Statistická mechanika

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 21. srpna 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Statistická mechanika nebo statistická termodynamika je mechanika velkých souborů relativně jednoduchých systémů, jako jsou atomy v krystalu, molekuly v plynu, fotony v laserovém paprsku, hvězdy v galaxii, auta na dálnici. Statistická mechanika používá statistické metody k určení vlastností a chování makroskopických fyzikálních systémů, které jsou v termodynamické rovnováze , na základě jejich mikroskopické struktury a zákonů pohybu, které jsou považovány za dané [1] . Statistické metody zavedl v této souvislosti Maxwell v sérii tří prací (1860–1879) a Boltzmann v sérii čtyř prací (1870–1884), které položily základy kinetické teorie plynů . Klasickou statistickou mechaniku založil Gibbs (1902); a později byl v souladu s kvantovou mechanikou opraven a doplněn popis mikroskopických stavů na základě klasické mechaniky . Termodynamika , kinetická teorie a statistická mechanika jsou disciplíny, které jsou příbuzné předmětem studia, ale liší se použitými metodami; často jsou prezentovány společně pod obecným názvem statistická fyzika . Důslednou konstrukci nerovnovážné statistické mechaniky provedl N. N. Bogolyubov v roce 1946 [2] . Při popisu systémů v rámci statistické mechaniky se používá koncept souboru průměru. Základními rovnicemi statistické mechaniky jsou Liouvilleovy rovnice a Bogolyubovův řetězec rovnic .

Principy termodynamiky , které jsou výsledkem zobecnění a abstrakce některých empirických dat, vyjadřují přibližné vlastnosti a pravděpodobnostní chování makroskopických systémů sestávajících z velmi velkého počtu mikroskopických složek: molekul a atomů . Zákony klasické mechaniky umožňují v zásadě kdykoli zcela určit stav systému skládajícího se z několika složek, pokud jsou známy interakce (síly), a také stav systému (souřadnice a hybnosti komponenty) v předchozím okamžiku. V praxi jsou však počáteční podmínky neznámé a složitost výpočtů je ovlivněna integrací pohybových rovnic pro velmi velký počet komponent. Počet molekul v makroskopické hmotě plynu za standardních podmínek je zpravidla řádově roven Avogadrovu číslu , tedy asi 10 23 , což znemožňuje určit jeho mechanický (mikroskopický) stav. Na druhé straně zkušenosti ukazují, že termodynamické (makroskopické) vlastnosti stejné hmotnosti plynu jsou zcela určeny pouze dvěma parametry (stačí například znát volnou energii jako funkci objemu a teploty ) a jedním ty (v tomto případě teplota) nemají mechanický charakter. Spojení těchto dvou parametrů, zdánlivě protichůdných hledisek, je dosaženo statistickými metodami.

Principy klasické statistické mechaniky

Mikroskopické stavy

Ve statistické mechanice je předmětem studia (makroskopický) systém sestávající z (velkého) počtu (mikroskopických) podsystémů, které interagují (vzájemně i s vnějším světem) v souladu se známými zákony. Předpokládá se, že vnitřní a vnější síly jsou konzervativní , to znamená, že celková mechanická energie systému (součet kinetické energie a potenciální energie ) zůstává v čase konstantní. Tato hypotéza ilustruje představu, že nekonzervativní síly, které způsobují rozptýlení energie ve formě tepla (jako jsou třecí síly ), se objevují pouze v makroskopickém měřítku a jsou důsledkem interakce v mikroskopickém měřítku.

Pohybové rovnice je vhodné psát v kanonickém tvaru, který se používá v hamiltonovské mechanice . Stav systému se stupni mikroskopické volnosti v libovolném čase je charakterizován hodnotami nabytými zobecněnými souřadnicemi a zobecněnými konjugovanými momenty . Dynamiku systému popisují kanonické rovnice Hamiltona [3] [4] $\n$ $q=\left(q_{1},\ldots ,q_{n}\right)$ $p=\left(p_{1},\tečky ,p_{n}\vpravo).$

\left(1\right)\,

{\dot {q_{i}}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},\quad {\dot {p_{i}}}=-{\frac { \partial H}{\partial q_{i}}},\quad \left(i=1,\ldots ,n\right),

kde tečka nad symbolem zobecněných proměnných označuje časovou derivaci. Funkce , nazývaná Hamiltonián systému , je celková energie systému. V případě konzervativních sil nezávisí explicitně na čase a z pohybových rovnic vyplývá, že implicitní časová závislost se objevuje pouze prostřednictvím kanonických proměnných, takže celková energie skutečně zůstává konstantní: $H\left(p,q\right),$

\left(2\right)\,

H\left(p,q\right)=E.

V Gibbsově terminologii se mikroskopický stav systému nazývá fáze [5] ; to je reprezentováno geometricky bodem v prostoru s rozměrem , volal fázový prostor . Časový vývoj systému, reprezentovaný analyticky závislostí kanonických proměnných na čase, má jako geometrickou reprezentaci spojitou křivku ve fázovém prostoru nazývanou reprezentativní bodová trajektorie . Vzhledem k tomu, že stav systému v každém okamžiku je zcela určen, pokud je jeho stav znám v předchozím okamžiku, ukáže se, že trajektorie ve fázovém prostoru je zcela určena jedním z jeho bodů a jedna trajektorie prochází každým bodem. ve fázovém prostoru. $\left(p,q\right)$ $\ 2n$

Zákon zachování energie má také jednoduché geometrické znázornění: trajektorie reprezentativního bodu leží celá na povrchu konstantní energie, což je -rozměrná varieta v -rozměrném fázovém prostoru daná rovnicí (2). Pro systém v termodynamické rovnováze nelze reprezentativní bod ve fázovém prostoru odstranit do nekonečna, takže konstantní energetické plochy jsou omezené. Každý z nich je uzavřeným povrchem, protože rovnice (2) představuje hranici oblasti, kde se nacházejí všechny stavy s energií menší nebo rovnou objemu této oblasti. $\left(2n-1\right)$ $\ 2n$ $\ E.$

\left(3\right)\,

\Omega \left(E\right)=\int _{H\left(p,q\right)\leq E}dp\,dq,

kde pro objemový prvek ve fázovém prostoru byl použit zkrácený zápis - jedná se o monotónně rostoucí funkci ; a pro systémy s mnoha stupni volnosti je to velmi rychle rostoucí funkce. [6] $dp\,dq=dp_{1}\cdots dp_{n}\,dq_{1}\cdots dq_{n}.$ $\Omega \left(E\right)$ $\E$

Důležitý důsledek kanonických rovnic, nazvaný Liouvilleův teorém , může být formulován následovně: [7] Nechť je dána libovolná doména ve fázovém prostoru; všechny body představují mechanické stavy systému v počátečním okamžiku ; sledovat vývoj těchto stavů v souladu s kanonickými rovnicemi; polohy uvažovaných bodů v jiném časovém okamžiku ; pak se objem domény rovná objemu domény . $\mathcal{D}$ $\left(p,q\right)\in {\mathcal {D))$ $\t$ $\left(p^{\prime },q^{\prime }\right)\v {\mathcal {D}}^{\prime }$ ${\displaystyle \ t^{\prime ))$ ${\mathcal {D}}^{\prime }$ $\mathcal{D}$

Statistický soubor

Stav makroskopického systému v termodynamické rovnováze je charakterizován malým počtem parametrů, zatímco v mikroskopickém měřítku existuje obrovské množství různých mechanických stavů kompatibilních se stejným termodynamickým stavem. Gibbs navrhl, že termodynamické vlastnosti systému lze statisticky vypočítat z tohoto souboru mikroskopických stavů. [8] Všechny mechanické stavy kompatibilní s daným termodynamickým stavem tvoří statistický soubor . Jako specifický makroskopický stav je realizován pouze jeden z nich a další možné stavy, kterých lze zase dosáhnout, pokud se systém vrátí do rovnovážného termodynamického stavu z libovolného stavu.

Statistický soubor je ve fázovém prostoru reprezentován množinou bodů, jejichž rozložení je popsáno hustotou pravděpodobnosti , distribuční funkcí nebo statistickou distribuční funkcí [9] , , která určuje pravděpodobnost, že reprezentativní bod stavu systému je umístěné v elementárním svazku umístěném v kanonických souřadnicích [10] : ${\mathcal {P}}\left(p,q\right)$ $dp\,dq$ $\left(p,q\right)$

\left(4\right)\,

{\mathcal {P}}\left(p,q\right)dp\,dq.

Hustota pravděpodobnosti je funkce ve fázovém prostoru, která nemůže nabývat záporných hodnot a v nekonečnu má tendenci k nule. Jeho integrál v celém fázovém prostoru splňuje podmínku normalizace [9]

\left(5\right)\,

\int {\mathcal {P}}\left(p,q\right)dp\,dq=1,

který vyplývá z pravidla sčítání pravděpodobností a vyjadřuje důvěru, že reprezentativní bod je ve fázovém prostoru.

Z Liouvilleovy věty vyplývá, že hustota pravděpodobnosti je konstantní podél trajektorie ve fázovém prostoru; nazývá se první integrál kanonických rovnic [11] . Hamiltonovský systém připouští první integrály, které nejsou explicitně závislé na čase, jedním z nich je energie, tedy hamiltonián (2). Hustota pravděpodobnosti tedy bude hamiltonovská funkce a ostatní časově nezávislá prvočísla. Aby bylo možné v mikroskopickém měřítku znázornit stavy termodynamické rovnováhy, kdy vlastnosti systému nezávisí na čase a závisí (při konstantních vnějších parametrech) pouze na energii, ve statistické mechanice se postuluje, že distribuční funkce závisí na kanonické proměnné pouze prostřednictvím Hamiltonovy funkce [12] : $\ 2n-1$ $H\left(p,q\right)$ $\ 2n-2$

\left(6\right)\,

{\mathcal {P}}\left(p,q\right)={\mathfrak {P}}\left(H\left(p,q\right)\right).

Boltzmann ukázal, že tento postulát je ověřitelný v případě systémů, které mají vlastnost ergodicity : jakákoli trajektorie ve fázovém prostoru je tak blízko jako jakýkoli bod na povrchu konstantní energie, na kterém leží celá trajektorie.

Průměry a fluktuace

Statistická mechanika je ve srovnání s termodynamikou jiný pohled na hodnoty makroskopických mechanických veličin fyzikálního systému v rovnováze. V termodynamice je hodnota jakékoli mechanické veličiny jednoznačně určena, pokud jsou známy hodnoty malého počtu časově nezávislých stavových parametrů: termodynamická rovnováha je statická . Ve statistické mechanice je stav systému popsán statistickým rozdělením a mechanické parametry jsou funkcemi kanonických proměnných. Mnohonásobným opakováním systému ve stejném termodynamickém stavu po libovolných transformacích budou mikroskopické stavy různé a příslušný parametr bude mít obvykle různé hodnoty. V mikroskopickém měřítku se termodynamická rovnováha projevuje jako stacionární posunutí statistické distribuce ve fázovém prostoru podle Liouvilleova teorému: není statická, ale statistická . $\f\left(p,q\right)\,$

Ve statistice se fyzikální veličina , jejíž číselná hodnota není pro určité podmínky definována definicí, nazývá náhodná veličina . Náhodná veličina je určena statistickým souborem popsaným distribuční funkcí a její průměrná hodnota je dána integrálem [13] [14] $\ f,$ ${\mathcal {P}}\left(p,q\right),\,$

\left(7\right)\,

\left\langle f\right\rangle =\int f\left(p,q\right)\,{\mathcal {P))\left(p,q\right)dp\,dq\;,

což závisí na struktuře systému a vnějších podmínkách. Míra odchylky hodnot náhodné veličiny od střední hodnoty je definována jako druhá odmocnina střední hodnoty druhé mocniny odchylky od střední hodnoty, nazývaná směrodatná odchylka nebo střední kvadratická fluktuace [15] :

\left(8\right)\,

\Delta f={\sqrt {\left\langle (f-\left\langle f\right\rangle )^{2}\right\rangle }}\,.

Přesná experimentální měření ukázala, že makroskopické mechanické veličiny v termodynamice lze identifikovat s průměrnými hodnotami vypočítanými statistickou mechanikou. Prokázaly také přítomnost fluktuací těchto veličin v řádu rovném standardním odchylkám předpovídaným statistickou mechanikou.

Reprezentativní soubory

Popis termodynamického chování systému založeného na statistických souborech mikroskopických mechanických stavů je postulátem statistické mechaniky. [16] Je doplněna apriorní volbou určitého rozdělení, které je „reprezentativní“ v tom smyslu, že odpovídá míře neúplné znalosti stavu systému, z mechanického hlediska. [17]

Microcanonical Ensemble

V idealizovaném případě systému konstantního objemu, izolovaného od vnějšího světa, je energie systému konstantní. Distribuční funkce se bude lišit od nuly pouze na ploše konstantní energie (2), kde musí být singulární, aby byla splněna podmínka normalizace (5). Matematické potíže spojené se speciální povahou tohoto rozdělení, Gibbsem nazvaného mikrokanonické [18] , lze obejít tím, že jej budeme považovat za limit pro realističtější případ, kdy jsou povoleny malé výkyvy energie. Hustota pravděpodobnosti se volí tak, aby byla konstantní v objemu mezi energetickými plochami a kde hodnota je rovna hodnotě kolísání energie a v ostatních případech - nula: $\E\,$ $\ E+\Delta E\,$ $\ \Delta E\,$

\left(9\right)\,

{\mathcal {P}}\left(p,q\right)={\begin{cases}\ 0&{\mbox{at}}\ H\left(p,q\right)<E,\ \\ C&{\mbox{at}}\ E\leq H\left(p,q\right)\leq E+\Delta E,\\\ 0&{\mbox{at}}\ E+\Delta E<H\ vlevo(p,q\vpravo).\end{cases}}

Konstanta C je určena z normalizační podmínky (5); když má hodnotu rovnou $\Delta E\ll E$

\left(10\right)\,

\ C={\frac {1}{\Omega ^{\prime }\left(E\right)\Delta E))\,

(apostrof označuje derivaci), která se stane singulární na hranici v Při výpočtech používajících mikrokanonické rozdělení se singularitám zabrání přechodem na limitu pouze tehdy, když je získán konečný výsledek. $\Delta E\to 0\,.$

Canonical Ensemble

U systému, který si volně vyměňuje energii se svým okolím, vede analýza toho, jak k tomuto procesu dochází v mikroskopickém měřítku, k závěru, že hustota pravděpodobnosti závisí exponenciálně na energii systému, tedy Hamiltoniánu. [19] Tato distribuce se nazývá Gibbsova distribuce [20]

\left(11\right)\,

{\mathcal {P}}\left(p,q\right)={\frac {1}{Z}}\,e^{-\beta H\left(p,q\right)}\ ,,\quad \left(\beta >0\right)\,.

Aby byla splněna podmínka normalizace (5), musí být parametr kladný a hodnota se nazývá rozdělovací funkce , má hodnotu $\ \beta \,$ $\ Z,$

\left(12\right)\,

Z=\int e^{-\beta H\left(p,q\right)}\,dp\,dq\,.

Velký kanonický soubor

Pokud se systém skládá z několika složek, mezi kterými dochází k přenosu energie i hmoty, je vhodné jej popsat velkým kanonickým souborem, [21] což je vážený soubor kanonických souborů, jeden pro každou složku. [22] jsou počet složek a počet částic složek. [23] Analýza toho, jak dochází k výměně mikroskopické hmoty, podobně jako k výměně energie, ukazuje, že hustota pravděpodobnosti závisí exponenciálně na každé z těchto veličin zvlášť. Velká kanonická distribuce [24] má tvar $\c\,$ $\ N_{1},...,N_{c}\,$

\left(13\right)\,

{\mathcal {P}}\left(p,q\right)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\,e^{-\beta \left(H\left(p ,q\right)-\sum _{i=1}^{c}\mu _{i}\,N_{i}\right)},\quad \left(\beta >0\right)\,,

kde

\left(14\right)\,

\ {\mathcal {Z}}=\int e^{-\beta \left(H\left(p,q\right)-\sum _{i=1}^{c}\mu _{ i}\,N_{i}\right)}\,dp\,dq

je funkce rozdělení pro velký kanonický soubor . Hodnoty parametrů a musí být získány z termodynamické interpretace kanonických a velkých kanonických distribucí. $\beta \,$ $\mu _{1},...,\mu _{c}\,$

Statistická termodynamika

Mikroskopická dynamika systému je určována kromě vnitřních sil i vnějšími makroskopickými silami, které dosud nebyly výslovně specifikovány. Nechť je počet mechanických stupňů volnosti a odpovídající polohové proměnné. Hamiltonián a objem ve fázovém prostoru, definované na povrchu konstantní energie, závisí na těchto proměnných: $\m\,$ $\ x=\left(x_{1},...,x_{m}\right)\,$

\left(15\right)\,

H=H\left(p,q\mid x\right)\,;\quad \Omega =\Omega \left(E\mid x\right)\,.

První zákon termodynamiky definuje stavovou funkci nazývanou vnitřní energie ; statistická mechanika interpretuje termodynamickou rovnováhu jako statistickou a vnitřní energii jako průměrnou hodnotu mikroskopické energie: $\U\,$

\left(16\right)\,

U=\left\langle H\right\rangle \,.

Nechť jsou silové proměnné spojené s makroskopickými polohovými proměnnými; ve statistické mechanice se počítají zprůměrováním náhodných hodnot: $X=\left(X_{1},...,X_{m}\right)\,$

\left(17\right)\,

X_{j}=\left\langle {\frac {\partial H}{\partial x_{j))}\right\rangle ;\quad \left(j=1,...,m\right )\,.

Mechanická práce produkovaná těmito silami při elementárních posunech má tvar $dx=\left(dx_{1},...,dx_{m}\right)$

\left(18\right)\,

\delta L=\sum _{j=1}^{m}X_{j}\,dx_{j}\,.

Také podle prvního zákona termodynamiky je v elementárním termodynamickém procesu celková změna vnitřní energie součtem vykonané mechanické práce a změny množství tepla v systému: $\delta Q\,$

\left(19\right)\,

dU=\delta L+\delta Q\,.

Druhý zákon termodynamiky definuje stavovou funkci zvanou entropie ; v reverzibilním elementárním termodynamickém procesu je celkový diferenciál entropie vztažen k množství tepla vyměněného systémem prostřednictvím vztahu $\S\,$

\left(20\right)\,

\ dS={\frac {\delta Q}{T))\,.

Zde je termodynamická teplota určená druhým zákonem termodynamiky. Tento multiplikátor specifikuje absolutní teplotní stupnici, jedinečnou mezi mnoha možnými empirickými teplotními stupnicemi definovanými tepelným kontaktem. $\ T\,$

Ve statistické mechanice jsou tedy termodynamické veličiny mechanické povahy považovány za náhodné veličiny; jejich hodnoty, měřené makroskopicky, jsou spojeny se středními hodnotami odpovídajících mikroskopických veličin, které připouštějí fluktuace. Termodynamické veličiny teploty a entropie musí být určeny v rámci každého reprezentativního rozdělení pomocí parametrů statistického souboru spojeného se systémem. Po určení termodynamického potenciálu odpovídajícího situaci popsané statistickým souborem jsou standardními termodynamickými metodami získány stavové rovnice systému.

Izolovaný systém: entropie

Analýza způsobu, jak ustavit termodynamickou rovnováhu mezi dvěma systémy s mikrokanonickými soubory s energiemi a , když jsou uvedeny do tepelného kontaktu, [25] $\ E_{1}\,$ $\ E_{2}\,$

ukazuje, že součin má velmi ostré maximum pro určitou hodnotu argumentu (jeden nezávislý argument, od ). Maximum je dosaženo, když pro dva systémy výraz $\Omega ^{\prime }\left(E_{1}\right)\;\Omega ^{\prime }\left(E_{2}\right)\,$ $\ E_{1}+E_{2}={\rm {konstanta))$

\left(21\right)\,

{\frac {d\,\ln \Omega ^{\prime }\left(E\right)}{\ dE))

má stejný význam; označuje nejpravděpodobnější mikroskopický stav odpovídající stavu tepelné rovnováhy a celková hodnota je funkcí teploty, při které byla rovnováha ustavena. Vnitřní energie a oscilace kolem tohoto stavu se vyskytují pouze v důsledku přenosu tepla: Shromážděním výsledků lze psát $\phi \left(T\right)$ $\ U=E\,$ $\ dU=\delta Q\,.$

\left(22\right)\,

\ d\,\ln \Omega ^{\prime }\left(U\right)=\phi \left(T\right)\delta Q\,.

Vynásobením množství tepla funkcí jsme získali přesný celkový diferenciál Podle druhého termodynamického zákona, funkce - entropie , až do konstantního faktoru je rovna převrácené hodnotě absolutní teploty: $\delta Q\,$ $\phi \left(T\right),$ $\dS.$ $\ S$ $\phi \left(T\right)\,$

\left(23\right)\,

\ d\,\ln \Omega ^{\prime }\left(U\right)=dS\,.

Po integraci dostaneme

\left(24\right)\,

\ S=k\,\ln \Omega ^{\prime }\left(U\right)\,;

kde konstanta dostala své vlastní jméno, Boltzmannova konstanta . Tento základní vzorec statistické mechaniky, stanovený Boltzmannem, vyjadřuje vztah mezi entropií a charakteristikami statistického souboru reprezentovaného mikrokanonickým rozdělením. $\k$

Výměna energie: volná energie

Ze vztahů (16) - (19) a (12) vyplývá, že - množství tepla vyměněného kanonickým souborem v reverzibilním elementárním procesu vyhovuje rovnosti [26] $\ \delta Q\,$

\left(25\right)\,

\ \beta \,\delta Q=d\left(ln\,Z+\beta U\right)\,.

Předchozí argument ohledně existence integrálního faktoru pro vede k závěru, že $\ \delta Q\,$

\left(26\right)\,

\ \beta ={\frac {1}{kT}}\,,\quad dS={\frac {\delta Q}{T}}=d\left(k\,ln\,Z+{\ frac {U}{T}}\right)\,.

Integrací získáme entropii a poté volnou energii (také nazývanou Helmholtzova volná energie ) $\S\,$

\left(27\right)\,

\ F=-kT\,lnZ\,.

Entropie jako funkce hustoty pravděpodobnosti

Ze vztahů (11), (12) a (27), přičemž logaritmus a následně průměrnou hodnotu získáme, resp . $\ S=-k\left\langle ln\,{\mathcal {P}}\right\rangle$

\left(28\right)\,

\ S\left[{\mathcal {P}}\right]=-k\int {\mathcal {P}}\,ln{\mathcal {P}}\,dp\,dq\,.

Ačkoli byl tento výraz odvozen z kanonické distribuce, nezávisí na volbě žádného konkrétního statistického souboru. Vzhledem k obecné povaze tohoto vztahu, který vyjadřuje entropii jako funkci hustoty pravděpodobnosti, je přijímán jako definice entropie pro jakékoli rozdělení, a to i v případě nestacionárních rozdělení. [27]

Věta o ekvipartici energie přes stupně volnosti

V kanonických souborech platí následující vztah pro kteroukoli z kanonických proměnných hybnosti nebo souřadnic , které jsou explicitně zahrnuty ve výrazu pro Hamiltona, [28] $\p_{i}$ ${\displaystyle \q_{i))$

\left(29\right)\,

\left\langle p_{i}{\frac {\partial H}{\partial p_{i))}\right\rangle =\left\langle q_{i}{\frac {\partial H}{ \partial q_{i}}}\right\rangle =kT\,.

Užitečnost této věty spočívá v tom, že v obecném případě se proměnná podílí na kinetické energii, takže pro Hamiltonián je člen zprůměrován podle vzorce $\p_{i}\,$ ${\frac {p_{i}^{2}}{2m}}\,$

\left(30\right)\,

\left\langle {\frac {p_{i}^{2}}{2m}}\right\rangle ={\frac {1}{2}}\left\langle p_{i}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\right\rangle ={\frac {kT}{2}}\,.

V případě systému s elastickými oscilacemi závislými na souřadnicích je potenciální energie uvedena ve tvaru a průměrování je dáno vzorcem $\q_{i}\,,$ ${\displaystyle \ c\,q_{i}^{2))$

\left(31\right)\,

\left\langle c\,q_{i}^{2}\right\rangle ={\frac {1}{2}}\left\langle q_{i}{\frac {\partial H}{ \partial q_{i))}\right\rangle ={\frac {kT}{2}}\,.

Každý stupeň volnosti přispívá k makroskopické energii v průměru stejným množstvím kT pro každou kanonickou proměnnou (hybnost nebo souřadnice) explicitně přítomnou v hamiltoniánu, odtud název equipartition teorém . ${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}$

Výměna energie a hmoty: termodynamický potenciál velkého kanonického souboru

Pomocí integrálního faktoru ze vztahů (16) - (19) a (14) vyplývá

\left(32\right)\,

\ \beta ={\frac {1}{kT}}\,,\quad dS={\frac {\delta Q}{T}}=d\left(k\,ln\,{\mathcal {Z}}+{\frac {U-\součet _{i=1}^{c}\mu _{i}N_{i}}{T}}\right)\,,

a parametry velkého kanonického souboru jsou identifikovány s termodynamickými chemickými potenciály. [29] Dostáváme integraci $\ \left(\mu _{1},...,\mu _{c}\right)$

\left(33\right)\,

\ TS=kT\,ln\,{\mathcal {Z))+U-\sum _{i=1}^{c}\mu _{i}N_{i}\,.

Představení velkého kanonického potenciálu

\left(34\right)\,

{\mathcal {F}}=U-TS-\součet _{i=1}^{c}\mu _{i}N_{i}=FG=\součet _{j=1}^{ m}X_{j}x_{j}\,,

nám umožňuje zapsat výsledek ve formě podobné (27):

\left(35\right)\,

{\mathcal {F}}=-kT\,ln{\mathcal {Z}}\,.

Statistická termodynamika

	Mikrokanonická distribuce	Kanonická distribuce	Velká kanonická distribuce
Hustota pravděpodobnosti	${\mathcal {P}}\left(p,q\right)={\begin{cases}\ 0&H\left(p,q\right)<U\\\ C&U\leq H\left(p ,q\right)\leq U+\Delta U\\\ 0&U+\Delta U<H\left(p,q\right)\end{cases}}$ $\ C={\frac {1}{\Omega ^{\prime }\left(U\right)\Delta U))\,$	${\mathcal {P}}\left(p,q\right)={\frac {1}{Z}}\,e^{-H\left(p,q\right)/kT}$ $Z=\int e^{-H\left(p,q\right)/kT}\,dp\,dq$	${\mathcal {P}}\left(p,q\right)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\,e^{-\left(H\left(p,q \right)-\sum _{i=1}^{c}\mu _{i}\,N_{i}\right)/kT}$ $\ {\mathcal {Z}}=\int e^{-\left(H\left(p,q\right)-\sum _{i=1}^{c}\mu _{i} \,N_{i}\right)/kT}\,dp\,dq$
Termodynamický potenciál	$\ S=k\,ln\Omega ^{\prime }\left(U\right)$	$\ F=-kT\,lnZ$	${\mathcal {F}}=-kT\,ln{\mathcal {Z}}$
Stavové rovnice	$\ dS={\frac {dU}{T}}-{\frac {\sum _{j=1}^{m}X_{j}\,dx_{j}}{T}}$ $\left({\frac {\partial S}{\partial U}}\right)_{x}={\frac {1}{T}}\,,\;\left({\frac { \partial S}{\partial x_{j}}}\right)_{U}=-{\frac {X_{j}}{T}}$	${\displaystyle \ dF=-S\,dT+\sum _{j=1}^{m}X_{j}\,dx_{j))$ $\left({\frac {\partial F}{\partial T))\right)_{x}=-S\,,\;\left({\frac {\partial F}{\partial x_ {j}}}\right)_{T}=X_{j}$	$\ d{\mathcal {F}}=-S\,dT+\sum _{j=1}^{m}X_{j}\,dx_{j}-\sum _{i=1}^ {c}N_{i}\,d\mu _{i}$ ${\displaystyle \left({\frac {\partial {\mathcal {F))}{\partial T))\right)_{x,\mu }=-S,\;\left({\frac {\ částečný {\mathcal {F}}}{\částečný x_{j}}}\right)_{\mu ,T}=X_{j},\;\left({\frac {\partial {\mathcal {F ))}{\částečné \mu _{i))}\vpravo)_{T,x}=-N_{i))$

Limity klasické statistické mechaniky

Z věty o ekvipartici vyplývá, že každý stupeň volnosti soustavy přispívá k tepelné kapacitě při konstantním objemu (na mol ) rovném R a nezávisí na teplotě (R je univerzální plynová konstanta ). Pro monatomický plyn, který odpovídá třem (translačním) stupňům volnosti, se získá C V = R. V případě dvouatomových plynů se vezme v úvahu rotace (další dva stupně volnosti) jednotlivých atomů kolem středu o hmotnosti, CV = R ; a sečtením příspěvku vibrací podél společné osy, C V = R. Pro pevné těleso sestávající z atomů, které vibrují s malými amplitudami kolem stabilních rovnovážných poloh (míst krystalové mřížky), C V = 3R. Tyto hodnoty jsou potvrzeny experimentálně při běžné teplotě pro jednoatomové plyny a pevné látky ( Dulong-Petitův zákon ), ale ne pro vibrace dvouatomových molekul. Při nízkých teplotách je ve všech případech pozorována teplotní závislost: tepelné kapacity látek mají při absolutní teplotě tendenci k nule. [30] Výsledky klasické statistické mechaniky jsou dobře ověřeny při dostatečně vysokých teplotách; ale jak teplota klesá, stupně volnosti jeden po druhém "zamrzají". ${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}$ ${\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}$ ${\begin{matrix}{\frac {5}{2}}\end{matrix}}$ ${\begin{matrix}{\frac {7}{2}}\end{matrix}}$

V souladu s ekvipartičním teorémem je průměrná energie lineárního harmonického oscilátoru s frekvencí , v tepelné rovnováze s termostatem při teplotě T kT a nezávisí na frekvenci. [31] Pro spektrální hustotu energie tepelného záření při teplotě T: $\scriptstyle \nu$

\left(36\right)\,

\rho (\nu ,T)\propto \nu ^{2}\,kT

( Rayleigh-Jeansův zákon ). Tento výsledek potvrzují experimentální data pouze při nízkých frekvencích; nárůst s druhou mocninou frekvence zeslabuje na střední frekvence, kde funkce dosahuje maxima, a proto směřuje asymptoticky k nule. Extrapolovaný na vysoké frekvence by vedl Rayleigh-Jeansův zákon k ultrafialové katastrofě : frekvenčně integrovaná spektrální energetická hustota tepelného záření by se rozcházela. [32] $\rho (\nu ,T)$ $\scriptstyle \nu \to \infty \,$

Tzizeika ukázal, že klasická statistická mechanika, založená na spojitém rozdělení energie, je neslučitelná s třetím principem termodynamiky . [33]

Kvantová statistická mechanika

Kvantová statistická mechanika je založena na stejném postulátu – termodynamické vlastnosti systému lze odvodit ze statistického souboru reprezentujícího různé mikroskopické stavy, ale popis těchto stavů a složení tohoto souboru se liší od klasické mechaniky. V kvantové mechanice nemohou mít souřadnicová a konjugovaná hybnost současně dobře definované hodnoty; jsou určeny pouze statisticky a směrodatné odchylky jsou popsány principem neurčitosti. $q\,$ $p\,$

\left(37\right)\,

\Delta q\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2))\,,

kde je redukovaná Planckova konstanta . Klasický pojem trajektorie (v konfiguračním prostoru nebo ve fázovém prostoru) ztrácí smysl. Fázový prostor již není definovatelný: stává se shlukem nepřesně ohraničených buněk s fázovým objemem každé , kde je počet stupňů volnosti. [34] Za předpokladu také postulátu, že pravděpodobnost určitého mikroskopického stavu závisí pouze na energii tohoto stavu (bez ergodické argumentace), musí se popis dobře definovaných energetických stavů (stacionárních stavů) řídit kvantovou mechanikou. $\hbar \,$ $\hbar ^{n}$ $n\,$

Stacionární stavy v kvantové mechanice

V kvantové mechanice jsou pozorovatelné fyzikální veličiny spojeny s operátory. Dynamiku vyjadřuje hamiltonovský operátor , který v klasické mechanice nahrazuje hamiltonovskou funkci . Stavy systému jsou statisticky určeny vlnovou funkcí , která splňuje Schrödingerovu rovnici . ${\mathcal {H}}\,$

Energetické hladiny

Když Hamiltonián (Hamiltonův operátor) nezávisí na čase, pak se tento operátor spojený s pozorovanou energetickou hodnotou a stavy určí řešením časově nezávislé (stacionární) Schrödingerovy rovnice. Hodnoty , pro které má tato rovnice řešení jsou fyzikálně možná energetické hodnoty se nazývají energetické hladiny . Je vhodné nazvat takový soubor úrovní energetické spektrum a indexovat soubor hodnot ve vzestupné sekvenci: index se nazývá kvantové číslo . Odpovídající energie popisují odpovídající stacionární stavy. Kromě toho může energetické hladině odpovídat několik různých stavů , popsaných nezávislými funkcemi , říkají, že hladina je r-krát degenerovaná . V případě degenerace musí být kromě hlavního kvantového čísla (které udává hodnotu energie) specifikována sekundární kvantová čísla (která udávají hodnoty dalších společných pozorovatelných veličin , tj. mohou být měřeny současně), aby bylo možné plně popsat stav. Dále se předpokládá, že se tak stalo a jedinečný index je ve skutečnosti kompletní sadou kvantových čísel: která kompletně charakterizují stacionární stav. ${\mathcal {H}}u=Eu\,.$ $E\,$ $u\,$ $E_{0},E_{1},...,E_{j},...\,;$ ${\displaystyle \ E_{j))$ $\ u_{j_{1}},...,u_{j_{r}}\,;$ $j=\left\{j_{1},...,j_{r}\right\}\,$

Roztočit

Elementární částice (jako je elektron a proton ) mají svůj vlastní moment hybnosti (nezávislý na orbitálním pohybu) nazývaný spin . Jeho velikost je vyjádřena spinovým kvantovým číslem, které může nabývat celočíselných nebo polocelých nezáporných hodnot: . Pro systém se spiny s může mít projekce spinu do daného směru hodnoty 2s + 1, v ekvidistantních krocích po 1, mezi -s a +s. Pro elektron byla spinová hypotéza formulována Uhlenbeckem a Goudsmitem , aby vysvětlila výsledky Stern-Gerlachova experimentu a byla teoreticky vysvětlena Paulim . Agregáty částic (atomová jádra , atomy , molekuly ) lze považovat za elementární částice, pokud jejich vnitřní struktura zůstává nezměněna při interakci s jinými systémy; jejich rotace je výsledkem kinetických momentů součástí. [35] $\scriptstyle s\,=\,0,\,{\frac {1}{2)),\,1,\,{\frac {3}{2}}\,,\,... \,$ $\scriptstyle {\frac {1}{2))$

Kanonické rozdělení v kvantové statistické mechanice

Při přechodu od spojité distribuce energie k energii distribuované diskrétně je pravděpodobnost ve fázovém prostoru nahrazena pravděpodobností pro každý energetický stav charakterizovaný kvantovým číslem Ekvivalent vztahů (11) a (12) v kvantové statistické mechanice, s přihlédnutím k (26): $H(p,q)\,$ $\left\{E_{0},E_{1},...,E_{i},...\right\},$ ${\mathcal {P}}\left(p,q\right)dp\,dq\,$ $P_{i}\,$ $E_{i}\,,$ $i\,.$

\left(38\right)\,

P_{i}={\frac {1}{Z}}\;e^{-E_{i}/kT}\,,

\left(39\right)\,

Z=\sum _{j}e^{-E_{j}/kT}\,.

Když je známa rozdělovací funkce , jsou makroskopické vlastnosti systému odvozeny z volné energie (27) standardními metodami. Určení energetických hladin pro systém s velmi velkým počtem stupňů volnosti je obtížný úkol i s moderními výpočetními prostředky. Proto je v nejobecnějším případě obtížné nebo nemožné sestavit statistickou termodynamiku založenou na vztazích (38) a (39). $Z\,,$

Systémy identických částic

Problém je značně zjednodušen, pokud uvažovaný makroskopický systém sestává z velkého počtu identických subsystémů, jejichž vnitřní struktura je prakticky nezávislá na vzájemném působení mezi nimi; v tomto případě mluvíme o soustavě identických částic . Takovými systémy jsou plyny a elektrony v kovech .

Nechť se systém skládá z několika stejných částic a je energetickými hladinami izolované částice za daných vnějších podmínek. Aby se dosáhlo termodynamické rovnováhy, musí částice složky interagovat (prostřednictvím „kolizního“ mechanismu v kinetické teorii), ale předpokládá se, že tyto interakce mají malý vliv na energetické hladiny. V tomto smyslu jsou částice nezávislé a energetické hladiny systému jsou výsledkem součtu energetických hladin jeho základních částic. Pro sestavení statistického souboru je nutné vzít v úvahu skutečnost, že v kvantové mechanice jsou identické částice statisticky rozloženy po jednočásticových stavech a jejich popis jako "částice s číslem" ve stavu s energií je nesmyslný. Počet částic v systému v daném jednotlivém stavu se nazývá obsazení tohoto stavu; proto paralelně s řetězcem energetických hladin existuje řada obsazení. Součet energií jednotlivých částic je energií systému: $N\,$ $\left\{\epsilon _{0},\epsilon _{1},...,\epsilon _{i},...\right\}\,$ $j\,$ $\epsilon _{j}\,$ $\left\{n_{0},n_{1},...,n_{i},...\right\}.$

\left(40\right)\,

E=\sum _{j}\,n_{j}\,\epsilon _{j}\,.

Interakce mezi částicemi, které tvoří systém beze změny energetických hladin, způsobují přerozdělení částic na stávajících úrovních. Statistickým souborem pro tuto situaci je velká kanonická distribuce, ve které všechny složky interagují se stejným chemickým potenciálem, protože částice jsou identické:

\left(41\right)\,

P=const\cdot e^{-\left(\sum _{j}n_{j}\epsilon _{j}\,-\součet _{j}\mu \,n_{j}\right )/kT}=const\cdot \prod _{j}\left(e^{-\left(\epsilon _{j}-\mu \right)/kT}\right)^{n_{j}}\ ,.

Tento vzorec ukazuje pravděpodobnost, že tyto částice jsou distribuovány následovně: částice lze nalézt ve stavu , částice lze nalézt ve stavu atd. Pravděpodobnost, že částice mohou být nalezeny ve stavu s energií, je nezávislá na zaplnění ostatních státy $N\,$ $\epsilon _{0}\,$ $n_{0}\,$ $\epsilon _{1}\,$ $n_{1}\,$ $\epsilon _{i}\,$ $n_{i}\,$

\left(42\right)\,

P_{i}\left(\epsilon _{i},n_{i}\right)=const\cdot \left(e^{-\left(\epsilon _{i}-\mu \right) /kT}\right)^{n_{i}}\,;

\left(43\right)\,

\sum _{n_{j}}\,P_{j}\left(\epsilon _{i},n_{j}\right)=1\,.

Průměrná hodnota obsazovacího čísla pro hladinu , která udává rozložení částic v systému na energetických hladinách jedné částice, je $\epsilon _{i}$

\left(44\right)\,

\left\langle n_{i}\right\rangle =\součet _{n_{j}}\,n_{j}\,P_{j}\left(\epsilon _{i},n_{j }\že jo)\,.

Pokud je pro všechny úrovně počet výplní 1 , pak se vztah (41) redukuje na kanonické rozdělení a vztah (42) se stává Maxwell-Boltzmannovým rozdělením z klasické statistické mechaniky. [36]

Vztah mezi rotací a statistikou

Mezi typem statistiky vyjádřeným vztahy (42)-(44), který tvoří systém identických částic, a velikostí spinu těchto částic existuje obecný vztah:

Pro částice s polocelým spinem může počet obsazení nabývat pouze dvou hodnot: 0 a 1 . Částice v této kategorii, nazývané fermiony , se řídí statistikami Fermi – Dirac . $\scriptstyle \left(s={\frac {1}{2)),\,{\frac {3}{2)),\,{\frac {5}{2)),\,. ..\,\že jo)\,$
Pro částice s celočíselným spinem může počet obsazení nabývat libovolné celočíselné hodnoty: 0 , 1 , 2 ,. . Částice v této kategorii, nazývané bosony , se řídí statistikami Bose – Einstein . $\scriptstyle \left(s=0,\,1,\,2,\,...\,\right)\,$

V nerelativistické kvantové mechanice je tento vztah postulován jako výsledek analýzy experimentálních dat na identických systémech částic. První formulace, omezená na elektrony (což jsou fermiony), je známá jako Pauliho vylučovací princip. Vztah mezi polovičním celočíselným/celočíselným spinem a typem částice fermion/boson je demonstrován ve velmi obecné hypotéze v relativistické kvantové teorii pole nazvané spinově-statistický teorém .

Průměrný počet zaměstnání pro dva typy statistik se však získá ze vzorce (44) přímým výpočtem:

Fermi-Diracova statistika (fermiony)

\left(45\right)\,

\left\langle n_{i}\right\rangle ={\frac {1}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}+1}}\,.

Bose-Einsteinova statistika (bosony)

\left(46\right)\,

\left\langle n_{i}\right\rangle ={\frac {1}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}-1}}\,.

Závislost na makroskopických parametrech

Průměrný počet naplněných stavů závisí na dvou makroskopických parametrech systému: teplotě a chemickém potenciálu , které však nejsou nezávislé, ale souvisí s tím, že $T\,$ $\mu \,.$

\left(47\right)\,

\sum _{j}\left\langle n_{j}\right\rangle =N\,.

Klasický limit

U obou typů statistik platí, že pokud se exponent ze jmenovatele stane velmi velkým vzhledem k jednotě, lze jednotku zanedbat, což má za následek

\left(48\right)\,

\left\langle n_{i}\right\rangle =e^{-\left(\epsilon _{i}-\mu \right)/kT}=const\cdot e^{-\epsilon _{ i}/kT}\,,

to je , Maxwell-Boltzmann distribuce od klasické statistické mechaniky. K tomu musí být také dostatečně vysoká teplota. V tomto případě je tedy hustota částic velmi nízká. Na základě vztahu (47) lze ukázat, že tato situace je jednodušší pro částice s velkou hmotností. Za těchto podmínek kvantové charakteristiky a vlastnosti systému odpovídají klasickým statistickým datům. $\epsilon _{i}>\mu$ $\left\langle n_{i}\right\rangle \ll 1\,,$

Kvantová degenerace

V opačném případě, kdy je exponent řádu jednoty, vedou obě distribuce k radikálně odlišným výsledkům od klasických statistik a mezi nimi: dochází k takzvaným fenoménům kvantové degenerace . Je zřejmé, že k tomu dojde, když se podmínky v předchozí části obrátí: při dostatečně nízkých teplotách, dostatečně vysokých hustotách a dostatečně nízkých hmotnostech. Přesněji: čím vyšší je prahová teplota, tím vyšší je hustota systému a tím menší je hmota částic, při které dochází k fenoménu degenerace.

V případě Fermi-Diracovy statistiky skutečnost, že částice zaujímá určitý stav, vylučuje ostatní částice z tohoto stavu, což je ekvivalentní odpudivé síle, která stojí proti kondenzaci systému. V případě kovových elektronů je však hustota poměrně vysoká a hmotnost velmi malá, což vede k degeneraci systému až k bodu tání. Z tohoto důvodu nelze řadu vlastností kovů při běžných teplotách vysvětlit klasickou statistikou.

Bose-Einsteinova statistika, která umožňuje, aby byl stav naplněn velmi velkým počtem částic, je ekvivalentní přitažlivé síle, která podporuje kondenzaci. V případě plynu složeného z atomů helia je sice hmotnost malá, ale prahová teplota je velmi nízká; Neobvyklé vlastnosti kondenzátu helia při teplotách pod 3 K se vysvětlují jevy degenerace.

Poznámky

↑ Balescu, 1978 , str. patnáct.
↑ Bogolyubov N. N. "Problémy dynamické teorie ve statistické fyzice", M.-L.: OGIZ. Gostekhizdat, 1946.
↑ Balescu, 1978 , str. osmnáct.
↑ Gibbs, 1946 , str. 17.
↑ Gibbs, 1946 , str. 18-19.
↑ Țițeica (1956), s. 19.
↑ Țițeica (1956), s. 21; Țițeica (2000), s. 54.
↑ Gibbs, str. vii.
↑ 1 2 Landau & Lifshitz, 1976 , s. 16.
↑ Gibbs, 1946 , str. 29.
↑ Olkhovsky I. I. Kurz teoretické mechaniky pro fyziky .. - 2. vyd., přepracováno. a další .. - M . : Nakladatelství Moskevské univerzity, 1974. - S. 393. - 569 s.
↑ Țițeica (1956), str. 27-30; Țițeica (2000), str. 60-64.
↑ Sunt în už aktuální două notații standard pentru valoarea medie a unei variabile aleatorii cu paranteze unghiulare nebo cu bară deasupra . $\scriptstyle f:$ $\scriptstyle \langle f\rangle \,$ $\scriptstyle {\overline {f}}\,$
↑ Landau & Lifshitz, 1976 , s. 17.
↑ Landau & Lifshitz, 1976 , s. 21.
↑ Schrodinger, str. 3-4, argumentează calitativ plauzibilitatea acestui postulat.
↑ Tolman, str. 59-63.
↑ Gibbs, str. 115.
↑ Țițeica (2000), s. 65-69.
↑ Gibbs, str. 32.
↑ În engleză se numește grand canonical ensemble , termin introdus de Gibbs, p. 189.
↑ Tolman, str. 621.
↑ Cantitățile pot fi exprimate în unități de masă, mol sau număr de molekula.
↑ Gibbs, str. 191.
↑ Țițeica (1956), str. 33-37.
↑ Țițeica (2000), str. 69-72.
↑ Țițeica (2000), s. 72.
↑ Țițeica (1956), str. 46-49; Țițeica (2000), str. 72-73.
↑ Wannier, str. 158; Kittel, p. 64.
↑ Țițeica (2000), str. 94-111.
↑ Țițeica (2000), s. 100.
↑ Țițeica (2000), str. 111-113.
↑ Țițeica, Șerban: Principiul al treilea al termodinamicii și mecanica statistică , Studii și cercetări de fizică, Tomul IV, pp. 7-14 (1953); reprodus în Țițeica (2000), str. 317-324.
↑ Țițeica (1956), s. 52.
↑ Țițeica (1984), str. 354-355.
↑ Țițeica (1956), str. 55-56.

Bibliografie

Gibbs JV Základní principy statistické mechaniky (vysvětlené se speciální aplikací na racionální zdůvodnění termodynamiky). . - M. - L .: OGIZ, 1946.
Landau L. D., Lifshitz E. M. Statistická fyzika. - 3. vydání, doplňkové .. - M . : Nauka, 1976. - T. 1. - 568 s. - ("Teoretická fyzika", svazek V). - 45 000 výtisků.
Balescu R. Rovnovážná a nerovnovážná statistická mechanika - M. : Mir, 1978. - T. I. - 405 s.
Boltzmann, Ludwig : Vorlesungen über Gastheorie , I. Theil, Verlag Johann Ambrosius Barth, Leipzig, 1896. E-kniha .
Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie , II. Theil, Verlag Johann Ambrosius Barth, Lipsko, 1898. E-kniha .
Ehrenfest, Paul și Tatiana : Koncepční základy statistického přístupu v mechanice , Dover Publications, 2002. ISBN 0-486-49504-3 .
Fowler, RH: Statistická mechanika , University Press, Cambridge, 1980,.
Huang, Kerson: Statistická mechanika , ed. a 2-a, John Wiley & Sons, 1987. ISBN 0-471-81518-7 .
Kittel, Charles : Elementary Statistical Physics , Dover Publications, 2004. ISBN 0-486-43514-8 .
Landau, L.D. și Lifshitz, E.M.: Statistical Physics , Pergamon Press, 1980. ISBN 0-08-023038-5 .
Murgulescu, IG și Segal, E.: Introducere în chimia fizică, sv. II, 1-Teoria molekulárně-kinetická a materiei , București, Editura Academiei RSR, 1979.
Onicescu, O. , Mihoc, G. a Ionescu-Tulcea, CT: Výpočet pravděpodobnosti a aplikace , Editura Academiei Republicii Populare Romîne, București, 1956.
Schrödinger, Erwin : Statistical Thermodynamics , Dover Publications, 1989, ISBN 0-486-66101-6 .
Tolman, Richard C .: Principy statistické mechaniky , Dover Publications, 1979. ISBN 0-486-63896-0 .
Țițeica, Șerban : Elemente de mecanică statistică , Editura Tehnică, București, 1956.
Ţiţeica, Ţerban: Mecanica cuantică , Editura Academiei Republicii Socialiste România, Bucureşti, 1984.
Țițeica, Șerban: Curs de fizică statistică și teoria cuantelor , All Educational, Timișoara, 2000. ISBN 973-684-319-X
Wannier, Gregory H.: Statistical Physics , Dover Publications, 1987. ISBN 0-486-65401-X .
Berezin F. A. Přednášky o statistické fyzice. Moskva-Iževsk: Institut. počítačový výzkum, 2002. - 192s. (2. vyd., Rev. Nakladatelství: MTSNMO, 2008. - 200 s. ISBN 978-5-94057-352-4 )
Bogolyubov NN Problémy dynamické teorie ve statistické fyzice. — M. — L.: OGIZ. Gostekhizdat, 1946.
Bogolyubov N. N. Vybrané práce ze statistické fyziky. M.: Nakladatelství Moskevské státní univerzity, 1979.
Bogolyubov N. N. Sborník vědeckých prací. Ve 12 svazcích.
Zubarev D. N., Morozov V. G., Repke G. Statistická mechanika nerovnovážných procesů. Svazek 1. M .: FIZMATLIT, 2002. - 432 s. (nedostupný odkaz) ISBN 5-9221-0211-7 , 5-9221-0210-9
Prigogine I. Nerovnovážná statistická mechanika. Nakladatelství: Editorial URSS, 2005. - 312 s. ISBN 5-354-01004-7
Khinchin A. Ya. Matematické základy statistické mechaniky. Nakladatelství: Regular and Chaotic Dynamics, 2003. - 128 s. (nedostupný odkaz) ISBN 5-93972-273-3
Ruel D. Statistická mechanika. Přísné výsledky. M.: Mir, 1971. - 368 s.
Krylov NS Práce na zdůvodnění statistické fyziky. M.-L.: Z Akademie věd SSSR, 1950.
Terletsky Ya. P. Statistická fyzika. (2. vyd.) M.: Vyšší škola, 1973.
Uhlenbeck J., Ford J. Přednášky o statistické mechanice. M.: Mir, 1965.

Odkazy

Judith A. McGovern: Tepelná a statistická fyzika , University of Manchester.
Daniel F. Styer: Statistická mechanika , Oberlin College.

Slovníky a encyklopedie

V bibliografických katalozích
BNE : XX524922 BNF : 11958255n GND : 4056999-8 J9U : 987007531887605171 LCCN : sh85127571 NDL : 00573177 NKC : ph170616 SUDOC : 027570711

Úseky statistické fyziky
Statistická mechanika kvantové statistiky Molekulární fyzika Fyzikální kinetika Statistická teorie pole
Fyzika kondenzovaných látek	Fyzika pevných látek Fyzika tekutin Fyzika atomů a molekul Fyzika nanostruktur