Beauville-Bogomolov forma

Beauville-Bogomolov forma (také Beauville-Bogomolov-Fujiki ) je kvadratická forma , která existuje na druhé cohomologii kompaktní hyperkählerovy manifoldy . Pojmenována po Arnaudu Beauvilleovi a Fjodoru Bogomolovovi . $H^{2}(X, {\mathbb {C}})$

Definice

Nechť je generátor v , zvolený tak, že (to je symplektická forma ). Pak jakákoli 2-forma připouští rozklad na Hodgeovy komponenty : . Kvadratický tvar definujeme následujícím vzorcem: $\sigma$ $H^{{2,0}}(X,{\mathbb {C}})$ $\int _{{X}}(\sigma \overline {\sigma })^{{n}}=1$ $\alpha =\lambda \sigma +\mu \overline {\sigma }+\beta ;\beta \in H^{{1,1}}(X)$

$q(\alpha )=\lambda \mu +n/2\int _{{X}}\beta ^{{2}}(\sigma \overline {\sigma })^{{n-1}}$

Vlastnosti Beauville-Bogomolovovy formy

Nechť je univerzální lokální deformace (její základnou bude koule). Potom pro dostatečně blízko k , , (v posledním vzorci označuje symetrickou bilineární formu zkonstruovanou podle výše definované kvadratické formy). ${\mathfrak {X}}\to B$ $X$ $B$ $v B$ $0$ $q({\sigma }_{{t)))=0$ $q({\sigma }_{t},\overline {{\sigma }_{t)))>0$ $q$
Mapa, která ukazuje bod na bod odpovídající tvaru ve druhé kohomologické projektivizaci , je navíc lokální izomorfismus s množinou nul tvaru (Torelliho lokální věta ). $v B$ ${\sigma }_{t}$ ${\mathbb {P}}(H^{{2}}(X,{\mathbb {C))))$ $q$
$q|_{{H^{{2))(X,{\mathbb {R))))}$ je nedegenerovaná forma podpisu , kde je druhé číslo Betti . $(3,b_{{2}}(X)-3)$ $b_{2}$
Fujikův vztah : if , kde je nějaká konstanta, která nezávisí na komplexní struktuře (ale pouze na její topologii). $\alpha \in H^{{2}}(X,{\mathbb {R}});{q(\alpha )}^{{n}}=c\int _{{X}}{\alpha } ^{{2n}}$ $C$ $X$

Odkazy

Globální Torelliho teorém pro hyperkaehlerovy variety , Misha Verbitsky