Hilbertův dvanáctý problém nebo Jugendtraum (z němčiny - "dětský sen") Kronecker - jeden z 23 matematických problémů , vyslovený Davidem Hilbertem v roce 1900 [1] [2] , formulovaný jako rozšíření Kronecker-Weberovy věty o Abelově rozšíření oboru racionálních čísel na libovolném algebraickém číselném poli . To znamená, že analogy kořenů jednoty jsou požadovány ve formě komplexních čísel , což jsou specifické hodnoty exponenciální funkce ; požadavkem je, aby taková čísla generovala celou rodinu dalších číselných polí, která jsou analogy cyklotomických polí a jejich podpolí.
Klasická teorie komplexního násobení, nyní často označovaná jako Kroneckerovo Jugendtraum , to dělá pro případ libovolného imaginárního kvadratického pole pomocí modulárních funkcí a eliptických funkcí vybraných se specifickou periodovou mřížkou spojenou s daným polem. Goro Shimura to rozšířil na CM pole. Obecný případ zůstává otevřený od roku 2022. Leopold Kronecker popsal problém komplexního násobení jako své „liebster Jugendtraum“ neboli „nejmilejší sen svého mládí“.
V části 12 své zprávy Problémy v matematice (1900) dává Hilbert Kroneckerovu Jugendtraum „obzvláště důležité“ [1] [2] a poukazuje na to, že Kronecker dokázal (1853) větu (aktualizovanou Weberem a Hilbertem v roce 1886), že :
(...) každé abelovské číselné pole v oblasti racionálních čísel je zakotveno v poli kořenů jednoty. (...) Protože nejjednodušší po oblasti racionálních čísel je komplexní kvadratická číselná oblast, vyvstává problém dokázat Kroneckerovu větu i pro tento případ. (...) Důkaz Kroneckerovy domněnky se dosud nenašel. Přesto se domnívám, že to lze provést bez větších obtíží na základě teorie komplexního násobení vyvinuté Weberem a s přihlédnutím k čistě aritmetickým teorémům o třídách polí, které jsem dokázal. A nakonec přikládám mimořádnou důležitost rozšíření Kroneckerovy věty na případ, kdy se místo oboru racionálních čísel nebo komplexního kvadratického oboru považuje za obor racionality libovolné algebraické číselné pole. Tento problém považuji za jeden z nejhlubších a nejrozsáhlejších problémů v teorii funkcí. (...) Pokud jde o funkčně-teoretickou část problému, měl by se badatel vydat velmi přitažlivou cestou oné nápadné analogie, která je zaznamenána mezi teorií algebraických funkcí jedné nezávisle proměnné a teorií algebraických čísel. (...) Jak vidíme, ve výše uvedeném problému jsou tři hlavní větve matematiky - jmenovitě teorie čísel , algebra a teorie funkcí - ve vnitřním propojení.
| Hilbertovy problémy | |
|---|---|