Ricciho rozklad

Ricciho rozklad je rozklad Riemannova tenzoru křivosti na části tenzoru , které jsou neredukovatelné s ohledem na ortogonální grupu . Tento rozklad hraje důležitou roli v Riemannově a pseudoRiemannově geometrii.

Komponenty Riemannova tenzoru

Rozpis vypadá takto:

R_{abcd}=\,S_{abcd}+E_{abcd}+C_{abcd}.

Jeho prvky jsou:

skalární část , ${\displaystyle S_{abcd))$
polostopová část , ${\displaystyle E_{abcd))$
zcela bez stopové části , která nese zvláštní jméno Weylův tenzor , . $C_{{abcd}}$

Každý prvek má stejnou symetrii jako tenzor křivosti, ale má také specifické algebraické vlastnosti.

Skalární část

{\displaystyle S_{abcd}={\frac {R}{(n-1)\,(n-2)))\,H_{abcd))

závisí pouze na skalárním zakřivení (kde je Ricciho tenzor ) a metrickém tenzoru , který je kombinován takovým způsobem, aby poskytl tenzor se symetrií tenzoru zakřivení: $R={R^{m}}_{m}$ $R_{ab}={R^{c}}_{acb}$ $g_{{ab}}$ ${\displaystyle H_{abcd))$

H_{abcd}=g_{ad}\,g_{cb}-g_{ac}\,g_{db}=2g_{a[d}\,g_{c]b}.

Polostopová část

E_{abcd}={\frac {1}{n-2}}\,\left(g_{ac}\,R_{bd}-g_{ad}\,R_{bc}+g_{bd }\,R_{ac}-g_{bc}\,R_{ad}\right)={\frac {2}{n-2}}\,\left(g_{a[c}\,R_{d ]b}-g_{b[c}\,R_{d]a}\right)

se získává podobně z bezstopové části Ricciho tenzoru

S_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{n}}\,g_{ab}\,R

a metrický tenzor . $g_{{ab}}$

Weilův tenzor je zcela nesledovatelný v tom smyslu, že jeho kontrakce nad jakýmkoli párem indexů dává nulu. Hermann Weyl ukázal, že tento tenzor měří odchylku pseudo-Riemannovské manifoldy od konformně plochého: v dimenzích 4 a výše, jeho otočení na nulu znamená, že manifold je lokálně konformně ekvivalentní plochému manifoldu.

Tento rozklad je čistě algebraický a neobsahuje žádné odvozeniny.

V případě Lorentzovy 4-rozměrné variety (např. prostoročas ) má Einsteinův tenzor stopu rovnou inverznímu skalárnímu zakřivení, takže části Einsteinova tenzoru a Ricciho tenzoru bez stopy jsou stejné. $G_{ab}=R_{ab}-1/2\,g_{ab}R$

S_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{4}}\,g_{ab}\,R=G_{ab}-{\frac {1}{4}}\, g_{ab}\,G.

Poznámka k terminologii: zápis je standardní, je široce používaný, ale není obecně přijímán, a tenzory nemají zavedené zápisy. ${\displaystyle R_{abcd},\,C_{abcd))$ ${\displaystyle S_{ab},\,E_{abcd))$ ${\displaystyle S_{abcd))$ ${\displaystyle H_{abcd))$

Jako neredukovatelná reprezentace

Ricciho expanze je rozkladem prostoru všech tenzorů s tenzorovou symetrií zakřivení na ireducibilní reprezentace ortogonální grupy [1] . Nechť V je n - rozměrný vektorový prostor se zavedenou metrikou (možná smíšeného podpisu). Pokud se jedná o tečný prostor v bodě manifoldu, pak tenzor křivosti R s kovariančními indexy je prvkem tenzorového součinu V ⊗ V ⊗ V ⊗ V tak, že je antisymetrický ve dvojici prvního a posledního prvku:

R(x,y,z,w)=-R(y,x,z,w)=-R(x,y,w,z)

a je symetrický vzhledem k jejich permutaci

R(x,y,z,w)=R(z,w,x,y),

pro všechna x , y , z , w ∈ V ∗ . Pak R patří do podprostoru kvadratických forem na bivektorech prostoru V . Kromě toho musí tenzor křivosti splňovat také Bianchiho identitu , což znamená, že patří do jádra antisymetrizačního lineárního mapování. $S^{2}\Lambda ^{2}V$ $b\colon S^{2}\Lambda ^{2}V\to \Lambda ^{4}V$

b\colon R(x,y,z,w)\mapsto {\tfrac {1}{3))\cdot [R(x,y,z,w)+R(y,z,x, w)+R(z,x,y,w)].

Jádro je prostorem algebraických tenzorů křivosti. Ricciho rozklad je rozklad tohoto prostoru na neredukovatelné složky. Konvoluční displej Ricci $\mathop {\rm {Ker)) b\subset S^{2}\Lambda ^{2}V$

c:S^{2}\Lambda ^{2}V\to S^{2}V

je definována rovností

c(R)(x,y)=\jméno operátora {tr} R(x,\cdot ,y,\cdot ).

Toto zobrazení nám umožňuje spojit každý algebraický tenzor křivosti se symetrickou 2-formou. Naopak pro jakékoli symetrické 2-formy je produkt Kulkarni-Nomizu $h$ $k$

h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}k(x,y,z,š)=h(x,z)k(y,š)+h( y,w)k(x,z)-h(x,w)k(y,z)-h(y,z)k(x,w)

definuje algebraický tenzor křivosti.

Pro existuje (unikátní) ortogonální rozklad na neredukovatelné podprostory: $n\geq 4$

R V = S V ⊕ E V ⊕ C V ,

kde

\mathbf {S} V=\mathbb {R} g\circ g;

\mathbf {E} V=g\circ S_{0}^{2}V,

kde S20
_V je prostor symetrických 2-forem s nulovou stopou ;

\mathbf {C} V=\ker c\cap \ker b.

S , E , a C složky Ricciho rozkladu daného Riemannova tenzoru R jsou ortogonální projekce R do invariantních podprostorů. Zejména,

R=S+E+C

|R|^{2}=|S|^{2}+|E|^{2}+|C|^{2}.

Ricciho expanze vyjadřuje prostor tenzorů s Riemannovou tenzorovou symetrií jako přímý součet skalárního submodulu, Ricciho submodulu a Weilova submodulu. Každý z těchto modulů je neredukovatelnou reprezentací ortogonální grupy , a proto je tento rozklad speciálním případem rozkladu modulu polojednoduché Lieovy grupy na neredukovatelné faktory.

Ve 4-rozměrném případě je Weilův modul dále rozložen na dvojici neredukovatelných faktorů ve speciální ortogonální skupině : autoduální a anti - samo- duální části W + a W − .

Fyzická interpretace

Ricciho expanze má fyzikální význam v rámci obecné teorie relativity a dalších metrických teorií gravitace, kde je někdy označována jako Géhéniau-Debeverova expanze . V této teorii Einsteinovy rovnice

G^{ab}=8\pi \,T^{ab},

kde je tenzor hybnosti energie , který obsahuje hustoty a toky energie a hybnosti veškeré negravitační hmoty, tvrdí se, že Ritchieho tenzor (nebo ekvivalentně Einsteinův tenzor) popisuje tu část gravitačního pole, která je přímo generované negravitační energií a hybností. Weylův tenzor je část gravitačního pole, která se šíří i oblastmi prostoru, které neobsahují hmotu nebo pole negravitačního charakteru – například ve formě gravitačních vln nebo slapových sil [2] . Oblasti časoprostoru, ve kterých mizí Weylův tenzor, neobsahují gravitační vlny a jsou konformně ploché, což má za následek například absenci gravitačního vychylování světla v takových oblastech. ${\displaystyle T^{ab))$

Poznámky

↑ Besse, 1987 , kapitola 1, §G.
↑ John Baez. Ricciho a Weylovy tenzory . Obecná teorie relativity . Datum přístupu: 4. června 2016. Archivováno z originálu 19. března 2016.

Odkazy

Besse, Arthur L. (1987), Einsteinovy manifoldy , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Výsledky matematiky a příbuzných oblastí (3)], sv. 10, Berlín, New York: Springer-Verlag , s. xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8 .

Hawking, SW; a Ellis, G.F.R. The Large Scale Structure of Space-Time (neurčité) . - Cambridge: Cambridge University Press, 1973. - ISBN 0-521-09906-4 . Viz část 2.6 pro rozklad. Tato kniha používá opačnou signaturu, ale stejnou Landau-Lifshitzovu mezerovou konvenci, jakou používá Wikipedie.

Weinberg, Steven. Gravitace a kosmologie: Principy a aplikace obecné teorie relativity (anglicky) . - New York: John Wiley & Sons, 1972. - ISBN 0-471-92567-5 . Viz část 6.7 pro diskuzi o rozkladu (ale všimněte si různých konvencí znamének).

Wald, Robert M. Obecná teorie relativity (neopr.) . - The University of Chicago Press , 1984. - ISBN 0-226-87033-2 . Viz část 3.2 pro diskuzi o rozkladu.

Sharpe, R. W. (1997), Diferenciální geometrie: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program , Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-94732-9 . Oddíl 6.1 pojednává o rozkladu. Verze rozkladu také vstupují do diskuse o konformních a projektivních geometriích v kapitolách 7 a 8.

Singer, I.M. & Thorpe, JA (1969), Zakřivení 4-rozměrných Einsteinových prostorů, Globální analýza (Papers in Honor of K. Kodaira) , Univ. Tokyo Press, s. 355–365 .