorem lze zobecnit. Přemýšlejte o složitých dvourozměrných Calabi-Yauových varietách - K3 povrchy . Stejně jako byl torus rozložen na kruhy, lze čtyřrozměrný povrch K3 rozložit na dvourozměrný torus a dvourozměrnou kouli . Každý bod na kouli, s výjimkou dvaceti čtyř, odpovídá dvourozměrnému torusu; těchto dvacet čtyři bodů odpovídá speciálním torim. [51]

V teorii strun jsou Calabi-Yauovy variety komplexní dimenze 3 (respektive reálné dimenze 6) primárním předmětem zájmu. Mohou být reprezentovány jako 3-tori (trojrozměrným zobecněním torusu, ), parametrizované pomocí trojrozměrné koule (trojrozměrným zobecněním koule). Každý bod odpovídá 3-toru, s výjimkou nekonečného počtu "špatných" bodů, které tvoří "mřížku" na Calabi-Yau a které odpovídají speciálním tori. [58]

Pomocí takových rozšíření lze intuitivně znázornit zrcadlovou symetrii. Zvažte příklad s dvourozměrným torusem. Představte si, že tento torus popisuje časoprostor nějaké fyzikální teorie. Základním objektem takové teorie by byly struny šířící se v časoprostoru podle zákonů kvantové mechaniky . Jednou ze základních dualit v teorii strun je T-dualita , podle níž uzavřená struna šířící se podél válce o poloměru je ekvivalentní uzavřené struně šířící se podél válce o poloměru v tom smyslu, že korespondence jedna ku jedné může být stanovené mezi všemi pozorovatelnými v každém z popisů. [59] Například šířící se struna má hybnost a struna se také může několikrát obtočit kolem válce (viz počet vinutí ). Pro hybnost a počet závitů při šíření podél válce o počátečním poloměru, při šíření podél válce s převráceným poloměrem bude mít struna hybnost a počet závitů . [59] Současné aplikování T-duality na všechny kružnice, do kterých jsme torus rozdělili, dává inverzi poloměrů těchto kružnic a získáme nový torus, který je „tlustší“ nebo „tenčí“ než původní. Tento torus bude zrcadlově symetrický k původnímu. [60]

T-dualitu lze rozšířit na případ n-rozměrného torusu, který se objeví při rozkladu komplexní n-rozměrné Calabi-Yauovy variety. Obecně platí, že domněnka SYZ uvádí následující: zrcadlová symetrie je ekvivalentní současné aplikaci T-duality na tyto tori. V každém případě je prostor  jakýmsi otiskem, který ukazuje, jak „sestavit“ Calabi-Yauovo potrubí z těchto tori. [61]

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Přístupný úvod do teorie strun viz například Greene, 2000.
  2. ↑ Wald 1984, str. čtyři
  3. ↑ Zwiebach 2009, str. osm
  4. ↑ 1 2 Yau a Nadis 2010, Ch. 6
  5. ↑ Tuto analogii uvádí např. Green, 2000, s. 186
  6. ↑ Yau a Nadis 2010, str. ix
  7. ↑ Dixon 1988; Lerche, Vafa a Warner 1989
  8. ↑ Geometrie konkrétního Calabiho-Yauova manifoldu je popsána pomocí Hodgeova kosočtverce  – Hodgeových čísel zapsaných ve tvaru kosočtverce. Hodgeovy kosočtverce zrcadlově symetrických rozdělovačů do sebe přecházejí při otočení o 90 stupňů. Další informace viz Yau a Nadis 2010, str. 160-3.
  9. ↑ Aspinwall et al. 2009, str. 13
  10. ↑ Hori a kol. 2003, str. xvi
  11. ↑ Příklady dalších dualit, které se objevují v teorii strun, jsou S-dualita , T-dualita , korespondence AdS/CFT .
  12. ↑ Zaslow 2008, str. 523
  13. ↑ Yau a Nadis 2010, str. 168
  14. ↑ 12 Hori a Vafa 2000
  15. ↑ 12 Witten 1990
  16. ↑ Givental 1996, 1998; Lian, Liu, Yau 1997, 1999, 2000
  17. ↑ 1 2 Zaslow 2008, str. 531
  18. ↑ Hori a kol. 2003, str. xix
  19. ↑ Zaslow 2008, str. 537
  20. ↑ Toto bylo poprvé pozorováno v Kikkawa a Yamasaki 1984 a Sakai a Senda 1986.
  21. ↑ 1 2 Strominger, Yau a Zaslow 1996
  22. ↑ Candelas a kol. 1985
  23. ↑ To bylo pozorováno v Dixon 1988 a Lerche, Vafa a Warner 1989.
  24. ↑ Green and Plesser 1990; Yau a Nadis 2010, str. 158
  25. ↑ Candelas, Lynker a Schimmrigk 1990; Yau a Nadis 2010, str. 163
  26. ↑ Candelas a kol. 1991
  27. ↑ 1 2 Yau a Nadis 2010, str. 165
  28. ↑ Yau a Nadis 2010, str. 169-170
  29. ↑ Yau a Nadis 2010, str. 170
  30. ↑ Vafa 1992; Witten 1992
  31. ↑ Hori a kol. 2003, str. xviii
  32. ↑ Koncevič 1995a
  33. ↑ Koncevič 1995b
  34. ↑ Givental 1996, 1998
  35. ↑ Lian, Liu, Yau 1997, 1999a, 1999b, 2000
  36. ↑ 1 2 Yau a Nadis 2010, str. 172
  37. ↑ 1 2 Yau a Nadis 2010, str. 166
  38. ↑ Yau a Nadis 2010, str. 167
  39. ↑ 1 2 Yau a Nadis 2010, str. 169
  40. ↑ Yau a Nadis 2010, str. 171
  41. ↑ Zaslow 2008, pp. 533-4
  42. ↑ Zaslow 2008, odd. deset
  43. ↑ Hori a kol. 2003, str. 677
  44. ↑ Hori a kol. 2003, str. 679
  45. ↑ Moore 2005, str. 214
  46. ↑ Moore 2005, str. 215
  47. ↑ Aspinwall et al. 2009
  48. ↑ Klasická literatura v oboru teorie kategorií – MacLaneova kniha z roku 1998.
  49. ↑ 1 2 Zaslow 2008, str. 536
  50. ↑ 1 2 3 Aspinwal a kol. 2009, str. 575
  51. ↑ 1 2 3 Yau a Nadis 2010, str. 175
  52. ↑ Yau a Nadis 2010, str. 180-1
  53. ↑ Aspinwall et al. 2009, str. 616
  54. ↑ Yau a Nadis 2010, str. 181
  55. ↑ Yau a Nadis 2010, str. 174
  56. ↑ Zaslow 2008, str. 533
  57. ↑ Yau a Nadis 2010, str. 175-6
  58. ↑ Yau a Nadis 2010, str. 175-7.
  59. ↑ 1 2 Zaslow 2008, str. 532
  60. ↑ Yau a Nadis 2010, str. 178
  61. ↑ Yau a Nadis 2010, str. 178-9

Literatura

Další čtení

Populární

Naučná literatura

  Přejděte na položku Wikidata  Slovníky a encyklopedie