Zakřivení

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 16. června 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Zakřivení je souhrnný název pro řadu charakteristik ( skalární , vektor , tenzor ), které popisují odchylku toho či onoho geometrického „objektu“ ( křivka , plocha , Riemannův prostor atd.) od odpovídajících „plochých“ objektů ( přímka , rovina , euklidovský prostor atd. ) atd.).

Obvykle je zakřivení definováno pro každý bod na "objektu" a vyjádřeno jako hodnota nějakého diferenciálního výrazu 2. řádu . Někdy je zakřivení definováno v integrálním smyslu, například jako míra , takové definice se používají pro „objekty“ se sníženou hladkostí. Shodné vymizení zakřivení ve všech bodech zpravidla znamená lokální shodu zkoumaného „objektu“ s „plochým“ objektem.

Tento článek uvádí pouze několik jednoduchých příkladů definic pojmu zakřivení.

Zakřivení křivky

Zakřivení křivky dané parametricky

Dovolit být pravidelná křivka v- rozměrném euklidovském prostoru parametrizované jeho délkou . Pak $\gamma (s)$ $d$ $s$

\kappa =|{\ddot {\gamma }}(s)|

se nazývá zakřivení křivky v bodě , zde označuje druhou derivaci s ohledem na . Vektor $\gamma$ $p=\gamma (s)$ ${\ddot {\gamma }}(s)$ $s$

k={\ddot {\gamma }}(s)

se nazývá vektor zakřivení v bodě . $\gamma$ $p=\gamma (s)$

Je zřejmé, že tato definice může být přepsána z hlediska tečného vektoru : $\tau (s)={\tečka {\gamma }}(s)$

k={\dot {\tau }}(s),

kde jedna tečka nad písmenem znamená první derivaci vzhledem k s.

Pro křivku zadanou parametricky je v obecném případě křivost vyjádřena vzorcem

\kappa ={\frac {|\gamma '\times \gamma ''|}{|\gamma '|^{3}}}

kde a respektive označují první a druhou derivaci vektoru poloměru v požadovaném bodě vzhledem k parametru (v tomto případě pro křivku v trojrozměrném prostoru lze chápat vektorový součin , pro křivku ve dvou -rozměrný prostor, pseudoskalární součin a pro křivku v prostoru libovolného rozměru vnější součin ). $\gamma'$ $\gamma''$ $\gamma$ $\krát$

Související pojmy

Převrácená hodnota zakřivení křivky ( ) se nazývá poloměr zakřivení ; shoduje se s poloměrem souvislé kružnice v daném bodě křivky. Střed této kružnice se nazývá střed křivosti . Pokud je zakřivení křivky nulové, souvislý kruh se zvrhne v přímku. $r=1/\kappa$

Křivky v rovině

Pro křivky v rovině se používá další vzorec v případech, kdy křivka není dána parametricky, ale jako těžiště bodů splňující jednu rovnici.

Dovolit je pravidelná křivka na euklidovské rovině se souřadnicemi danými rovnicí s dvakrát spojitě diferencovatelnou funkcí . Potom se jeho zakřivení v bodě vypočítá podle vzorce [1] $\gamma$ $(x,y)$ $F(x,y)=0$ $F$ $(x,y)$

\kappa (x,y)={\frac {|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2} F_{yy}|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2)))).

Zejména pokud je křivka dána rovnicí , její zakřivení se vypočítá podle vzorce $y = f(x)$

\kappa (x)={\frac {|f''|}{({\sqrt {1+f'^{2}}})^{3}}}.

[2]

Aby se křivka shodovala s některým úsekem přímky nebo s celou přímkou, je nutné a postačující, aby její zakřivení (resp. vektor zakřivení) bylo ve všech bodech shodně rovné nule. $\gamma$

Orientované zakřivení rovinné křivky

Pokud křivka leží ve stejné rovině, lze jejímu zakřivení přiřadit znaménko. Takové zakřivení se často nazývá orientované . To lze provést následovně: pokud se bod pohybuje ve směru rostoucího parametru, rotace tečného vektoru nastane proti směru hodinových ručiček, pak se zakřivení považuje za kladné, pokud ve směru hodinových ručiček, je záporné. Orientované zakřivení je vyjádřeno vzorcem

\kappa ={\frac {\gamma '\times \gamma ''}{|\gamma '|^{3))}={\frac {x'y''-x''y'}{ (x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}}.

Znaménko křivosti závisí na volbě parametrizace a nemá žádný geometrický význam. Geometrickým významem je změna znaménka křivosti při průchodu určitým bodem (tzv. inflexní bod ) nebo zachování znaménka v určité oblasti (povaha konvexnosti křivky).

Mechanická interpretace

Intuitivně lze zakřivení pochopit pomocí následující mechanické interpretace

Předpokládejme , že se hmotný bod pohybuje po ploché křivce. Pak je modul normálové složky zrychlení $A$

a=\kappa \cdot v^{2},

kde je zakřivení křivky, je rychlost bodu [3] . $\kappa$ $proti$

Všimněte si, že zakřivení křivky se používá jako fyzikální veličina , má rozměr inverzní k jednotce délky (v soustavě SI je to 1/m).

Zakřivení povrchu

Nechť je v trojrozměrném euklidovském prostoru pravidelný povrch . $\Phi$

Budiž bod $p$ $\phi ,$

T_{p}

je tečnou rovinou k bodu

\Phi

p,

n

je jednotka normální k bodu

\Phi

p,

a je procházející rovina a nějaký jednotkový vektor

\pi _{e}

n

E

T_p.

Křivka získaná jako průsečík roviny s povrchem se nazývá normální řez povrchu v bodě ve směru $\gamma_e,$ $\pi _{e}$ $\phi ,$ $\Phi$ $p$ $E.$

\kappa _{e}=k\cdot n

kde označuje skalární součin a je vektor zakřivení v bodě , se nazývá normální zakřivení povrchu ve směru . Až do znaménka se normální zakřivení rovná zakřivení křivky . $\cdot$ $k$ $\gamma _{e}$ $p$ $\Phi$ $E$ $\gamma _{e}$

V tečné rovině jsou dva kolmé směry , takže normální zakřivení v libovolném směru může být reprezentováno pomocí takzvaného Eulerova vzorce : $T_{p}$ $e_{1}$ $e_{2}$

\kappa _{e}=\kappa _{1}\cos ^{2}\alpha +\kappa _{2}\sin ^{2}\alpha

kde je úhel mezi tímto směrem a a jsou hodnoty a normální zakřivení ve směrech a nazývají se hlavní zakřivení a směry a jsou hlavní směry povrchu v bodě . Hlavní zakřivení jsou extrémní hodnoty normálních zakřivení. Struktura normálních zakřivení v daném bodě na povrchu je pohodlně znázorněna graficky pomocí Dupinovy indikatrix . $\alpha$ $e_{1}$ $\kappa_{1}$ $\kappa_{2}$ $e_{1}$ $e_{2}$ $e_{1}$ $e_{2}$ $p$

Hodnota

H=\kappa_{1}+\kappa_{2}

se nazývá průměrné zakřivení povrchu. [4] (Někdy se používá jiná definice: . [5] [6] ) $H={\tfrac {\kappa _{1}+\kappa _{2}}{2}}$

Hodnota

K=\kappa_{1}\kappa_{2}

nazývaná Gaussova křivost nebo celková křivost povrchu.

Gaussova křivost je objektem vnitřní geometrie ploch, zejména se nemění při izometrických ohybech.

Viz také

Literatura

Vilenkin, N. O zakřivení , Kvant. - 1992. - č. 4 . - S. 2-9, 15 . (Ruština)
Gromov M. Znak a geometrický význam křivosti. - Iževsk: Výzkumné centrum "Regular and Chaotic Dynamics", 2000. - 128 s. — ISBN 5-93972-020-X .
Pogorelov A. V. Diferenciální geometrie (6. vydání). Moskva: Nauka, 1974.
Rashevsky P. K. Kurz diferenciální geometrie (3. vydání). M.-L.: GITTL, 1950.
Tabachnikov S. L. O zakřivení // Kvant . - 1989. - č. 5 . - S. 15-21, 42 .

Poznámky

↑ Goldman, R. Vzorce křivosti pro implicitní křivky a plochy // Computer Aided Geometric Design. - 2005. - T. 22 , č. 7 . - S. 632-658 . - doi : 10.1016/j.cagd.2005.06.005 .
↑ Schneider V. E. et al. Krátký kurz vyšší matematiky. Proč. příspěvek na vysoké školy. M., "Vyšší. škola" c. 368 . Staženo 26. května 2020. Archivováno z originálu dne 15. ledna 2022. (neurčitý)
↑ Matematika, její obsah, metody a význam (ve třech dílech). - Akademie věd SSSR, 1956. - T. 2. - S. 111, 113. - 397 s.
↑ Mishchenko A. S., Fomenko A. T. Krátký kurz diferenciální geometrie a topologie. — M.: FIZMATLIT, 2004.
↑ Toponogov, V. A. Diferenciální geometrie křivek a ploch . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .
↑ Chernavsky A. V. Diferenciální geometrie, 2. ročník .

Slovníky a encyklopedie	Britannica (online)
V bibliografických katalozích	GND : 4128765-4 J9U : 987007538479005171 LCCN : sh85034911 NDL : 00567236