Ricciho tenzor

Ricciho tensor , pojmenovaný po Ricci-Curbastro , specifikuje jeden ze způsobů, jak měřit zakřivení různý , to je, míra ke kterému geometrie různý se liší od geometrie plochého euklidovského prostoru . Ricciho tenzor, stejně jako metrický tenzor , je symetrická bilineární forma na tečném prostoru Riemannovy variety . Zhruba řečeno, Ricciho tenzor měří objemovou deformaci , tedy míru, do které se n - rozměrné oblasti n - rozměrné variety liší od podobných oblastí euklidovského prostoru. Viz geometrický význam Ricciho tenzoru.

Obvykle se označuje nebo . $\mathrm {Ric}$ $\mathrm {Rc}$

Definice

Nechť je n - rozměrná Riemannovská varieta a nechť je prostor tečny k M v bodě p . Pro jakýkoli pár tečných vektorů v p se Ricciho tenzor podle definice mapuje na stopu lineárního automorfismu daného Riemannovým tenzorem křivosti R : $(M,g)$ $T_{p}M$ $\xi ,\eta \in T_{p}M$ ${\mathrm {Ric}} (\xi,\eta)$ $(\xi,\eta)$ $T_{p}M\to T_{p}M$

\zeta \mapsto R(\zeta ,\eta )\xi

Pokud jsou na rozdělovači uvedeny místní souřadnice, lze Ricciho tenzor rozšířit na komponenty:

\operatorname {Ric}=R_{{ij}}\,dx^{i}\otimes dx^{j}

kde je stopa Riemannova tenzoru v reprezentaci souřadnic. $R_{{ij}}={R^{k}}_{{ikj}}.$

Geometrický smysl

V okolí libovolného bodu p Riemannovy variety lze vždy definovat speciální lokální souřadnice, tzv. normální geodetické souřadnice , ve kterých se geodetika z bodu p shoduje s přímkami procházejícími počátkem. Také, v bodě p sám, metrický tenzor je roven metrice Euclidean prostoru (nebo Minkowského metrice v případě pseudo-Riemannian varieta ). $(M,g)$ $\delta _{{ij}}$ $\eta _{{ij}}$

V těchto speciálních souřadnicích se objemový tvar rozšiřuje do Taylorovy řady kolem p :

d\mu _{g}={\Big [}1-{\frac {1}{6}}R_{jk}x^{j}x^{k}+O(|x|^{ 3}){\Big ]}d\mu _{\text{Euclid))

Pokud je tedy Ricciho zakřivení kladné ve směru vektoru , pak úzký kužel geodetiky vycházející z bodu p ve směru bude mít menší objem než stejný kužel v euklidovském prostoru. Podobně, pokud je Ricciho zakřivení záporné, pak úzký kužel geodetiky ve směru vektoru bude mít větší objem než euklidovský. ${\textrm {Ric}} (\xi,\xi)$ $\xi$ $\xi$ $\xi$

Ricciho zakřivení a geometrie obecně

Nechť existuje kompletní -dimenzionální Riemannovská varieta s $M$ $n$ $\operatorname {Ric}_{M}\geq (n-1)\kappa$

Bishop-Gromov nerovnost . Nechť , označíme objemem koule o poloměru se středem v , označíme objemem koule o poloměru v - rozměrném prostoru konstantní křivosti . Pak vztah $p\in M$ $v_{p}(r)$ $r$ $p$ ${\tilde v} (r)$ $r$ $n$ $\kappa$ ${\frac {v_{p}(r)}{{\tilde v}(r)))$

je nerostoucí funkcí .

r

Meyerova věta
Z Bochnerovy identity pro 1-formy vyplývá, že pokud pak vlastní hodnoty Laplaciána nejsou menší než hodnoty jednotkové dimenzionální sféry. $\kappa =1$ $M$ $n$

Aplikace Ricciho tenzoru

Tenzor Ricciho křivosti v obecné teorii relativity slouží jako klíčová součást Einsteinových rovnic .

Ricciho zakřivení se také objevuje v rovnici Ricciho toku , ve které se časově závislá metrika deformuje v poměru k mínus Ricciho zakřivení.

Ricciho tenzor

Definice

Geometrický smysl

Ricciho zakřivení a geometrie obecně

Aplikace Ricciho tenzoru

Viz také