Spojení Gauss-Manin

Se svazkem, jehož vlákna jsou hladké variety (nebo hladké algebraické variety ), lze spojit nějaký svazek s plochým spojením , nazývaným Gauss-Maninovo spojení .

Definice

Dovolit být svazek, jehož vlákna jsou hladké potrubí. Zvažte vektorový svazek s vlákny . Jinými slovy, místo každého listu zavěsíme jeho -tou de Rhamovou kohomologii . Podle Ehresmannovy věty $Y\to X$ ${\displaystyle Y_{x))$ $E\to X$ $E_{x}=H_{\mathrm {dR} }^{k}(Y_{x})$ $k$ , hladké svazky jsou lokálně triviální, takže v dostatečně malém základním sousedství lze identifikovat vlákna mezi sebou a deklarovat jako hladké úseky úseky, které odpovídají hladkým variacím třídy kohomologie pod trivializací. Přísně vzato jsme nedefinovali svazek, ale pouze svazek , ale toto bude skutečně svazek sekcí svazku. $E$

Pro jednoduchost předpokládejme na chvíli, že vrstvy jsou kompaktní. De Rhamova kohomologie kompaktní manifoldy je izomorfní k singulární cohomologii , takže každá vrstva má celočíselnou cohomologickou mřížku, která plynule závisí na bodu . Gauss-Maninovo spojení je definováno jako spojení, vůči kterému jsou lokální úseky, které v každém bodě nabývají hodnot v této celočíselné mřížce, ploché. $H^{k}(Y_{x},\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {R}$ ${\displaystyle E_{x))$ $X$

Popis Gauss-Maninova spojení pomocí rovinných řezů poskytuje pohodlný způsob jeho vizualizace, nicméně pro jeho existenci není přítomnost celočíselné struktury na kohomologii absolutně nutná. Připouští následující popis. Ve svazku volíme zapojení Ehresmann $Y\to X$ $H\subset TY$ . Pokud - nějaký druh sekce, lze ji realizovat pomocí sady uzavřených formulářů . Zvolené Ehresmannovo spojení nám umožňuje rozšířit jej do jediné formy a předefinovat jej ve směrech příčných k vrstvám podmínkou pro všechny . Upozorňujeme, že tento formulář nemusí být uzavřen. Gaussovo-Maninovo spojení definujeme následovně: . Zde je na podstavě libovolné vektorové pole a je jeho zvednutí pomocí Ehresmannovy spojky, tedy sekce , která se při promítnutí na podložku stane . Kontrola, že se jedná o dobře definované spojení (to znamená, že taková Lie derivace bude uzavřena v omezení vrstvy a tato operace splňuje Leibnizovu identitu) není obtížné; o něco obtížnější je ukázat, že nezávisí na volbě zapojení Ehresmann. $s\in \Gamma (E)$ $\sigma _{x}\in \Omega ^{k}(Y_{x})$ $\sigma \in \Omega ^{k}(Y)$ $\iota _{h}\sigma =0$ $h\v H$ $\nabla$ $(\nabla _{v}s)_{x}=\left[\left(\mathrm {Lie} _{\widetilde {v}}\sigma \right)|_{Y_{x}}\ vpravo]\v H_{\mathrm {dR} }^{k}(Y_{x})$ $proti$ ${\widetilde {v))$ $H$ $proti$

Tato definice Gauss-Maninova spojení je elegantně formulována z hlediska diferenciálně odstupňovaných algeber. To nám umožňuje přenést definici Gauss-Maninova spojení do nekomutativní geometrie : Getzler[1] a Kaledin [2] zkonstruovali Gauss-Maninovo spojení na periodické cyklické homologii.

Aplikace

Gauss-Maninovo spojení v první kohomologii rodiny eliptických křivek s rovnicemi nad proraženou Riemannovou koulí parametrizovanou komplexním parametrem definuje diferenciální rovnici známou jako Picard-Fuchsova rovnice $x^{3}+y^{3}+z^{3}=\lambda xyz$ $\lambda$ . Gauss zvažoval podobnou rovnici pro rodinu křivek ; obecný popis takových rovnic v případě, kdy základem je algebraická křivka , podal Manin [3] a v obecném případě Grothendieck [4] . Vlastní název „Gauss-Maninovo spojení“, stejně jako abstraktní algebraicko-geometrický popis tohoto spojení jako jednu ze šipek v Lerayově spektrální sekvenci $y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )$ pro vhodný paprsek.

Gauss-Maninovo spojení se také používá v symplektické geometrii . Jmenovitě budiž svazek, jehož vlákna jsou Lagrangian tori. Tangentní prostor k základně takového svazku může být identifikován s nějakým podprostorem v prostoru úseků normálního svazku k vláknu visícímu nad tímto bodem. Ale pro Lagrangovu podvarietu je normální svazek izomorfní ke svazku kotangens, takže tyto sekce definují na vláknu diferenciální 1-formy. Ukazuje se, že tyto formy jsou uzavřené a jejich cohomologické třídy jsou všechny možné první kohomologické třídy vlákna. Tangentní svazek k základně Lagrangeova svazku je tedy izomorfní ke svazku prvních kohomologických vláken, a má tedy kanonické ploché spojení, Gauss-Maninovo spojení. V mechanice má toto tvrzení důsledek známý jako Liouville-Arnoldova věta : pro hamiltonovský systém, který má tolik nezávislých integrálů v involuci jako stupňů volnosti, lze pohybové rovnice řešit v kvadraturách. Holomorfní verze Liouville-Arnoldova teorému definuje ploché monodromické spojení mimo nějakého dělitele na , základnu holomorfního Lagrangiánova svazku na hyperkählerově manifoldu $Y\to X$ $\mathrm {SL} (2n,\mathbb {Z} )\ltimes \mathbb {R} ^{2n}$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ . Nejilustrativnějším případem, kdy celkový prostor je povrch K3 , vrstvy jsou eliptické křivky a základna je Riemannova koule s 24 vpichy, studovali Kontsevich a Soibelman.[5] .

Poznámky

↑ Archivovaná kopie (odkaz není dostupný) . Získáno 20. října 2018. Archivováno z originálu 26. března 2015. (neurčitý)
↑ [https://web.archive.org/web/20181021024529/https://arxiv.org/abs/math/0702068v2 Archivováno 21. října 2018 na Wayback Machine [math/0702068v2] Cyklická homologie s koeficienty]
↑ Algebraické křivky nad poli s derivací
↑ O de Rhamově kohomologii algebraických variet . Staženo 20. října 2018. Archivováno z originálu 16. prosince 2018. (neurčitý)
↑ [https://web.archive.org/web/20200528162044/https://arxiv.org/abs/math/0406564 Archivováno 28. května 2020 na Wayback Machine [math/0406564] Afinní struktury a nearchimedské analytické mezery]