Skupina tříd transformace povrchu

Třídní skupina povrchových transformací je skupina homeomorfismů až po spojitou deformaci. Přirozeně vzniká při studiu trojrozměrných variet a souvisí s jinými skupinami, zejména s copánkovými skupinami a skupinou vnějších automorfismů skupiny.

Skupinu mapovací třídy lze definovat pro libovolné variety a pro libovolné topologické prostory, ale případ povrchů je nejvíce studován v teorii grup .

Historie

Studium mapování třídních skupin iniciovali Max Dehn a Jakob Nielsen . Dehn zkonstruoval pro tuto skupinu konečný systém generátorů [1] a Nielsen dokázal, že všechny automorfismy základních grup povrchů jsou iniciovány homeomorfismy.

V polovině sedmdesátých let použil William Thurston tuto skupinu při studiu trojrozměrných variet. [2]

Později se třídní skupina začala studovat v teorii geometrických grup , kde slouží jako testovací základna pro různé hypotézy a vývoj technických nástrojů.

Definice

Nechť existuje spojená , uzavřená , orientovatelná plocha a skupina jejích homeomorfismů zachovávajících orientaci vybavená kompaktně-otevřenou topologií . $S$ $\mathrm {Homeo} ^{+}(S)$

Spojená složka jednoty v je označena . Skládá se z homeomorfismů izotopických k homeomorfismu identity. Podskupina je normální podskupina . $\mathrm {Homeo} ^{+}(S)$ $\mathrm {Homeo} _{0}(S)$ $\mathrm {Homeo} ^{+}(S)$ $\mathrm {Homeo} _{0}(S)$ $\mathrm {Homeo} ^{+}(S)$

Třídní skupina transformací mapovacích povrchů je definována jako kvocientová skupina $S$

\mathrm {Mod} (S)=\mathrm {Homeo} ^{+}(S)/\mathrm {Homeo} _{0}(S).

Poznámky

Pokud v této definici použijeme všechny homeomorfismy (nejen orientaci zachovávající), získáme rozšířenou skupinu transformačních tříd , ve které je grupa obsažena jako podgrupa indexu 2. $\mathrm {Mod} ^{\pm }(S)$ $\mathrm {Mod} (S)$

Tato definice může být dána i pro kategorii difeomorfismů . Přesněji, pokud je slovo „homeomorfismus“ všude nahrazeno výrazem „ difeomorfismus “, dostáváme stejnou grupu, protože inkluze indukuje izomorfismus odpovídajícími třídami. $\mathrm {Diff} ^{+}(S)\subset \mathrm {Homeo} ^{+}(S)$

V případě, kdy je kompaktní plocha s hranicí , jsou v definici brány pouze homeomorfismy, které fixují všechny body na hranici. $S$ $\částečné S$

Pro povrchy s vyraženými body je skupina definována přesně stejným způsobem jako výše.
- Všimněte si, že mapování třídy může změnit uspořádání děrovaných bodů, ale ne okrajové komponenty.

Příklady

Skupina transformačních tříd koule je triviální.
Skupina třídy mapování torusu je přirozeně izomorfní s modulární skupinou . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2))$ $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$
Skupina mapovací třídy kruhu je cyklická skupina tvořená jediným Dehnovým kroucením .
Skupina opletení s n vlákny je přirozeně izomorfní se skupinou diskových transformačních tříd s n proraženými body.

Vlastnosti

Skupina tříd povrchových transformací je spočetná .

Skupina rozšířené transformační třídy plochy bez hranic je izomorfní ke skupině automorfismu její základní grupy.
- Navíc jakýkoli automorfismus základní grupy je indukován nějakým povrchovým homeomorfismem.
- Obecně řečeno, tvrzení přestává platit pro plochy s hranicí. V tomto případě je fundamentální grupa volná grupa a grupa vnějších automorfismů grupy zahrnuje transformační třídní grupu povrchu jako vlastní podgrupu.

Pro kompaktní povrch a tam je přesné pořadí $S$ $x\in S$ $1\to \pi _{1}(S,x)\to \mathrm {Mod} (S\setminus \{x\})\to \mathrm {Mod} (S)\to 1.$

Jakýkoli prvek skupiny tříd transformace povrchu spadá do jedné ze tří kategorií: $\alpha$
- $\alpha$ má konečný řád (to jest pro některé ); $\alpha ^{n}=1$ $n$
- $\alpha$ je redukovatelný, to znamená, že existuje množina neprotínajících se uzavřených křivek na , které jsou zachovány při působení ; $S$ $\alpha$
- $\alpha$ pseudo-Anosov .

Lze vygenerovat skupinu tříd transformace povrchu
- Dva prvky [3]
- Involuce [4]
- Je tu poslední úkol s Den twisty jako generátory.
  - Nejmenší počet Dehnových zkroucení , které tvoří třídní skupinu transformací povrchu rodu , je . $g\geqslant 2$ $2g+1$

Skupina transformačních tříd povrchu přirozeně působí na jeho Teichmüllerův prostor .
- Tato akce je ve skutečnosti nespojitá , není zdarma.
- Metriky v Teichmüllerově prostoru lze použít ke stanovení některých globálních vlastností skupiny transformačních tříd. Z toho například vyplývá, že maximální kvaziizometricky zasazená rovina v třídní skupině transformací povrchu rodu má rozměr . [5] $G$ $3g-3+k$

Třídní grupa transformací plochy přirozeně působí na komplex křivek plochy. Tato akce spolu s kombinatoricko-geometrickými vlastnostmi komplexu křivek může být použita k prokázání různých vlastností skupiny transformačních tříd.
- Zejména to vysvětluje vlastnosti skupiny blízké Gromovově hyperbolicitě .

První homologie třídní skupiny povrchových transformací je konečná.
- Z toho vyplývá, že první kohomologické grupy jsou také konečné.

Třídní skupina povrchových transformací je reziduálně konečná .

Skupina tříd povrchových transformací má pouze konečný počet tříd konjugace.

Není známo, zda třídní grupa povrchových transformací je lineární grupou. Kromě symplektických reprezentací o homologii existují další lineární reprezentace, které vyplývají z topologické kvantové teorie pole. Obrazy těchto reprezentací jsou obsaženy v aritmetických skupinách, které nejsou symplektické [6] .
Dimenze netriviálního působení skupiny tříd transformací povrchu rodu nemůže být menší než [7] . $G$ $2{\sqrt {g-1}}$

Poznámky

↑ Dehn, Max. Die Gruppe de Abbildungsklassen (neopr.) // Acta Mathematica . - 1938. - T. 69 . - S. 135-206 . - doi : 10.1007/bf02547712 .
↑ Thurston, William P. O geometrii a dynamice difeomorfismů ploch // Bull . amer. Matematika. soc. : deník. - 1988. - Sv. 19 . - str. 417-431 . - doi : 10.1090/s0273-0979-1988-15685-6 .
↑ Wajnryb, B. Skupina tříd mapování povrchu je generována dvěma prvky // Topologie : journal. - 1996. - Sv. 35 . - str. 377-383 . - doi : 10.1016/0040-9383(95)00037-2 .
↑ Tara E. Brendle, Benson Farb. Každá skupina tříd mapování je generována 3 torzními prvky a 6 involucemi // J. Algebra : journal. - 2004. - Sv. 278 . MR : 187C198
↑ Alex Eskin, Howard Masur, Kasra Rafi (2014), Velký rozsah Teichmüllerova prostoru, arΧiv : 1307,3733 [math.GT]. .
↑ Masbaum, Gregor a Reid, Alan W. Všechny konečné grupy jsou zapojeny do skupiny mapovacích tříd // Geom . Topol. : deník. - 2012. - Sv. 16 . - S. 1393-1411 . - doi : 10.2140/gt.2012.16.1393 . MR : 2967055
↑ Benson Farb, Alexander Lubotzky, Yair Minsky. Rank-1 jevy pro mapování třídních skupin (neopr.) // Duke Math. J.. - 2001. - T. 106 . - S. 581-597 . MR : 1813237

Literatura

Alexej Žirov. Topologická konjugace pseudo-Anosovových homeomorfismů. - MTSNMO, 2013. - 1000 výtisků. - ISBN 978-5-4439-0213-5 .
AA Gayfulin , Skupiny mapovacích tříd a jejich podskupiny Archivováno 17. září 2017 na Wayback Machine .