Lander-Parkin-Selfridge hypotéza

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 5. října 2020; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Lander-Parkin-Selfridgeův dohad v teorii čísel je předpokladem o podmínkách existence řešení v přirozených číslech rovnic pro součty stejných mocnin neznámých. Tyto rovnice jsou zobecněním rovnic poslední Fermatovy věty .

Pozadí

Celočíselná řešení diofantických rovnic , jako jsou celočíselná řešení rovnice související s Pythagorovou větou , byla studována po mnoho staletí. Fermatova poslední věta říká, že pro celočíselné mocniny nemá rovnice řešení v přirozených číslech . $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $k>2$ $a^{k}+b^{k}=c^{k}$ $a,b,c$

V roce 1769 Leonhard Euler zvýšil počet členů v rovnici a předložil hypotézu , která se ve zobecněné podobě scvrkává na skutečnost, že rovnice

{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}x_{i}^{k}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{k))

nemá řešení v přirozených číslech if , s výjimkou triviálního případu, kdy kořeny na levé straně rovnice jsou permutací kořenů na pravé straně rovnice. Takové rovnice lze označit trojicemi čísel [1] . $k\geq m+n$ $(k,m,n)$

V roce 1966 našli Leon J. Lander a Thomas R. Parkin protipříklad pro Eulerovu domněnku [2] : $k = 5$

27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}.

První protipříklad našel Noam Elkis v roce 1988 . [3] Nejmenší řešení nalezené ve stejném roce ( Roger Frye, 1988 ) je: $k=4$

414560^{4}+217519^{4}+95800^{4}=422481^{4},

Eulerova domněnka však zůstává otevřená . $k=6$

Hypotéza

V roce 1967 Lander, Parkin a Selfridge navrhli 4] rovnici

{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}x_{i}^{k}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{k))

může mít netriviální řešení v přirozených číslech, pouze pokud . $k\leq m+n$

Fermatův poslední teorém implikuje platnost hypotézy pro případ a absenci řešení pro . $(k,2,1),k>3$ $(3,2,1)$

Hledání řešení rovnic pro některé mocniny se ukazuje jako obtížný úkol nejen pro , ale i pro . Distribuované počítačové projekty EulerNet [5] a yoyo@home hledají řešení pro různé projekty . $(k,m,n)$ $k=m+n$ $k<m+n$ $(k,m,n)$

Známá řešení pro ( k , m , n ), k = m + n

Od roku 2006 jsou známá následující řešení pro ( k , m , n ) s k = m + n : [6]

(4, 2, 2)

158^{4}+59^{4}=134^{4}+133^{4}

, řešení je nekonečně mnoho.

(4, 1, 3)

{\displaystyle 422481^{4}=414560^{4}+217519^{4}+95800^{4))

, řešení je nekonečně mnoho.

(5, 1, 4)

144^{5}=133^{5}+110^{5}+84^{5}+27^{5}

, jsou známa 2 řešení.

(5, 2, 3)

14132^{5}+220^{5}=14068^{5}+6237^{5}+5027^{5}

, je známo 1 řešení.

(6, 3, 3)

{\displaystyle 23^{6}+15^{6}+10^{6}=22^{6}+19^{6}+3^{6))

, řešení je nekonečně mnoho.

(8, 3, 5)

966^{8}+539^{8}+81^{8}=954^{8}+725^{8}+481^{8}+310^{8}+158^{8}

, je známo 1 řešení.

(8, 4, 4)

3113^{8}+2012^{8}+1953^{8}+861^{8}=2823^{8}+2767^{8}+2557^{8}+1128^{8}

, je známo 1 řešení.

Některá řešení pro ( k , k , 1)

k = 3

3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}

k = 4

{\displaystyle 30^{4}+120^{4}+272^{4}+315^{4}=353^{4))

( R. Norrie, 1911 ) [4]

k = 5

19^{5}+43^{5}+46^{5}+47^{5}+67^{5}=72^{5}

( Lander, Parkin, Selfridge, nejmenší, 1967 ) [4]

k = 6

Řešení neznámá.

k = 7

127^{7}+258^{7}+266^{7}+413^{7}+430^{7}+439^{7}+525^{7}=568^{7}

( M. Dodrill, 1999 )

k = 8

90^{8}+223^{8}+478^{8}+524^{8}+748^{8}+1088^{8}+1190^{8}+1324^{8} =1409^{8}

( Scott Chase 2000 )

k ≥ 9

Řešení neznámá.

Poznámky

↑ Euler sám zvažoval pouze případ ( k , m , 1).
↑ LJ Lander, T. R. Parkin. Protipříklad k Eulerově domněnce o součtech podobných mocnin // Bull . amer. Matematika. soc. : deník. - 1966. - Sv. 72 . - str. 1079 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11654-3 .
↑ Noam Elkies. Na A 4 + B 4 + C 4 = D 4 (Rom.) // Matematika počítání. - 1988. - T. 51 , nr. 184 . - S. 825-835 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9 . — .
↑ 1 2 3 L. J. Lander, T. R. Parkin, J. L. Selfridge; parkin; selfridge. Přehled stejných součtů podobných mocnin // Matematika počítání : deník. - 1967. - Sv. 21 , č. 99 . - str. 446-459 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0 . — .
↑ EulerNet . Získáno 16. srpna 2015. Archivováno z originálu 9. prosince 2013. (neurčitý)
↑ Math Games, Ed Pegg Jr., Power Sums

Literatura

Richard K Guy . Nevyřešené problémy v teorii čísel (neurčité) . — 3. - New York, NY: Springer-Verlag , 2004. - P. D1. — (Problémové knihy z matematiky). — ISBN 0-387-20860-7 .

Odkazy

EulerNet Archivováno 9. prosince 2013 na Wayback Machine
Euler Conjecture Archived 21. června 2013 na Wayback Machine
Stejné součty mocnin – Tabulky archivované 6. května 2021 na Wayback Machine
Tito Piezas III: A Collection of Algebraic Identities Archived 1. října 2011 na Wayback Machine
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--5th Powers (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--6th Powers (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--7th Powers (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--8th Powers (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Euler's Sum of Powers Conjecture (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Euler Quartic Conjecture (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--4th Powers (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Eulerova domněnka na library.thinkquest.org
Matematici nacházejí nová řešení starověkého puzzle Archivováno 11. července 2015 na Wayback Machine