Frobeniův endomorfismus

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. května 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Frobeniův endomorfismus je endomorfismus komutativního kruhu prvočíselné charakteristiky dané vzorcem . V některých případech, jako je případ konečného tělesa , je Frobeniův endomorfismus automorfismus , ale obecně tomu tak není. $p$ $x\mapsto x^{p}$

Definice a základní vlastnosti

Dovolit být komutativní kruh prvočísla (zejména jakýkoli integrální kruh nenulové charakteristiky je takový). Frobeniův endomorfismus kruhu je definován vzorcem . Frobeniův endomorfismus je skutečně kruhový homomorfismus , protože (k prokázání poslední identity postačí napsat levou stranu podle Newtonova binomického vzorce a poznamenat, že všechny binomické koeficienty kromě prvního a posledního jsou dělitelné ). $R$ $p$ $R$ $F(x)=x^{p}$ $(xy)^{p}=x^{p}y^{p},(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$ $p$

Jestliže je libovolný homomorfismus kruhů prvočísla , pak , to je: . $\varphi :R\to S$ $p$ ${\displaystyle \varphi (x^{p})=(\varphi (x))^{p))$ $\varphi \circ F_{R}=F_{S}\circ \varphi$

To znamená, že Frobeniův endomorfismus je přirozenou transformací funktoru identity (na kategorii komutativních okruhů charakteristiky ) do sebe sama. $p$

Pokud prsten neobsahuje netriviální nilpotenty , pak je Frobeniův endomorfismus injektivní (protože jeho jádro je nulové). Je snadné dokázat, že opak je také pravdivý: jestliže je netriviální nilpotent mizející od stupně , pak . Frobeniův endomorfismus není nutně surjektivní , i když se jedná o pole. Nechť je například pole racionálních funkcí s koeficienty v , pak funkce neleží v obrazu Frobeniova endomorfismu. $R$ $X$ $n$ $(x^{{n-1}})^{p}=0$ $R$ $R={\mathbb F}_{p}(t)$ $\mathbb {F} _{p}$ $t$

Pole se nazývá dokonalé , pokud je jeho charakteristika nulová, nebo je-li charakteristika kladná a Frobeniův endomorfismus je surjektivní (jedná se tedy o automorfismus). Zejména všechna konečná pole jsou dokonalá. $K$

Pevné body

Uvažujme konečné pole . Podle Fermatovy malé věty všechny prvky tohoto pole splňují rovnici . Rovnice t. stupně nemůže mít více kořenů, proto v jakémkoli rozšíření pole jsou pevné body Frobeniova endomorfismu právě prvky pole . Podobné tvrzení platí pro integrální kruhy s charakteristikou . $\mathbb {F} _{p}$ $x^{p}=x$ $p$ $p$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}$ $p$

Stupně Frobeniova endomorfismu také splňují podobné vlastnosti. Jestliže je pole konečné, všechny jeho prvky splňují rovnici a v jakémkoli rozšíření tohoto pole jsou prvky původního pole pevnými body t. stupně Frobeniova endomorfismu, tedy pevnými body . ${\mathbb F}_{{p^{k}}}$ $x^{{p^{k}}}=x$ $k$ $x\mapsto x^{{p^{k}}}$

Generující prvek skupiny Galois

Galoisova grupa konečného rozšíření konečného pole je cyklická a je generována stupněm Frobeniova endomorfismu. Nejprve zvažte případ, kdy je zemní pole jednoduché . Nechť je konečné pole, kde . Frobeniův endomorfismus zachovává prvky primárního pole , takže je prvkem skupiny Galois rozšíření . Ukazuje se, že tato skupina je cyklická a je generována pomocí . Pořadí této grupy je , protože endomorfismus působí identicky a menší mocniny identicky působit nemohou. $\mathbb {F} _{q}$ $q=p^{n}$ $F$ $\mathbb {F} _{p}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}\supset \mathbb {F} _{p))$ $F$ $n$ ${\displaystyle x\mapsto x^{q))$ $\mathbb {F} _{q}$

V prodloužení je zemní pole fixováno t. stupněm Frobeniova endomorfismu, generuje se Galoisova grupa prodloužení a má řád . $\mathbb {F} _{q^{k}}\supset \mathbb {F} _{q}$ $n$ $F^{n}$ $k$

Frobeniův endomorfismus

Definice a základní vlastnosti

Pevné body

Generující prvek skupiny Galois

Frobeniův endomorfismus pro schémata

Viz také

Literatura