Vzorec Gaussovy oblasti

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 1. ledna 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Gaussův plošný vzorec ( měřičský vzorec nebo šněrovací vzorec nebo šněrovací algoritmus ) je vzorec pro určení plochy jednoduchého mnohoúhelníku , jehož vrcholy jsou dány kartézskými souřadnicemi v rovině. Ve vzorci křížový součin souřadnic a sčítání určuje plochu oblasti, která obklopuje mnohoúhelník, a poté od ní odečte plochu okolního mnohoúhelníku, což dává plochu mnohoúhelníku uvnitř. Říká se mu také šněrovací vzorec, protože kladné a záporné členy, sestávající z násobených souřadnic, jsou uspořádány křížově, jako při zavazování tkaniček. Uplatnění nachází v geodézii , lesnictví a dalších oborech.

Vzorec byl popsán Meisterem (1724-1788) v roce 1769 a Gaussem v roce 1795. Lze to ověřit rozdělením mnohoúhelníku na trojúhelníky, ale lze na to také pohlížet jako na speciální případ Greenovy věty .

Vzorec pro určení plochy se určí tak, že se vezme každá hrana mnohoúhelníku AB a vypočítá se plocha trojúhelníku ABO s vrcholem v počátku O přes souřadnice vrcholů. Při obcházení mnohoúhelníku se tvoří trojúhelníky, včetně vnitřku mnohoúhelníku a umístěné mimo něj. Rozdíl mezi součtem těchto oblastí je plocha samotného polygonu. Proto se vzorec nazývá geodetským vzorcem, protože "kartograf" je na počátku; jde-li po parcele proti směru hodinových ručiček, plocha se přičte, pokud je vlevo, a odečte, pokud je vpravo z pohledu od počátku.

Plošný vzorec je platný pro jakýkoli samoprotínající se mnohoúhelník, který může být konvexní nebo konkávní.

Definice

Vzorec může být reprezentován následujícím výrazem:

{\begin{aligned}\mathbf {S} &={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}y_{i +1}+x_{n}y_{1}-\součet _{i=1}^{n-1}x_{i+1}y_{i}-x_{1}y_{n}\right|= \\&={\frac {1}{2}}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+\tečky +x_{n-1}y_{n}+x_{n }y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-\tečky -x_{n}y_{n-1}-x_{1}y_{n}|,\end {zarovnaný}}

kde

S je plocha mnohoúhelníku, n je počet stran mnohoúhelníku, ( x i , y i ), i = 1, 2, …, n jsou souřadnice vrcholů polygonu.

Další znázornění stejného vzorce [1] [2] :

{\begin{aligned}\mathbf {S} &={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}(y_{i+ 1 }-y_{i-1})\right|=\\&={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x_{ i +1}-x_{i-1})\right|=\\&={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_ { i+1}-x_{i+1}y_{i}\right|=\\&={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}\ det {\begin{pmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{i+1}&y_{i+1}\end{pmatrix}}\right|,\end{aligned}}

kde

x n + 1 \ u003d x 1 , x 0 \ u003d x n , yn + 1 = y1 , yo = yn . _ _ _

Pokud jsou body číslovány postupně proti směru hodinových ručiček, pak jsou determinanty ve výše uvedeném vzorci kladné a modul v něm lze vynechat; pokud jsou číslovány ve směru hodinových ručiček, budou determinanty záporné. Je to proto, že na vzorec lze pohlížet jako na speciální případ Greenovy věty.

Příklady

Pro aplikaci vzorce potřebujete znát souřadnice vrcholů mnohoúhelníku v kartézské rovině. Vezměme si například trojúhelník se souřadnicemi {(2, 1), (4, 5), (7, 8)}. Vezměte první souřadnici x prvního vrcholu a vynásobte ji souřadnicí y druhého vrcholu a pak souřadnici x druhého vrcholu vynásobte souřadnicí y třetího vrcholu. Tento postup opakujeme pro všechny vrcholy. Výsledek lze určit podle následujícího vzorce [3] :

\mathbf {S} _{\text{tri.}}={\frac {1}{2}}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3 }y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}|,

kde x i a y i označují odpovídající souřadnici. Tento vzorec lze získat otevřením závorek v obecném vzorci pro případ n = 3. Pomocí tohoto vzorce můžete zjistit, že plocha trojúhelníku je polovina součtu 10 + 32 + 7 - 4 - 35 - 16, což dává 3.

Počet proměnných ve vzorci závisí na počtu stran mnohoúhelníku. Například vzorec pro oblast pětiúhelníku bude používat proměnné až x 5 a y 5 :

\mathbf {S} _{\text{pent.}}={\frac {1}{2}}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3 }y_{4}+x_{4}y_{5}+x_{5}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3} -x_{5}y_{4}-x_{1}y_{5}|.

S pro čtyřúhelník - proměnné do x 4 a y 4 :

\mathbf {S} _{\text{quad.}}={\frac {1}{2}}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3 }y_{4}+x_{4}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{1}y_{4} |.

Složitější příklad

Uvažujme mnohoúhelník znázorněný na obrázku a definovaný body (3, 4), (5, 11), (12, 8), (9, 5), (5, 6):

Oblast tohoto polygonu je:

{\begin{aligned}\mathbf {S} &={\frac {1}{2}}|3\krát 11+5\krát 8+12\krát 5+9\krát 6+5\krát 4-{}\\&\qquad -4\krát 5-11\krát 12-8\krát 9-5\krát 5-6\krát 3|=\\&={\frac {60}{2)) =30.\end{aligned}}

Název Vysvětlení

Vzorec se nazývá vzorec tkaničky kvůli obecné metodě používané k jeho výpočtu. Tato metoda používá matici . Jako příklad si vezměme trojúhelník s vrcholy (2, 4), (3, −8), (1, 2). Poté sestavíme následující matici, „obcházíme“ trojúhelník a končíme počátečním bodem:

{\begin{bmatrix}2&4\\3&-8\\1&2\\2&4\end{bmatrix)).

Nejprve nakreslete úhlopříčku dolů a doprava s lomítkem, jak je znázorněno níže:

a vynásobte dvojice čísel spojených pruhem a poté sečtěte všechny součty:

(2 × −8) + (3 × 2) + (1 × 4) = −6.

Udělejme totéž šikmým seknutím dolů a doleva, jak je znázorněno níže:

(4 × 3) + (-8 × 1) + (2 × 2) = 8.

Potom odečteme součet druhé skupiny od první a vezmeme modul:

|(−6) − (8)| = 14.

Vydělením výsledku dvěma získáme plochu. Uspořádání čísel do matice s diagonálními čarami usnadňuje zapamatování vzorce. V důsledku operace s kreslením diagonálních (šikmých) čar připomíná matice s čísly šněrovací boty, odtud pochází název „šněrovací algoritmus“.

Dobrý popis "Gauss Lacing" je uveden ve videu na kanálu Wild Mathing [1]

Viz také

Poznámky

↑ Shoelace Theorem Archived 23. září 2020 na Wayback Machine , Art of Problem Solving Wiki .
↑ Weisstein, Eric W. Oblast polygonu . wolfram matematický svět . Získáno 24. července 2012. Archivováno z originálu 12. května 2012. (neurčitý)
↑ Richard Rhoad; George Milauskas; Robert Whipple. Geometrie pro radost a výzvu . - Nový. — McDougal Littell, 1991. - S. 717-718 . - ISBN 0-86609-965-4 .