Liouvilleova věta zachování fázového objemu

Liouvilleův teorém , pojmenovaný po francouzském matematikovi Josephu Liouvilleovi , je klíčový teorém v matematické fyzice , statistické fyzice a Hamiltonově mechanice . Věta tvrdí zachování objemu fáze v čase nebo hustoty pravděpodobnosti ve fázovém prostoru.

Formulace

Distribuční funkce Hamiltonova systému je konstantní podél jakékoli trajektorie ve fázovém prostoru .

Liouvilleova rovnice

Liouvilleova rovnice popisuje časový vývoj distribuční funkce ( hustota pravděpodobnosti ) hamiltonovského systému v -rozměrném fázovém prostoru ( je počet částic v systému). Uvažujme hamiltonovský systém se souřadnicemi a konjugovanými momenty , kde . Potom rozložení ve fázovém prostoru určuje pravděpodobnost , že systém bude v objemovém prvku svého fázového prostoru. $6N$ $N$ $Qi}$ $p_{i}$ $i=1,\tečky ,d,$ $d=3N$ $\rho (p_{i},q_{i})$ $\rho (p,q)\,\mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p$ $\mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p$

Liouvilleova rovnice popisuje vývoj v čase podle pravidla pro nalezení totální derivace funkce s přihlédnutím k nestlačitelnosti toku ve fázovém prostoru: $\rho (p_{i},q_{i};t)$ $t$

{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t))={\frac {\partial \rho }{\partial t))+\sum _{i=1}^ {d}\left({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i))}{\frac {\mathrm {d} q_{i)){\mathrm {d} t))+{\ frac {\partial \rho }{\částečné p_{i))}{\frac {\mathrm {d} p_{i)){\mathrm {d} t))\right)=0.

Časové derivace fázových souřadnic pro hamiltonovské systémy jsou popsány podle Hamiltonových rovnic :

{\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\částečné H}{\ částečné p_{i}}},

{\dot {p}}_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} p_{i}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial H}{ \partial q_{i}}}.

Jednoduchým důkazem věty je pozorování, že evoluce je určena rovnicí kontinuity (kontinuity) : $\rho$

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\nabla (\rho \,\mathbf {v} )={\frac {\partial \rho }{\partial t))+\ rho \operatorname {div} \mathbf {v} +\mathbf {v} \operatorname {grad} \rho =0,

kde je rychlost pohybu studovaného objemu fázového prostoru: $\mathbf{v}$

\nabla (\rho \,\mathbf {v} )=\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial (\rho {\dot {q))_{ i})}{\částečné q_{i))}+{\frac {\částečné (\rho {\tečka {p))_{i})}{\částečné p_{i))}\right)

a pozorování, že rozdíl mezi tímto výrazem a Liouvilleovou rovnicí je určen pouze výrazem popisujícím divergenci, konkrétně její nepřítomností, což znamená absenci zdrojů nebo propadů hustoty pravděpodobnosti:

\rho \operatorname {div} \mathbf {v} =\rho \sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial {\tečka {q))_{i} }{\částečné q_{i))}+{\frac {\částečné {\tečka {p))_{i)){\částečné p_{i))}\right)=\rho \sum _{i= 1}^{d}\left({\frac {\částečné ^{2}H}{\částečné q_{i}\,\částečné p_{i))}-{\frac {\částečné ^{2}H }{\částečné p_{i}\,\částečné q_{i}}}\vpravo)=0,

kde je Hamiltonián a byly použity Hamiltonovy rovnice . To lze znázornit jako pohyb fázovým prostorem „tekutiny“ bodů systému. Věta znamená, že Lagrangeova derivace nebo substanciální derivace hustoty je rovna nule. To vyplývá z rovnice kontinuity , protože rychlostní pole ve fázovém prostoru je bez divergence, což zase vyplývá z hamiltonovských rovnic pro konzervativní systémy. $H$ $d\rho /dt$ $({\dot {p)),{\dot {q)))$

Geometrická interpretace

Zvažte trajektorii malého bodu (souboru bodů) ve fázovém prostoru. Při pohybu po sadě trajektorií je bod natažen v jedné souřadnici, řekněme - - ale stlačen v jiné souřadnici , takže produkt zůstává konstantní. Plocha bodu (objem fáze) se nemění. $p_{i}$ $Qi$ ${\displaystyle \Delta p_{i}\,\Delta q_{i))$

Přesněji řečeno, fázový objem je zachován napříč časovými posuny. Pokud $\Gamma$

\int \limits _{\Gamma }d^{d}q\,d^{d}p=C,

a je soubor bodů ve fázovém prostoru, do kterého se soubor může v čase vyvinout $\Gamma (t)$ $\Gamma$ $t$

\int \limits _{\Gamma (t)}d^{d}q\,d^{d}p=C

pro všechny časy . Objem fázového prostoru hamiltonovského systému je zachován, protože evoluce času v hamiltonovské mechanice je kanonická transformace a všechny kanonické transformace mají jednotku Jacobian . $t$

Prostřednictvím symplektické formy

Nechť je symplektická varieta a je hladká funkce. Nechť existuje symplektický gradient , tedy vektorové pole splňující vztah $(M,\omega )$ $H\colon M\to \mathbb {R}$ $PROTI$ $H$

dH(X)=\omega (V,X)

pro libovolné vektorové pole . Pak $X$

{\mathcal {L}}_{V}\omega =0,

kde označuje Lieovu derivaci . $\mathcal{L}$

Z tohoto tvrzení vyplývá Liouvilleova věta. Z výše uvedené identity totiž vyplývá, že

{\mathcal {L}}_{V}\omega ^{\wedge n}=0,

a jestliže je -rozměrný, pak je objemový tvar na . $M$ $2n$ $\omega ^{{\wedge n}}$ $M$

Fyzická interpretace

Očekávaný celkový počet částic je integrálem v celém fázovém prostoru distribuční funkce:

N=\int d^{d}q\,d^{d}p\,\rho (p,q)

(normalizační faktor vynechán). V nejjednodušším případě, kdy se částice pohybuje v euklidovském prostoru v poli potenciálních sil se souřadnicemi a hybností , lze Liouvilleův teorém napsat jako $\mathbf {F}$ $\mathbf {x}$ ${\mathbf {p}}$

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\mathbf {v} \cdot \nabla _{\mathbf {x} }\rho +{\frac {\mathbf {F} }{ m}}\cdot \nabla _{\mathbf {p} }\rho =0,

kde je rychlost. Ve fyzice plazmatu se tento výraz nazývá Vlasovova rovnice nebo bezkolizní Boltzmannova rovnice a používá se k popisu velkého počtu bezkolizních částic pohybujících se v samokonzistentním silovém poli . $\mathbf {v} ={\tečka {\mathbf {x} ))$ $\mathbf {F}$

V klasické statistické mechanice je počet částic velký, řádově jako Avogadro číslo . Ve stacionárním případě lze nalézt hustotu mikrostavů dostupných v daném statistickém souboru . Pro stacionární stavy je distribuční funkce rovna jakékoli funkci Hamiltoniána , například v Maxwell-Boltzmannově rozdělení , kde je teplota , je Boltzmannova konstanta . $N$ $\partial\rho/\partial t = 0$ $\rho$ $H$ ${\displaystyle \rho \sim e^{-H/kT))$ $T$ $k$

Zápis přes Poissonovu závorku

Pomocí Poissonovy závorky , která v kanonických souřadnicích je $(q^{i},p_{j})$

\{A,B\}=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\partial A}{\partial q^{i))}{\frac {\ částečné B}{\částečné p_{i))}+{\frac {\částečné A}{\částečné p_{i))}{\frac {\částečné B}{\částečné q^{i))}\vpravo ),

Liouvilleova rovnice pro hamiltonovské systémy nabývá tvaru

{\frac {\částečné \rho }{\částečné t))=-\{\rho ,H\}.

Zápis pomocí operátoru Liouville

Pomocí operátoru Liouville

i{\hat {L}}=\sum _{i=1}^{d}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i))}{\frac {\partial }{\částečné q_{i))}-{\frac {\částečné H}{\částečné q_{i))}{\frac {\částečné }{\částečné p_{i))}\right]

rovnice pro hamiltonovské systémy nabývá tvaru

{\frac {\částečné \rho }{\částečné t))+i{\hat {L))\rho =0.

Poznámky

Kanonické kvantování poskytuje kvantově mechanickou verzi věty.

Tento postup, často používaný k získání kvantových analogů klasických systémů, zahrnuje popis klasického systému pomocí Hamiltonovské mechaniky. Klasické proměnné jsou pak reinterpretovány, jmenovitě jako kvantové operátory, zatímco Poissonovy závorky jsou nahrazeny komutátory . V tomto případě dostaneme rovnici

{\frac {\partial }{\partial t}}\rho ={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ],

kde ρ je matice hustoty . Tato rovnice se nazývá von Neumannova rovnice a popisuje vývoj kvantových stavů hamiltonovských systémů.

Liouvilleova rovnice platí pro rovnovážné a nerovnovážné systémy. Toto je základní rovnice nerovnovážné statistické mechaniky.

Předpoklad nestlačitelnosti fázového toku, tedy splnění podmínky

\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial }{\partial q_{i))}{\frac {\mathrm {d} q_{i)){\ mathrm {d} t))+{\frac {\částečné }{\částečné p_{i))}{\frac {\mathrm {d} p_{i)){\mathrm {d} t))\right) =0,

je významný. V obecném případě libovolného dynamického systému

{\dot {q}}_{i}=Q_{i}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t),\quad {\tečka {p}}_{i}=P_ {i}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)

rovnice pro časový vývoj hustoty rozložení částic ve fázovém prostoru se získá z bilanční rovnice $\rho (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)$

\rho (\mathbf {p} ',\mathbf {q} ',t')\,d\Lambda '=\rho (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)\,d \Lambda ,

t'=t+dt,\quad p_{i}'=p_{i}+P_{i}\,dt,\quad q_{i}'=q_{i}+Q_{i}\, dt,\quad d\Lambda '=d\Lambda \left[1+dt\součet _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial Q_{i)){\partial q_{i ))}+{\frac {\částečné P_{i}}{\částečné p_{i}}}\right)\right]

(posledním vztahem je škálování prvku fázového objemu s nekonečně malým posunem podél fázové trajektorie). Výsledná rovnice má tvar

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial (\rho Q_{i})}{ \částečné q_{i))}+{\frac {\částečné (\rho P_{i})}{\částečné p_{i))}\right)=0

(viz také Fokker-Planck rovnice ) a v případě se shoduje s Liouvilleovou rovnicí. ${\displaystyle Q_{i}=\částečné H/\částečné p_{i},\ P_{i}=-\částečné H/\částečné q_{i))$

Viz také

Poincaré-Cartanův integrál