Zakřivení Riemannových variet

Zakřivení Riemannových variet číselně charakterizuje rozdíl mezi Riemannovou metrikou variety a euklidovskou v daném bodě.

V případě povrchu je křivost v bodě kompletně popsána Gaussovou křivostí .

V dimenzích 3 a výše nelze zakřivení plně charakterizovat jediným číslem v daném bodě, místo toho je definováno jako tenzor .

Způsoby vyjádření zakřivení

Tenzor křivosti

Zakřivení Riemannovy manifoldy lze popsat různými způsoby. Nejstandardnější je tenzor zakřivení, daný spojením Levi-Civita (nebo kovariantní diferenciace ) a Lie závorkou s následujícím vzorcem: $\nabla$ $[\cdot ,\cdot]$

R(u,\;v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,\; v]}w.

Tenzor křivosti je lineární transformace prostoru tečny na rozdělovač ve zvoleném bodě. $R(u,\;v)$

Jestliže a , to znamená, že jsou souřadnicové vektory, pak , a proto je vzorec zjednodušený: $u=\částečný /\částečný x_{i}$ $v=\částečné /\částečné x_{j}$ $[u,\;v]=0$

R(u,\;v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w,

to znamená, že tenzor zakřivení měří nekomutativnost kovariantních derivátů s ohledem na vektory.

Lineární transformace se také nazývá transformace křivosti . $w\mapsto R(u,\;v)w$

N.B. Existuje několik knih, kde je tenzor křivosti definován s opačným znaménkem.

Symetrie a identity

Tenzor křivosti má následující symetrie:

R(u,\;v)=-R(v,\;u);

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =-\langle R(u,\;v)z,\;w\rangle ;

R(u,\;v)w+R(v,\;w)u+R(w,\;u)v=0.

Poslední identita byla nalezena Ricci , ale je často označována jako první identita Bianchi , protože je podobná identitě Bianchi popsané níže .

Tyto tři identity tvoří úplný seznam symetrií tenzoru křivosti, to znamená, že pokud nějaký tenzor těmto identitám vyhovuje, pak lze v určitém bodě najít Riemannovu varietu s takovým tenzorem křivosti. Jednoduché výpočty ukazují, že takový tenzor má nezávislé složky. $n^{2}(n^{2}-1)/12$

Další užitečná identita vyplývá z těchto tří:

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =\langle R(w,\;z)u,\;v\rangle .

Identita Bianchi (často nazývaná druhá identita Bianchi ) obsahuje kovariantní deriváty:

\nabla _{u}R(v,\;w)+\nabla _{v}R(w,\;u)+\nabla _{w}R(u,\;v)=0.

Spolu se základními symetriemi poskytuje tato identita kompletní seznam tenzorových symetrií . Navíc, pokud pár tenzorů 4-valentní a 5-valentní splňuje všechny tyto identity, pak lze v určitém bodě najít Riemannovu varietu pomocí tenzoru křivosti a jeho kovariantní derivace . Zobecnění na vyšší deriváty dokázali Kowalski a Berger. [jeden] $\nabla R$ $A$ $B$ $R=A$ $\nabla R=B$

Zakřivení průřezu

Sekční zakřivení je dalším ekvivalentním popisem zakřivení Riemannových variet s více geometrickým popisem.

Zakřivení řezu je funkcí , která závisí na směru řezu v bodě (tj. dvourozměrná rovina v tečném prostoru v ). Je rovna Gaussovu zakřivení povrchu vytvořeného exponenciálním zobrazením, měřeno v bodě . $K(\sigma )$ $\sigma$ $p$ $p$ $p$

Jestliže jsou dva lineárně nezávislé vektory v , pak $v,\;u$ $\sigma$

K(\sigma )=K(u,\;v)/|u\wedge v|^{2},

kde

K(u,\;v)=\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle .

Následující vzorec ukazuje, že zakřivení průřezu zcela popisuje tenzor zakřivení:

6\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =

[K(u+z,\;v+w)-K(u+z,\;v)-K(u+z,\;w)-K(u,\;v+w)- K(z,\;v+w)+K(u,\;w)+K(v,\;z)]\,-

[K(u+w,\;v+z)-K(u+w,\;v)-K(u+w,\;z)-K(u,\;v+z)- K(w,\;v+z)+K(v,\;w)+K(u,\;z)].

Nebo v jednodušší formě pomocí parciálních derivací :

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle ={\frac {1}{6}}\cdot \left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\částečné t}}\left(K(u+sz,\;v+tw)-K(u+sw,\;v+tz)\vpravo)\vpravo|_{(s,\;t)= (0,\;0)}.

Tvar zakřivení

Formulář spojení definuje alternativní způsob popisu zakřivení. Tato reprezentace se používá hlavně pro obecné vektorové svazky a pro hlavní svazky, ale funguje dobře pro tečný svazek se spojením Levi-Civita .

Zakřivení v -dimenzionální Riemannově varietě je dáno antisymetrickou maticí 2 forem (nebo ekvivalentně 2-formou s hodnotami v , to znamená v Lie algebře z ortogonální grupy , která je strukturou grupy tečný svazek Riemannovy variety). $n$ $n\krát n$ ${\displaystyle \Omega _{}^{}=\Omega _{\ j}^{i))$ $\operatorname {so} (n)$ $\operatorname {O} (n)$

Nechť je místní ortonormální rámec. Forma spojení je určena antisymetrickou maticí 1-forem , následující identity $e_{i}$ ${\displaystyle \omega =\omega _{\ j}^{i))$

\omega _{\ j}^{k}(e_{i})=\langle \nabla _{e_{i}}e_{j},\;e_{k}\rangle .

Potom je tvar zakřivení definován jako ${\displaystyle \Omega =\Omega _{\ j}^{i))$

\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega .

Následující rovnice popisuje vztah mezi tvarem křivosti a tenzorem křivosti:

R(u,\;v)w=\Omega (u\wedge v)w.

Tento přístup automaticky zahrnuje všechny symetrie tenzoru zakřivení kromě první identity Bianchi , která se stává

\Omega \wedge \theta =0.

kde je -vektor 1-formy definovaný jako . ${\displaystyle \theta =\theta ^{i))$ $n$ $\theta ^{i}(v)=\langle e_{i},\;v\rangle$

Druhá Bianchi identita má formu

D\Omega =0.

$D$ označuje vnější kovariantní derivát.

Forma zakřivení je zobecněna na hlavní svazek s Lieovou strukturou takto: $E$ $G$

\Omega =d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ],

kde je tvar spojení na a je Lieova tečna algebry grupy $\omega$ $E$ $\mathfrak g$ $G$

Tvar zakřivení zmizí právě tehdy, když je spojení lokálně ploché.

Operátor křivosti

Někdy je vhodné uvažovat o zakřivení jako o operátoru na tečných bivektorech (prvcích ), které jsou jednoznačně definovány následující identitou: $Q$ $\Lambda ^{2}(T)$

\langle Q(u\wedge v),\;w\wedge z\rangle =\langle R(u,\;v)z,\;w\rangle .

To je možné díky symetriím tenzoru křivosti (jmenovitě antisymetrii prvního a posledního páru indexů a blokové symetrii těchto párů).

Ostatní zakřivení

Obecně platí, že následující tenzory a funkce plně nepopisují tenzor křivosti, ale hrají důležitou roli.

Skalární zakřivení

Skalární zakřivení je funkce na Riemannově varietě, obvykle označovaná jako . $\operatorname {Sc}$

Toto je úplná stopa tenzoru zakřivení. Pro ortonormální základ v tečném prostoru v máme $\{e_{i}\}$ $p$

\operatorname {Sc} =\sum _{i,\;j}\langle R(e_{i},\;e_{j})e_{j},\;e_{i}\rangle =\ součet _{i}\langle \operatorname {Ric} (e_{i}),\;e_{i}\rangle ,

kde označuje Ricciho tenzor . Výsledek nezávisí na volbě ortonormálního základu. $\operatorname {Ric}$

Počínaje dimenzí 3 skalární zakřivení zcela nepopisuje tenzor zakřivení.

Ricciho zakřivení

Ricciho zakřivení je lineární operátor na prostoru tečny v bodě, obvykle označovaný . Pro ortonormální bázi v tečném prostoru v bodě je definována jako $\operatorname {Ric}$ $\{e_{i}\}$ $p$

\operatorname {Ric} (u)=\sum _{i}R(u,\;e_{i})e_{i}.

Výsledek nezávisí na volbě ortonormálního základu. V rozměrech čtyři nebo více, Ricciho zakřivení nepopisuje úplně tenzor zakřivení.

Explicitní výrazy pro Ricciho tenzor ve smyslu spojení Levi-Civita jsou uvedeny v článku o Christoffelových symbolech .

Weylův tenzor

Weylův tenzor má stejné symetrie jako tenzor zakřivení, plus jeden navíc: stopa (stejná jako Ricciho zakřivení) je 0. $W$

V dimenzích 2 a 3 je Weylův tenzor nulový, ale pokud je rozměr > 3, pak se může lišit od nuly.

Tenzor zakřivení lze rozložit na části: jedna bude záviset na Ricciho zakřivení, druhá na Weylově tenzoru.
Konformní změna metriky nemění Weylův tenzor.
Pro varietu konstantního zakřivení je Weylův tenzor nulový.
- Navíc, právě tehdy, když je metrika lokálně konformní euklidovská. $W=0$

Ricciho rozklad

Společně Ricciho tenzor a Weylův tenzor zcela definují tenzor zakřivení.

Výpočet křivosti

Pro výpočet zakřivení hyperploch a podvariet viz druhý základní tvar ,
Pro výpočet zakřivení v souřadnicích viz kovariantní deriváty .
Pro výpočet zakřivení metodou pohyblivé reference viz Forma zakřivení .
Jacobiho rovnice může být užitečná, pokud je známé chování geodetiky .

Poznámky

↑ Kowalski, Oldřich; Belger, Martin Riemannian metriky s předepsaným tenzorem křivosti a všemi jeho kovariantními derivacemi v jednom bodě. Matematika. Nachr. 168 (1994), 209–225.

Odkazy

Kobayashi Sh ., Nomizu K. Základy diferenciální geometrie / přel. z angličtiny. L. V. Sabinina . - M .: Věda. Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury , 1981. - T. 1. - 344 s.