Algebraické číselné pole

Algebraické číselné pole , obor algebraických čísel (nebo jednoduše číselné pole ) je konečným (a tedy algebraickým ) rozšířením oboru racionálních čísel . Číselné pole je tedy pole , které obsahuje a je nad ním konečně-dimenzionální vektorový prostor . Někteří autoři přitom jakékoli podpole komplexních čísel nazývají číselným polem – např. M. M. Postnikov v „The Galois Theory“. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Číselná pole a obecněji algebraická rozšíření pole racionálních čísel jsou hlavním předmětem studia v algebraické teorii čísel .

Příklady

Nejmenším a základním číselným oborem je obor racionálních čísel . $\mathbb {Q}$
Gaussova racionální čísla, označovaná, jsou prvním netriviálním příkladem číselného pole. Jeho prvky jsou vyjádřením formy ${\mathbb Q}(i)$

a+bi

kde a jsou racionální čísla, je imaginární jednotka . Takové výrazy lze sčítat a násobit podle obvyklých pravidel operací s komplexními čísly a každý nenulový prvek má inverzi, jak je vidět z rovnosti

A

b

i

(a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i \right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.

Z toho vyplývá, že racionální Gaussova čísla tvoří pole, které je dvourozměrným prostorem nad (tj. kvadratické pole ).

\mathbb {Q}

Obecněji řečeno, pro jakékoli celé číslo bez čtverce bude rozšíření kvadratického pole . $d$ ${\mathbb Q}({\sqrt d})$ $\mathbb {Q}$
Kruhové pole získáme přidáním k primitivní n-té odmocnině jednoty. Pole musí obsahovat a všechny jeho mocniny (tedy všechny n-té kořeny jednoty), jeho rozměr se rovná Eulerově funkci . ${\mathbb Q} (\zeta _{n})$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ $\varphi (n)$
Reálná a komplexní čísla mají nad racionálními čísly nekonečnou moc, takže nejde o číselná pole. To vyplývá z nepočitatelnosti: každé číselné pole je spočítatelné .
Pole všech algebraických čísel není číselné. Ačkoli je rozšíření algebraické, není konečné. $\mathbb {A}$ $\mathbb {A} \supset \mathbb {Q}$

Kruh celých čísel číselné pole

Protože číselné pole je algebraickým rozšířením pole , jakýkoli jeho prvek je kořenem nějakého polynomu s racionálními koeficienty (tj. je algebraický ). Každý prvek je navíc kořenem polynomu s celočíselnými koeficienty, protože je možné vynásobit všechny racionální koeficienty součinem jmenovatelů. Pokud je daný prvek kořenem nějakého unitárního polynomu s celočíselnými koeficienty, nazývá se celočíselný prvek (nebo algebraické celé číslo). Ne všechny prvky číselného pole jsou celá čísla: například je snadné ukázat, že jedinými celočíselnými prvky jsou obyčejná celá čísla . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Lze dokázat, že součet a součin dvou algebraických celých čísel je opět algebraické celé číslo, takže celočíselné prvky tvoří podkruh číselného pole , nazývaný kruh celočíselných polí a označovaný . Pole neobsahuje nulové dělitele a tato vlastnost se dědí při předání podkruhu, takže kruh celých čísel je integrální ; pole dílčích prstenců je pole samo . Kruh celých čísel libovolného číselného pole má následující tři vlastnosti: je integrálně uzavřený , noetherovský a jednorozměrný . Komutativní prsten s těmito vlastnostmi se nazývá Dedekind , po Richardu Dedekindovi . $K$ $K$ ${\mathcal O}_{K}$ ${\mathcal O}_{K}$ $K$

Rozklad na prvočísla a třídní grupy

V libovolném Dedekindově kruhu dochází k jedinečnému rozkladu nenulových ideálů na součin jednoduchých . Ne každý kruh celých čísel však splňuje faktoriální vlastnost : ani pro kruh celých čísel kvadratického pole není rozklad jedinečný: ${\mathcal O}_{{{\mathbb Q}({\sqrt {-5}})))={\mathbb Z}[{\sqrt {-5}}]$

6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5)))(1-{\sqrt {-5)))

Zavedením normy na tento prstenec můžeme ukázat, že tyto expanze jsou skutečně různé, to znamená, že jedno nelze získat od druhého vynásobením invertibilním prvkem .

Míra porušení faktoriálové vlastnosti se měří pomocí ideální třídy grupy , tato grupa pro kruh celých čísel je vždy konečná a její pořadí se nazývá počet tříd.

Základy číselných polí

Celý základ

Celočíselný základ číselného pole F stupně n je množina

B = { b 1 , …, b n }

z n prvků kruhu celých čísel pole F tak, že jakýkoli prvek kruhu celých čísel OF pole F lze zapsat jedinečným způsobem jako Z -lineární kombinaci prvků B ; to znamená, že pro libovolné x z OF existuje jedinečný rozklad

x \ u003d m 1 b 1 + ... + m n b n ,

kde m i jsou obyčejná celá čísla. V tomto případě lze libovolný prvek F zapsat jako

m 1 b 1 + … + m n b n ,

kde m i jsou racionální čísla. Poté se celočíselné prvky F odlišují tím, že se jedná o přesně ty prvky, pro které jsou všechna m i celá čísla.

Pomocí nástrojů, jako je lokalizace a Frobeniův endomorfismus , lze takový základ vytvořit pro libovolné číselné pole. Jeho konstrukce je součástí mnoha systémů počítačové algebry .

Výkonový základ

Nechť F je číselné pole stupně n . Mezi všemi možnými bázemi F (jako Q -vektorový prostor) jsou mocninné báze, tedy báze tvaru

B x = {1, x , x 2 , …, x n −1 }

pro některé x ∈ F . Podle věty o primitivním prvku takové x vždy existuje, nazývá se primitivním prvkem daného rozšíření.

Norma a sledování

Algebraické číselné pole je konečnorozměrný vektorový prostor nad (označme jeho rozměr jako ) a násobení libovolným prvkem pole je lineární transformace tohoto prostoru. Nechť je nějaká báze F , pak transformace odpovídá matici definované podmínkou $\mathbb {Q}$ $n$ $e_{1},e_{2},\ldots e_{n}$ $x\mapsto \alpha x$ $A=(a_{{ij}})$

\alpha e_{i}=\součet _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}e_{j},\quad a_{{ij}}\in {\mathbf {Q}}.

Prvky této matice závisí na volbě báze, ale všechny invarianty matice , jako je determinant a stopa , na ní nezávisí . V kontextu algebraických rozšíření se determinant matice vynásobený prvkem nazývá norma tohoto prvku (označuje se ); stopa matice je stopa prvku (označená ). $N(x)$ ${\text{Tr}} (x)$

Stopa prvku je lineární funkcionál na F :

{\text{Tr))(x+y)={\text{Tr))(x)+{\text{Tr))(y)

a .

{\text{Tr))(\lambda x)=\lambda {\text{Tr))(x),\lambda \in {\mathbb Q}

Norma je multiplikativní a homogenní funkce:

N(xy)=N(x)\cdot N(y)

a .

N(\lambda x)=\lambda ^{n}N(x),\lambda \in {\mathbb Q}

Jako výchozí základ lze zvolit celočíselný základ , násobení celočíselným algebraickým číslem (tedy prvkem kruhu celých čísel ) v tomto základu bude odpovídat matici s celočíselnými prvky. Proto stopa a norma jakéhokoli prvku kruhu celých čísel jsou celá čísla.

Příklad použití normy

Dovolit být přirozené číslo bez čtverců , pak být kvadratické pole (zejména je číselné pole). V tomto poli volíme celočíselný základ ( je celočíselný prvek, protože je kořenem redukovaného polynomu ). Na tomto základě násobení podle odpovídá matici $d$ ${\mathbb Q}({\sqrt d})$ $(1, {\sqrt d})$ ${\sqrt d}$ $x^{2}-d$ $a+b{\sqrt d}$

{\begin{pmatrix}a&db\\b&a\end{pmatrix}}

Proto, . Na prvcích prstence nabývá tato norma celočíselné hodnoty. Norma je homomorfismus multiplikativní grupy na multiplikativní grupu , takže norma invertibilních prvků kruhu může být rovna nebo . K vyřešení Pellovy rovnice stačí najít všechny reverzibilní prvky kruhu celých čísel (nazývané také kruhové jednotky ) a vybrat z nich ty, které mají normu . Podle Dirichletovy jednotkové věty jsou všechny invertibilní prvky daného kruhu mocniny jednoho prvku (až do násobení ), takže k nalezení všech řešení Pellovy rovnice stačí najít jedno základní řešení. $N(a+b{\sqrt d})=a^{2}-db^{2}$ ${\mathbb Z}[{\sqrt d}]$ ${\mathbb Z}[{\sqrt d}]$ $\mathbb {Z}$ $jeden$ $-jeden$ $a^{2}-db^{2}=1$ $jeden$ $-jeden$

Viz také

Kummerova teorie

Literatura

H. Koch. Algebraická teorie čísel . - M .: VINITI , 1990. - T. 62. - 301 s. - (Výsledky vědy a techniky. Řada "Moderní problémy matematiky. Základní směry".).
Chebotarev N.G. Základy Galoisovy teorie. Část 2. - M . : Editorial URSS, 2004.
Weil G. Algebraická teorie čísel. Za. z angličtiny. - M. : Editorial URSS, 2011.
Serge Lang , Algebraická teorie čísel, druhé vydání, Springer, 2000