Holonomie

Holonomie je jedním z invariantů spojení ve svazku nad hladkou různou , spojující vlastnosti křivosti a monodromy , a je důležitá jak v geometrii, tak v geometrizovaných oblastech přírodních věd, jako je teorie relativity a teorie strun . Obvykle se mluví o holonomii spojení ve vektorovém svazku, i když stejně tak dává smysl mluvit o holonomii spojení v hlavním svazku nebo dokonce o holonomii Ehresmannova spojení v lokálně triviálním topologickém svazku.

Připomeňme, že spojení ve vektorovém svazku je operátor, který přiřazuje každé cestě translační transformaci . Na rozdíl od situace, se kterou se v topologii často setkáváme, se však transformace paralelního překladu změní, pokud se změní samotná cesta, i když její konce zůstanou nezměněny (nezávisí na malých změnách v cestě pouze ve velmi zvláštním, i když velmi důležitém případě plochých spojů ). Holonomie je měřítkem toho, jak může paralelní translace záviset na malých poruchách cesty. Konkrétně, složená cesta ujetá od do podél a pak zpět podél její variace může být vnímána jako uzavřená cesta z bodu k sobě samému. Množina všech transformací vrstev získaných translacemi po uzavřených cestách začínajících a končících v , tvoří v bodě skupinu nazývanou holonomická grupa a je označena . Pokud vezmeme v úvahu pouze paralelní translace podél těch cest, které jsou kontrahovatelné do bodu, dostaneme její normální podgrupu , zvanou lokální grupa , nebo omezenou holonomii , označenou . Holonomické skupiny v různých bodech lze identifikovat spojením těchto bodů s cestou, ale tato identifikace bude, obecně řečeno, záviset na volbě cesty. Všechny tyto grupy jsou však izomorfní, což nám umožňuje hovořit jednoduše o holonomické grupě a lokální holonomické grupě, bez ohledu na volbu bodu. Skupina holonomie v bodě má svou konstrukcí přirozenou reprezentaci v prostoru nazývanou reprezentace holonomie . $E\to X$ $\gamma \colon [0;1]\to X$ ${\displaystyle p_{\gamma }\colon E_{\gamma (0)}\to E_{\gamma (1)))$ $\gamma (0)$ $\gamma (1)$ $\gamma$ $\gamma'$ $\gamma (0)=x$ ${\displaystyle E_{x))$ $X$ $X$ $\operatorname {Hol} _{x}(\nabla )$ $\operatorname {Hol} _{x}^{0}(\nabla )$ $\operatorname {Hol} (\nabla )$ $\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )$ $X$ ${\displaystyle E_{x))$

Pro ploché spojení je místní holonomická skupina podle definice triviální a holonomická skupina je monodromická skupina tohoto plochého spojení. V obecném případě je monodromie neplochého spojení definována z hlediska holonomie jako kvocientová grupa . $\operatorname {Hol} (\nabla )/\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )$

Nejjednodušší příklad: součet úhlů sférického trojúhelníku

Zvažte případ tečných vektorů k dvourozměrné kouli. Konektivitu ( Levi-Civita ) lze v tomto případě určit elementárně. Totiž každou hladkou cestu po částech lze libovolně dobře aproximovat přerušovanou čarou, jejíž vazby jsou geodetické (tj. malé oblouky velkých kružnic). Definujme rovnoběžnou translaci podél geodézy podmínkou, že tečný vektor se změní na vektor , přičemž úhly a orientace v tečné rovině zůstanou zachovány. ${\displaystyle p_{\gamma }\colon T_{\gamma (0)}S^{2}\to T_{\gamma (1)}S^{2))$ ${\displaystyle \gamma \colon [0;1]\to S^{2))$ ${\displaystyle {\frac {\partial \gamma }{\partial t))(0)\in T_{\gamma (0)}S^{2))$ ${\displaystyle {\frac {\partial \gamma }{\partial t))(1)\in T_{\gamma (1)}S^{2))$

Obrázek ukazuje proces přesunu vektoru tečny podél geodetického bodu z bodu do bodu , z bodu do bodu az bodu zpět do bodu . Všimněte si, že při pohybu po straně se úhel, který svírá přenesený vektor s vektorem tečny na tuto stranu, nemění a ve vrcholu se k němu přičte hodnota vnějšího úhlu v tomto vrcholu. Úhel se tedy akumuluje celkem o , kde označuje sférickou vadu (odchylka součtu úhlů kulového trojúhelníku od ), a protože vektor tečny k hranici se také posouvá o , kumulativní odchylka uzavřeného vektoru tečny od jeho původní tečný vektor je . Jak je dobře známo, sférická vada je úměrná ploše trojúhelníku, takže skupina holonomie v tomto případě bude jednoduše skupina rotací ve všech možných úhlech. $A$ $N$ $N$ $B$ $B$ $A$ $\pi -\alpha _{i}$ $3\pi -(\alpha +\beta +\gamma )=2\pi -\delta$ $\delta$ $\pi$ $2\pi$ $\delta$

Tento efekt lze pozorovat v reálném životě, například když se gyroskopy odchýlí od své polohy poté, co projdou dráhou, která zahrnuje dostatečně velkou plochu zemského povrchu. Dalšími více či méně klasickými projevy fenoménu holonomie jsou Berryho fáze a Aharonov-Bohmův efekt .

Holonomie a zakřivení

V případě vyšší dimenze samozřejmě nelze transformaci holonomie podél cesty popsat jedním číslem, protože ortogonální rotace -dimenzionálního prostoru vyžadují koeficienty pro své jedinečné přiřazení. Stále však tvoří skupinu. V případě spojení Levi-Civita (nebo obecně metrického spojení) na orientovatelném potrubí to bude podskupina , obvykle celá. Říká se tomu Riemannovská holonomická skupina . $n$ $n(n-1)/2$ $G=\mathrm {SO} (n)$

Je-li cesta smrštěna do bodu , pak transformace holonomie směřuje k identické transformaci . Pokud inklinujeme k nekonečně malému rovnoběžníku se stranami , pak transformace holonomie směřuje k transformaci , která je nekonečně blízko identitě. Ale podle definice, jestliže , kde je zanedbatelné (nebo, formálně řečeno, přes nilpotentní kruh ), pak , kde je Lieova algebra grupy . V tomto případě se tato algebra nazývá algebra holonomie a značí se . Na druhé straně operátor „paralelního uzavření kolem nekonečně malého rovnoběžníku“ , který ukazuje, jak daleko operátory paralelního přenosu nedojíždějí podél dvou vektorů, je prostě zakřivení . $\gamma$ $X$ ${\displaystyle p_{\gamma ))$ $\mathrm {Id} _{E_{x}}$ $\gamma$ $u,v\in T_{x}$ $\mathrm {Id} _{E_{x}}+\varepsilon \Theta _{u,v}$ $\mathrm {Id} _{E_{x}}+\varepsilon \Theta _{u,v}\in G$ $\varepsilon$ $\mathbb {R} [\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})$ $\Theta _{u,v}\in {\mathfrak {g))$ $\mathfrak{g}$ $G$ ${\mathfrak {hol}}(\nabla )$ ${\displaystyle \Theta _{u,v))$

Věta ( Ambrose , Singer ): Algebra holonomie je generována hodnotami tenzoru křivosti na všech možných párech tečných vektorů.

Princip holonomie

Pokud existuje vektorový svazek se spojením a určitým tenzorem definovaným v bodě , pak je možné jej zkusit rozšířit na všechny ostatní body manifoldu paralelním posunem pomocí spojení z . Výsledné tenzorové pole bude automaticky paralelní s ohledem na spojení . Aby však byla tato operace správná, musí být nezávislá na volbě cesty; jinými slovy, bez ohledu na to, jakou uzavřenou cestu do sebe vezmeme, paralelní přesun po ní se musí vrátit k sobě. To znamená, že v tensorové reprezentaci skupiny holonomie existuje invariantní vektor. $E\to X$ $\nabla$ ${\displaystyle \eta _{x}\in E_{x}^{\otimes k}\otimes (E_{x}^{*})^{\otimes l))$ $X$ $\nabla$ $X$ $\nabla$ $X$ $\eta _{x}$ $\eta _{x}$

Princip holonomie : tenzorová pole paralelní s ohledem na konektivitu odpovídají jedna ku jedné invariantům v tenzorové síle reprezentace holonomie $\nabla$ $\nabla$

Uvažujme například podskupinu unitárních matic . Tato skupina má invariantní tenzor v , jmenovitě operátor násobení in ( jedná se o rotaci o 90°). Pokud tedy má- dimenzionální Riemannovská varieta Riemannovu holonomickou grupu v , připouští pole rotací o 90° (tj. endomorfismus tečného svazku s vlastností ), což lze vnímat jako téměř komplexní strukturu . Navíc, protože spojení Levi-Civita je bez torze , vyplývá z Newlander-Nirenbergovy věty, že tato struktura je integrovatelná, to znamená, že připouští lokální holomorfní mapy v . Podobně, grupová reprezentace má pevný vektor, šikmo symetrickou část hermitovského tečkového součinu . Takže na -rozměrné Riemannově varietě s holonomií obsaženou v , neexistuje nikde degenerovaná 2-formová paralela s ohledem na Levi-Civita spojení (které lze vyjádřit pomocí metriky a operátoru popsaného výše standardním vzorcem pro Hermitovské prostory Diferenciální formy rovnoběžné se spojením bez kroucení jsou uzavřené, takže , a taková varieta je symplektická . Variety s konzistentními třemi strukturami - Riemannovou metrikou, symplektickou formou a komplexní strukturou se nazývají Kählerian. Nejkratší způsob, jak definovat Kählerovu varietu, je říci, že se jedná o Riemannovu dimenzionální varietu, Riemannovu grupu, jejíž holonomie je obsažena v . Všechny geometrické struktury jsou z toho získány pomocí principu holonomie. $\mathrm {U} (n)\subset \mathrm {SO} (2n)$ $\mathbb {R} ^{2n}\otimes (\mathbb {R} ^{2n})^{*}$ ${\sqrt {-1}}$ $\mathbb {C} ^{n}\simeq \mathbb {R} ^{2n}$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$ $2n$ $\mathrm {U} (n)$ $já$ $I^{2}=-\mathrm {Id} _{TX}$ $\mathbb{C} ^{n}$ $\Lambda ^{2}(\mathbb {R} ^{2n})^{*}$ $\mathrm {U} (n)\subset \mathrm {SO} (2n)$ $n$ $\mathrm {U} (n)$ $\omega$ $G$ $já$ $\omega (x,y)=g(x,Iy)$ $d\omega =0$ $2n$ $\mathrm {U} (n)$

Princip holonomie má ještě jedno důležité uplatnění. Předpokládejme totiž, že reprezentace Riemannovy holonomie je redukovatelná . Pak lze rozšířit odpovídající rozdělení prostoru tečny na všechny ostatní body. Získáme dva podsvazky , které jsou na sebe navzájem kolmé. Navíc, protože jsou tyto podsvazky zachovány spojením bez zkroucení, umožňují integrální plechy, tj. lokálně se rozdělovač rozloží na ortogonální přímý produkt. Dvě vzájemně kolmé všude husté foliace na torusu jasně ukazují, že obecně k takovému rozkladu globálně nedochází; nicméně následující $T_{x}=T'_{x}\oplus T''_{x}$ $T',T''\subset T$

Věta ( J. de Ram ). Na jednoduše propojené manifoldu s redukovatelnou reprezentací Riemannovy holonomie definují paralelní foliace rozklad na ortogonální kartézský součin.

Bergeův stůl

Na základě de Rhamova teorému o rozkladu je jakákoli metrika na kompaktní jednoduše připojené varietě kombinována z metriky s neredukovatelnou reprezentací Riemannovy holonomie, takže jsou zajímavé pro geometry.

Invariantní metriky na homogenních prostorech umožňují organizovat mnoho různých skupin holonomie. Popis takových metrik je netriviální problém v teorii Lieových algeber. Pokud nás však zajímají otázky geometrie, které nejsou redukovatelné na algebru, je pro nás důležité, že pro metriku, která není homogenní, máme $G/H$

Simonova alternativa . Lieova grupa se svou ortogonální reprezentací může vzniknout jako Riemannovská holonomická grupa a Riemannovská holonomická reprezentace pro metriku, která není lokálně symetrická , pokud tato skupina působí tranzitivně na vektory jednotkové délky.

Riemannovská holonomická grupa nesymetrické metriky tedy působí na kouli tranzitivně. Takové skupiny jsou plně klasifikovány. Ne všechny z nich lze realizovat jako holonomickou skupinu nesymetrické metriky: například metrika s holonomií , jak ukazuje D. V. Alekseevskii , musí mít kovariančně konstantní tenzor křivosti a metrika s touto vlastností je lokálně symetrická podle Cartan-Ambrose-Hicksův teorém . Skupina nemůže vůbec vzniknout jako skupina holonomie. Zbývající skupiny jsou shrnuty v tabulce, kterou poprvé popsal M. Berger : $\mathrm {Spin} (9)\subset \mathrm {SO} (16)$ $T\cdot \mathrm {Sp} (n)\subset \mathrm {SO} (4n)$

$\mathrm {Hol}$	$\ztlumit$	geometrie	poznámky
${\mathrm {SO}} (n)$	$n$	obecná riemannovská varieta
$\mathrm {U} (n)$	$2n$	Kählerův rozdělovač	Riemannovské, symplektické, komplexní
${\mathrm {SU}} (n)$	$2n$	Calabi-Yauův rozdělovač	ricci-plochý , kähler
$\mathrm {Sp} (1)\mathrm {Sp} (n)$	$4n$	quaternion-Kählerian manifold	Einsteinovské , ale ne kählerovské
$\mathrm {Sp} (n)$	$4n$	hyperkähler rozdělovač	Ricci-flat, Kählerian (pro tři různé složité stavby)
${\displaystyle \mathrm {G} _{2))$	7	${\displaystyle \mathrm {G} _{2))$ -rozdělovač	ricci-plochý
$\mathrm {Spin} (7)$	osm	Spin(7)-rozdělovač	ricci-plochý

Informace uvedené v posledním sloupci rovněž vyplývají z principu holonomie a mizení invariantů některých tenzorových mocnin odpovídajících reprezentací holonomie. Z této tabulky není možné vyloučit quaternion-Kählerovy variety ve stejném duchu, v jakém Alekseevsky vyloučil -variety (které byly v rané verzi Bergerovy tabulky); hypoteticky jsou však všechny lokálně symetrické. Pro všechny ostatní případy existují příklady nelokálně symetrických metrik. $\mathrm {Spin} (9)$

Vztah mezi holonomií spojení a systémy s neholonomními spojeními

V geometrii slovo „holonomie“ poprvé použil Eli Cartan v roce 1926, když klasifikoval symetrické prostory. Samotné slovo je však mnohem starší a ve svém původním významu přežilo dodnes ve výrazu „ neholonomní mechanika “. Zavedl jej Poinsot , aby popsal mechanické systémy, ve kterých lze rovnice pro derivace veličin redukovat na rovnice pro veličiny samotné – nebo, redukcí mechaniku na geometrii, rozložení tečných rovin ve fázovém prostoru, pro něž lze úrovňové plochy funkcí zjistili, že mají stejný rozměr. Nyní se takové distribuce nazývají integrovatelné (oba kořeny celé číslo a ὅλος znamenají „celek“). V souladu s tím jsou neholonomní systémy takové, ve kterých se pohybem po přípustných vektorových polích můžeme nakonec pohybovat směrem, který nesplňuje rovnici pro okamžité změny veličin. Spoje, které mají nenulové zakřivení (a tedy holonomie), určují právě takové rozložení na celkovém prostoru svazků, ve kterých jsou dány: uzavřená dráha na rozdělovači stoupá do vodorovné dráhy v celkovém prostoru počínaje bodem a končící v bodě . Toto je přesně posun v příčném směru, když je holonomická skupina netriviální; pokud je triviální (to znamená, že systém je holonomní), pak stoupání všech možných drah určuje přes integrální podvarietu v celkovém prostoru pro každou počáteční hodnotu; tyto podvariety (přesněji funkce, jejichž rovinnými plochami jsou) v mechanice odpovídají zákonům zachování pro holonomní systémy. $\gamma$ $v\in E_{x}$ ${\displaystyle p_{\gamma }(v)\in E_{x))$

Je zajímavé, že stejně jako historicky termín „monodromie“ označoval situaci, kdy to, co dnes nazýváme monodromií, zaniklo (a bylo by etymologicky správnější použít slovo alodromie ), termín „holonomie“ původně znamenal situaci, kdy holonomie je triviální. To je ovšem obecná nespravedlnost v matematice: např. Eulerova charakteristika pro Eulera byla vždy rovna dvěma a nic necharakterizovala; jako topologický invariant by se správně měl nazývat Lhuillierova charakteristika .

Odkazy

Vektorové svazky, přednáška 8: holonomická skupina , Misha Verbitsky , 18. listopadu 2013
Golwala, S. (2007), Lecture Notes on Classical Mechanics for Physics 106ab , < http://www.astro.caltech.edu/~golwala/ph106ab/ph106ab_notes.pdf >