Výzvy tisíciletí

Problémy tisíciletí  je sedm matematických problémů , které v roce 2000 označil Clay Mathematical Institute jako „důležité klasické problémy, které nebyly vyřešeny po mnoho let“ , z nichž každý má slíbenou odměnu 1 milion amerických dolarů . Existuje historická paralela mezi Millennium Problems a Hilbertovým seznamem problémů z roku 1900 , který měl významný dopad na vývoj matematiky ve 20. století; z 23 Hilbertových problémů byla většina již vyřešena a pouze jeden – Riemannova hypotéza  – byl zařazen do seznamu problémů tisíciletí.

Počátkem roku 2022 byla vyřešena pouze jedna ze sedmi výzev tisíciletí ( Poincareho domněnka ) .

Vyřešené problémy

Poincarého domněnka

Je považován za nejznámější problém v topologii . Neformálně tvrdí, že jakýkoli trojrozměrný „objekt“, který má nějaké vlastnosti trojrozměrné koule (například každá smyčka uvnitř ní musí být stažitelná), musí být koule až do deformace .

Cena za prokázání Poincareho domněnky byla v roce 2010 udělena ruskému matematikovi Grigorymu Perelmanovi [1] , který v roce 2002 publikoval sérii prací, z nichž vyplývá platnost hypotézy, ale vědec odmítl tuto cenu převzít, neboť předtím odmítl Fieldsovu cenu [2] .

Nevyřešené problémy

Rovnost tříd P a NP

Pokud lze kladnou odpověď na nějakou otázku rychle (v polynomiálním čase ) zkontrolovat (pomocí nějaké pomocné informace zvané certifikát), pak je pravda, že samotnou odpověď (společně s certifikátem) na tuto otázku lze rychle najít? Úlohy druhého typu patří do třídy P , první do třídy NP . Problém rovnosti těchto tříd je jedním z nejdůležitějších problémů v teorii algoritmů .

Hodgeova domněnka

Důležitý problém v algebraické geometrii . Dohad popisuje třídy kohomologie na komplexních projektivních varietách realizovaných algebraickými podvarietami.

Riemannova hypotéza

Dohad říká, že všechny netriviální (tj. mající nenulovou imaginární část) nuly Riemannovy zeta funkce mají reálnou část 1/2. Jeho důkaz nebo vyvrácení bude mít dalekosáhlé důsledky pro teorii čísel , zejména v oblasti distribuce prvočísel . Riemannova hypotéza byla osmá na seznamu Hilbertových problémů . V případě zveřejnění protipříkladu k Riemannově hypotéze má Vědecká rada Clayova institutu právo rozhodnout, zda lze tento protipříklad považovat za konečné řešení problému, nebo zda lze problém přeformulovat v užší podobě a ponechat otevřené (v druhém případě lze vyplatit malou cenu autorovi protipříkladu) [3] [4] .

Yang-Millsova teorie

Problém z oblasti fyziky elementárních částic . Je požadováno dokázat, že pro jakoukoli jednoduchou skupinu kompaktního kalibru existuje kvantová Yang-Millsova teorie pro prostor ( čtyřrozměrný časoprostor ) a má nenulovou spektrální mezeru . Toto tvrzení je v souladu s experimentálními daty a numerickými simulacemi, ale dosud nebylo prokázáno.

Existence a hladkost řešení Navier-Stokesových rovnic

Navier-Stokesovy rovnice popisují pohyb viskózní tekutiny. Jeden z nejdůležitějších problémů v hydrodynamice .

Birch-Swinnerton-Dyerova hypotéza

Hypotéza souvisí s rovnicemi eliptických křivek a množinou jejich racionálních řešení.

Poznámky

  1. ↑ Cena za vyřešení Poincarého domněnky udělená Dr. Grigoriy Perelman Archivováno 22. března 2010.  (anglicky) . Tisková zpráva Clayova matematického institutu.
  2. ↑ „Spočítáno a odmítnuto“. Ruský matematik Grigory Perelman odmítl odměnu 1 milion dolarů za vyřešení jednoho z matematických problémů tisíciletí. Archivováno 26. října 2014 na Wayback Machine Gazeta.ru
  3. ↑ Weisstein, Eric W. Riemann Hypothesis  na webu Wolfram MathWorld .
  4. ↑ Pravidla pro ceny tisíciletí archivována 10. prosince 2011 na Wayback Machine

Odkazy