Polygon

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 21. července 2022; kontroly vyžadují 7 úprav .

Mnohoúhelník je geometrický obrazec, obvykle definovaný jako část roviny ohraničená uzavřenou křivkou . Pokud hraniční mnohoúhelník nemá žádné vlastní průsečíky , nazývá se mnohoúhelník jednoduchý [1] . Například trojúhelníky a čtverce jsou jednoduché mnohoúhelníky, ale pentagram nikoli.

Body zlomu křivky se nazývají vrcholy mnohoúhelníku a její spojnice se nazývají strany mnohoúhelníku. Počet stran mnohoúhelníku je stejný jako počet jeho vrcholů [2] .

Varianty definic

Existují tři různé možnosti pro definování mnohoúhelníku; druhá definice je nejběžnější [1] .

Plochá uzavřená přerušovaná čára je nejobecnějším případem;
Plochá uzavřená křivka bez vlastních průniků , jejíž žádné dvě sousední vazby neleží na stejné přímce;
Část roviny ohraničená uzavřenou křivkou bez vlastních průniků je plochý polygon ; v tomto případě se křivka samotná nazývá obrys polygonu.

Existuje také několik možností pro zobecnění této definice, umožňující nekonečný počet přerušovaných čar, několik odpojených hraničních křivek, přerušované čáry v prostoru, libovolné segmenty souvislých křivek namísto segmentů přímých čar atd. [1]

Související definice

Vrcholy mnohoúhelníku se nazývají sousedy , pokud jsou konci jedné z jeho stran.
Strany mnohoúhelníku se nazývají sousední , pokud sousedí se stejným vrcholem.
Celková délka všech stran mnohoúhelníku se nazývá jeho obvod .
Diagonály jsou segmenty, které spojují nesousední vrcholy mnohoúhelníku.
Úhel (nebo vnitřní úhel ) plochého mnohoúhelníku v daném vrcholu je úhel mezi dvěma stranami sbíhajícími se v tomto vrcholu. Úhel může přesáhnout , pokud polygon není konvexní. Počet rohů jednoduchého mnohoúhelníku je stejný jako počet jeho stran nebo vrcholů. $180^{\circ }$
Vnější úhel konvexního mnohoúhelníku v daném vrcholu je úhel sousedící s vnitřním úhlem mnohoúhelníku v tomto vrcholu. V případě nekonvexního mnohoúhelníku je vnější úhel rozdílem mezi a vnitřním úhlem, může nabývat hodnot od do . $180^{\circ }$ ${\displaystyle -180^{\circ ))$ $180^{\circ }$
Kolmice pokleslá ze středu vepsané kružnice pravidelného mnohoúhelníku na jednu ze stran se nazývá apotém .

Typy polygonů a jejich vlastnosti

Mnohoúhelník se třemi vrcholy se nazývá trojúhelník , se čtyřmi - čtyřúhelník , s pěti - pětiúhelník a tak dále. Mnohoúhelník s vrcholy se nazývá -gon . $n$ $n$

Konvexní mnohoúhelník je mnohoúhelník, který leží na jedné straně libovolné čáry obsahující jeho stranu (to znamená, že prodloužení stran mnohoúhelníku neprotínají jeho ostatní strany). Existují další ekvivalentní definice konvexního mnohoúhelníku . Konvexní mnohoúhelník je vždy jednoduchý , to znamená, že nemá žádné vlastní průsečíky.
Konvexní mnohoúhelník se nazývá pravidelný , pokud má všechny strany a všechny úhly stejné, jako je rovnostranný trojúhelník , čtverec a pravidelný pětiúhelník . Symbol Schläfli pravidelného -gon je . $n$ ${\displaystyle \{n\))$
Mnohoúhelník, který má všechny strany a všechny úhly stejné, ale který má vlastní průniky, se nazývá pravidelný stelovaný mnohoúhelník , například pentagram a oktagram .
Mnohoúhelník se nazývá vepsaný do kruhu , pokud všechny jeho vrcholy leží na stejné kružnici. Samotný kruh se nazývá opsaný a jeho střed leží v průsečíku středních kolmiček ke stranám mnohoúhelníku. Jakýkoli trojúhelník je vepsán do nějaké kružnice.
Mnohoúhelník se nazývá kružnice opsané , pokud se všechny jeho strany dotýkají nějaké kružnice. Samotný kruh se nazývá vepsaný a jeho střed leží v průsečíku os úhlů mnohoúhelníku. Jakýkoli trojúhelník je opsán kolem nějaké kružnice.
Konvexní čtyřúhelník se nazývá neopsaný v blízkosti kružnice, pokud jsou prodloužení všech jeho stran (ale ne stran samotných) tečnou k nějaké kružnici. [3] Kruh se nazývá excircle . Excircle také existuje pro libovolný trojúhelník .

Obecné vlastnosti

Trojúhelníková nerovnost

Trojúhelníková nerovnost říká, že délka libovolné strany trojúhelníku je vždy menší než součet délek jeho dalších dvou stran: . Reverzní trojúhelníková nerovnost říká, že délka libovolné strany trojúhelníku je vždy větší než modul rozdílu délek jeho dalších dvou stran. $a<b+c,\quad b<c+a,\quad c<a+b$

Čtyřúhelníková nerovnost

Čtyřúhelníková nerovnost - modul rozdílu libovolných dvou stran čtyřúhelníku nepřesahuje součet ostatních dvou stran : . $\left|ab\right|\leq c+d$
Ekvivalentně: v žádném čtyřúhelníku (včetně degenerovaného) není součet délek jeho tří stran menší než délka čtvrté strany, to znamená: ; ; ; . $a\leq b+c+d$ $b\leq +c+d$ $c\leq a+b+d$ $d\leq a+b+c$

Věta o součtu mnohoúhelníkového úhlu

Součet vnitřních úhlů jednoduchého plochého gonu je [4] . Součet vnějších úhlů nezávisí na počtu stran a je vždy roven $n$ $180^{\circ }(n-2)$ $360^{\circ }.$

Počet úhlopříček

Počet úhlopříček libovolného -gonu je . $n$ ${\tfrac {n(n-3)}{2))$

Oblast

Dovolit být posloupnost souřadnic vrcholů -gon přilehlých k sobě navzájem bez self-průniky . Pak se jeho plocha vypočítá podle Gaussova vzorce : $\{(X_{i},Y_{i})\},i=1,2,...,č$ $n$

S={\frac {1}{2}}\left|\sum \limits _{{i=1}}^{n}(X_{i}+X_{{i+1}})(Y_{i }-Y_{{i+1}})\vpravo|

, kde .

(X_{{n+1}},Y_{{n+1}})=(X_{1},Y_{1})

Vzhledem k délkám stran mnohoúhelníku a úhlům azimutu stran lze plochu mnohoúhelníku zjistit pomocí Sarronova vzorce [5] .

Plocha pravidelného -gonu se vypočítá podle jednoho ze vzorců [6] : $n$

polovina součinu obvodu -gon a apotém : $n$

$S={\frac {n}{4}}\ a^{2}{\mathop {{\mathrm {}}}}\,\název operátora {ctg}{\frac {\pi }{n}}$ .

$S={\frac {1}{2}}nR^{2}\sin {\frac {360^{\circ }}{n));$

$S=nr^{2}{\mathop {{\mathrm {tg))))\,{\frac {\pi }{n))$

kde je délka strany mnohoúhelníku, je poloměr kružnice opsané, je poloměr kružnice vepsané. $A$ $R$ $r$

Kvadratura obrazců

Pomocí sady polygonů se určí kvadratura a plocha libovolného obrázku v rovině. Obrázek se nazývá kvadratura , pokud pro nějaký existuje pár mnohoúhelníků a , takové, že a , kde označuje oblast . $F$ $\varepsilon >0$ $P$ $Q$ $P\podmnožina F\podmnožina Q$ $S(Q)-S(P)<\varepsilon$ $S(P)$ $P$

Variace a zobecnění

Mnohostěn je zobecnění mnohoúhelníku v dimenzi tři, uzavřená plocha složená z mnohoúhelníků nebo těleso jím ohraničené.

Poznámky

↑ 1 2 3 Polygon // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M .: Sovětská encyklopedie , 1982. - T. 3. - S. 749-752.
↑ 1 2 3 Elementární matematika, 1976 , s. 383-384.
↑ Kartaslov.ru
↑ Elementární matematika, 1976 , s. 499.
↑ Khrenov L. S. Výpočet ploch polygonů pomocí Sarronovy metody Archivní kopie z 19. července 2020 na Wayback Machine // Mathematical Education. 1936. Číslo 6. S. 12-15
↑ Elementární matematika, 1976 , s. 503-504.

Literatura

Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementary Mathematics. Opakujte kurz. - Třetí vydání, stereotypní. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Polygon (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Polygony

Podle počtu stran

Monogon
Bigon
Trojúhelník
Čtyřúhelník
Pentagon
Šestiúhelník
Sedmiúhelník
Osmiúhelník
Pentagon
Decagon
Hendecagon
dvanáctiúhelník
Třináct
čtyřúhelník
Pentagon
Šestiúhelník
Sedmnáct
osmiúhelník
Devatenáctiúhelník
dvanáctiúhelník
jednadvacetistranný
Dvacet dva úhlů
Twentytrigon
Dvacet čtyřúhelníkové
Dvacet pětiúhelník
Dvacet osmiúhelník
Trojúhelník
Thirty-Biagon
čtyřicet čtverečních
Čtyřicet dvouúhelník
letniční
letniční
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ en
Millagon
Deset tisíc gon
Stotisícina
Miliogon
nekonečno

opravit

konvexní	Trojúhelník Náměstí Pentagon Šestiúhelník Sedmiúhelník Osmiúhelník Pentagon čtyřúhelník Sedmnáct 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
hvězdicový	Pentagram Hexagram Heptagram Oktagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endekagram dodekagram

trojúhelníky

Čtyřúhelníky

viz také

symbol Schläfli
Polygony	{jeden} {2} {3} {čtyři} {5} {6} {7} {osm} {9} {deset} {jedenáct} {12} {čtrnáct} {patnáct} {17} {osmnáct} {dvacet} {třicet} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
hvězdné polygony	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Ploché parkety _	{3,6} {4,4} {6,3}
Pravidelné mnohostěny a kulové parkety	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Kepler-Poinsotův mnohostěn	{5/2,5} {5,5/2} {5/2,3} {3,5/2}
voštiny	{4,3,4}
Čtyřrozměrné mnohostěny	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Skvělý norský Velký Rus Nový Britannica (online) Brockhaus
V bibliografických katalozích	BNF : 12266998h GND : 4175197-8 J9U : 987007563260005171 LCCN : sh85104637 NKC : ph327599