Geodetické

Geodetická (též geodetická čára ) - křivka určitého typu, zobecnění pojmu " přímka " pro zakřivené prostory.

Konkrétní definice geodetické linie závisí na typu prostoru. Například na dvourozměrném povrchu vloženém do euklidovského trojrozměrného prostoru jsou geodetické čáry čáry, jejichž dostatečně malé oblouky jsou nejkratšími cestami mezi jejich konci na tomto povrchu. V rovině to budou přímky, na kruhovém válci šroubovice , přímočaré generátory a kružnice , na kouli oblouky velkých kružnic .

Geodetické čáry se aktivně používají v relativistické fyzice . Zkušební těleso v obecné teorii relativity se tedy pohybuje podél geodetické linie časoprostoru . V podstatě lze časovou evoluci všech lagrangeovských systémů považovat za pohyb po geodetice ve speciálním prostoru. Takto lze znázornit celou teorii kalibračních polí .

Diferenciální geometrie

Rozdělovače s afinním spojením

V manifoldech s afinním spojením je geodetická křivka , která splňuje rovnici $\nabla$ $\gamma (t)$

\nabla _{\tečka {\gamma }}{\tečka {\gamma }}=0.

V souřadnicové formě lze tuto rovnici přepsat pomocí Christoffelových symbolů :

{\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{~\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{ \mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0,

kde jsou souřadnice křivky. $x^{\mu }(t)$

Jinými slovy, křivka je geodetická, pokud podél ní paralelně přenášený vektor, který byl tečný ke křivce v počátečním bodě, zůstává tečný všude.

Riemannovské a pseudoriemannovské variety

V riemannovských a pseudoriemannovských prostorech je geodesika definována jako kritická křivka energetického integrálu:

E(\gamma )=\int \limits _{\gamma }g{\big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\big )}\,dt,

zde je křivka v prostoru, je metrika . (Ve fyzice se tento integrál běžně nazývá akční integrál .) $\gamma (t)$ $G$

Tato podmínka je ekvivalentní:

\nabla _{{{\tečka \gamma }}}{\tečka \gamma }=0

podél celé křivky, kde označuje spojení Levi-Civita . $\nabla$

Metrická geometrie

V metrických prostorech je geodetika definována jako lokálně nejkratší cesta s jednotnou parametrizací (často s přirozeným parametrem ).

Podle Gaussova lemmatu definuje tato definice pro Riemannovy variety stejnou třídu křivek jako výše uvedená diferenciální geometrická definice.

Použití ve fyzice

Geodetické čáry se aktivně používají v relativistické fyzice. Například trajektorie volně padajícího nenabitého zkušebního tělesa v obecné teorii relativity a obecně v metrických teoriích gravitace je geodetická přímka největšího vlastního času , tedy času měřeného hodinami pohybujícími se s tělesem.

Fyzikální teorie, která má akci nebo je vyjádřena v hamiltonovské formě, může být často přeformulována jako problém nalezení geodesik na nějaké Riemannově nebo pseudo-Riemannově varietě.

Viz také

Literatura

Grave D. A. Geodetic line // Encyklopedický slovník Brockhaus a Efron : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderní geometrie. - Jakékoli vydání.
Mishchenko A. S., Fomenko A. T. . Kurz diferenciální geometrie a topologie. - Jakékoli vydání.
Postnikov M.M. Variační teorie geodetiky. - Jakékoli vydání.
A. V. Černavského . Diferenciální geometrie, 2 kurzy .