Eulerova domněnka

Eulerova domněnka říká, že pro žádné přirozené číslo nelze žádnou n-tou mocninu přirozeného čísla reprezentovat jako součet tých mocnin jiných přirozených čísel. Tedy rovnice: $n > 2$ $(n-1)$ $n$

{\begin{matrix}a^{3}+b^{3}=c^{3}\\a^{4}+b^{4}+c^{4}=d^{4}\\ a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}=e^{5}\\\tečky \\\součet \limits _{{k=1}}^{{ n-1}}a_{k}^{n}=a_{n}^{n}\end{matrix}}

nemají řešení v přirozených číslech. Vyvráceno .

Dohad byl učiněn v roce 1769 Eulerem jako zobecnění Fermatovy poslední věty , která odpovídá speciálnímu případu n = 3. Eulerova domněnka tedy platí pro n = 3.

Protipříklady

n = 5

V roce 1966 našli L. Lander , T. Parkin a J. Selfridge první protipříklad pro n = 5 pomocí superpočítače CDC 6600 : [1] 2]

27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}.

n = 4

V roce 1986 našel Noam Elkis protipříklad pro případ n = 4: [3] [4]

2682440^{4}+15365639^{4}+18796760^{4}=20615673^{4}.

V roce 1988 našel Roger Frye nejmenší protipříklad pro n = 4: [5] [4]

95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}.

Zobecnění

V roce 1966 L. D. Lander , R. Parkin a J. Selfridge předpokládali , že pokud , kde jsou kladná celá čísla, , pak . $\sum _{{i=1}}^{{n}}a_{i}^{k}=\sum _{{j=1}}^{{m}}b_{j}^{k}$ $a_{i}\neq b_{j}$ $i={\overline {1,n)),j={\overline {1,m}}$ $m+n\geqslant k$

Pokud je tato hypotéza pravdivá, znamenalo by to zejména, že pokud , pak . $\sum _{{i=1}}^{{n}}a_{i}^{k}=b^{k}$ $n\geqslant k-1$

Množina kladných celých čísel, která splňuje rovnost , kde , se nazývá ( k , n , m )-řešení. Hledání takových řešení pro různé hodnoty parametrů k , n , m je prováděno projekty distribuovaných výpočtů EulerNet [6] a yoyo@home . $\sum _{{i=1}}^{{n}}a_{i}^{k}=\sum _{{j=1}}^{{m}}b_{j}^{k}$ $a_{i}\neq b_{j}$

Viz také

Poznámky

↑ LJ Lander, T. R. Parkin: Protipříklad k Eulersově domněnce o součtech podobných mocnin . Býk. amer. Matematika. soc. sv. 72, 1966, str. 1079
↑ LJ Lander, TR Parkin, JL Selfridge. Přehled stejných součtů podobných mocnin // Math . Comp. : deník. - 1967. - Sv. 21 . - str. 446-459 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0 .
↑ Noam Elkies. Na A 4 + B 4 + C 4 = D 4 // Matematika počítání. - 1988. - Sv. 51 , č. 184 . - S. 825-835 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9 . — .
↑ 1 2 R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert. Nalezena všechna řešení diofantické rovnice a^6+b^6=c^6+d^6+e^6+f^6+g^6 pro a,b,c,d,e,f,g < 250 000 s distribuovaným projektem Boinc Archived 3. září 2015 na Wayback Machine , 2011, předtisk.
↑ Frye, Roger E. (1988), Finding 95800 4 + 217519 4 + 414560 4 = 422481 4 on the Connection Machine , Proceedings of Supercomputing 88, Vol. II: Science and Applications , str. 106–116 , DOI 10.1109/SUPERC.1988.74138
↑ EulerNet Archivováno 9. prosince 2013 na Wayback Machine .

Odkazy

EulerNet Archivováno 9. prosince 2013 na Wayback Machine
Euler Conjecture Archived 21. června 2013 na Wayback Machine