G₂

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 22. listopadu 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

G 2 v matematice je jméno tří jednoduchých Lieových grup (komplexní, reálná kompaktní a reálně dělená), s nimi spojená Lieova algebra a také několik algebraických grup . Jsou nejmenší z pěti výjimečných jednoduchých Lieových grup , hodnost 2 a dimenze 14, s věrnými netriviálními konečnorozměrnými lineárními reprezentacemi . Celkově má G2 dvě základní reprezentace dimenzí 7 a 14 , z nichž první odpovídá krátkému kořenu kořenového systému G2 . $\mathfrak{g}_2$

Kompaktní forma G 2 je skupina automorfismu oktonionové (oktávové) algebry nebo podgrupa SO(7) zanechávající na svém místě fixovaný 8rozměrný spinor (v jeho spinorové reprezentaci).

Implementace

Existují 3 jednoduché skutečné Lieovy algebry spojené s daným kořenovým systémem :

Čistě skutečná Lieova algebra , která je základem komplexní Lieovy algebry G 2 , je 28rozměrná a jednoduše propojená. Komplexní konjugace je její vnější automorfismus. Maximální kompaktní podgrupa grupy spojené s touto algebrou je kompaktní forma G 2 .
Lieova algebra v kompaktní formě má rozměr 14. Přidružená Lieova grupa nemá žádné vnější automorfismy , žádný střed a je jednoduše spojená a kompaktní.
Lieova algebra ve své nekompaktní (oddělené) podobě obsahuje 14 dimenzí. Přidružená jednoduchá Lieova grupa má základní grupu řádu 2 a její vnější automorfní grupa je triviální grupa. Jeho maximální kompaktní podskupina je SU(2)×SU(2)/(−1×−1). Pro tuto grupu existuje nealgebraická dvojitá univerzální krycí grupa (jednoduše spojená).

Algebraické vlastnosti

Dynkinovo schéma

Kořenový systém G 2

Navzdory skutečnosti, že kořenové vektory lze umístit do 2-rozměrného prostoru, jejich vyjádření ve třech souřadnicích, jejichž součet je nula, vypadá symetricky:

(1,−1,0), (−1,1,0) (1,0,−1), (−1,0,1), (0,1,−1), (0,−1,1), (2,−1,−1), (−2,1,1), (1,−2,1), (−1,2,−1), (1,1,−2), (−1,−1,2),

a jednoduché pozitivní kořenové vektory

(0,1,−1), (1,−2,1).

Skupina Weyl / Coxeter

Pro algebru G 2 je to dihedrální grupa D 12 řádu 12.

Cartan matice

\begin{pmatrix} 2&-3\\ -1&2 \end{pmatrix}

Speciální holonomie

G 2 je jedna z těch speciálních skupin, které mohou být holonomickými skupinami Riemannovy metriky . Odrůdy s G2 - holonomií se nazývají G2 - odrůdy .

Odkazy

John Baez , The Octonions , Část 4.1: G2 , Bull. amer. Matematika. soc. 39 (2002), 145-205 . Online HTML verze .

Výjimečné jednoduché lži grupy
G₂ F₄ E₆ E₇ E₈

Teorie skupin
Základní pojmy	Podskupina Normální podskupina Faktorová skupina Práce Přímo polopřímý volný, uvolnit
Algebraické vlastnosti	komutativní skupina Cyklická skupina objednaná skupina Transformovat skupinu Řešitelná skupina Schreierovo lemma Lagrangeova věta Sylowovy věty Klasifikace jednoduchých konečných grup
konečné skupiny	Konečná cyklická grupa C n Symetrická grupa S n Dihedrální skupina D n Střídavá skupina A n Kleinová čtyřčlenná skupina Mathieu skupiny M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conwayovy skupiny Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko skupiny J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Rybářské skupiny F22 _ F 23 F24 _ monstrum (M)
Topologické skupiny	Skupiny lži Ortogonální skupina O(n) Speciální ortogonální grupa SO(n) Unitární skupina U(n) Speciální unitární skupina SU(n) Symplectic group Sp(n) Výjimečně jednoduché Lorentzova skupina Skupina Poincaré
Algoritmy na skupinách	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourierova transformace