Maxwellova distribuce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 11. srpna 2021; kontroly vyžadují 5 úprav .

Maxwellovo rozdělení je obecný název pro několik pravděpodobnostních rozdělení , které popisují statistické chování parametrů částic ideálního plynu . Forma odpovídající funkce hustoty pravděpodobnosti je diktována jakou veličinou: rychlost částice , projekce rychlosti, modul rychlosti, energie , hybnost atd. - působí jako spojitá náhodná veličina . V některých případech lze Maxwellovo rozdělení vyjádřit jako diskrétní rozdělení přes sadu energetických hladin.

Nejvýznamnější Maxwellova distribuce je zapsána pro modul rychlosti částic ve spojitém případě a má hustotu: $proti$

f_{v}(x)=Bx^{2}\exp \left[-\beta x^{2}\right]\,\,(x\geq 0)

f_{v}(x)=0\,\,(x<0),

kde je formální proměnná, je faktor určen typem částic a teplotou a faktor je vybrán v závislosti na zajištění normalizace. Právě tento výraz je v matematice považován za Maxwellovo rozdělení, ačkoli pro ostatní parametry částic bude analytická forma Maxwellova rozdělení odlišná. $X$ $\beta>0$ $B$ $\beta$

Maxwellova distribuce je základem kinetické teorie plynů , vysvětluje mnohé ze základních vlastností plynů, včetně tlaku a difúze . Používá se k výpočtu průměrných a nejpravděpodobnějších rychlostí a energií molekul plynu. Je také použitelný pro popis procesů elektronického transportu a dalších jevů ve fyzice a chemii . Maxwellovo rozdělení lze získat pomocí statistické mechaniky (viz původ rozdělovací funkce ). Toto rozdělení je nejvyšší pravděpodobnostní rozdělení studovaného parametru.

Rozsah distribuce Maxwell

Požadavky na popsaný systém, příklady

Otázka použitelnosti Maxwellova rozdělení na konkrétní systém je ekvivalentní otázce, zda lze tento systém považovat za ideální plyn s dostatečnou přesností. Přitom systém musí

sestávají z velkého počtu částic a jsou v termodynamické rovnováze ;
být izotropní ;
být klasický , to znamená, že relativistické a kvantové efekty musí být malé;
být srážkově dominován (interakce částic je povolena pouze tehdy, závisí-li pouze na vzájemné poloze částic, zejména jsou povoleny absolutně elastické srážky).

Takový soubor požadavků je za normálních podmínek splněn především v plynech, jako je vzduch. Maxwellovo rozdělení platí pro různé vlastnosti jednotlivých molekul v plynu. Obvykle se to primárně považuje za distribuci energie molekul v plynu, ale lze ji aplikovat na rozložení rychlostí a dalších molekulárních parametrů. Nejčastěji se jedná o spojité rozdělení podél kontinua změny náhodného parametru.

V mnoha případech však není ani přibližně splněna podmínka dominance elastických srážek nad všemi ostatními procesy. Takže ve fyzice ionosféry a vesmírného plazmatu mají procesy rekombinace a srážkové excitace (tj. radiační procesy), zejména pro elektrony, velký význam. Použití Maxwellova rozdělení by v tomto případě nejen poskytlo kvantitativně nesprávné výsledky, ale vedlo by také ke kvalitativně nesprávné interpretaci odpovídajících procesů.

Podmínky klasické úvahy

V případech, kdy kvantová de Broglieho vlnová délka částic plynu není malá ve srovnání se vzdáleností mezi částicemi, dochází v důsledku kvantových efektů k odchylkám od Maxwellova rozdělení. Proto je důležitá otázka mezí použitelnosti klasické úvahy.

Vztah neurčitosti (často zjednodušeně zapsaný ve tvaru , kde jsou nejistoty souřadnice a -projekce hybnosti, je Planckova konstanta ) má trojrozměrnou analogii tvaru kde označuje charakteristickou lineární velikost zóny lokalizace částic. . Aby nejistoty v souřadnicích a hybnosti nehrály roli a mohla být použita klasická, spíše než kvantová mechanika , musí být splněn vztah: $\Delta x\cdot \Delta p_{x}\sim h,$ $\Delta x,$ $\Delta p_{x}$ $X$ $h$ $r\cdot p\sim h,$ $r$

V^{1/3}\cdot p\gg h,

kde je objem, který v průměru odpovídá jedné částici, rovný vzájemné koncentraci částic plynu. Pokud umocníte obě strany, dostanete: $PROTI$ $n^{{-1}}$

n^{-{\frac {2}{3}}}h^{-2}p^{2}\gg 1.

Když to vezmeme v úvahu a vezmeme-li množství jako charakteristickou energetickou hodnotu, dojdeme k: $p^{2}=2mE$ $(3/2)kT,$

T\gg {\frac {n^{\frac {2}{3}}h^{2}}{3mk}}=T_{deg}\qquad

( je teplota degenerace a je hmotnost částice).

{\displaystyle T_{deg))

m

Při teplotách nižších než Maxwellovo rozdělení nelze použít. ${\displaystyle T_{deg))$

Maxwellovo rozdělení stavu

Maxwellovu distribuci lze zapsat jako diskrétní distribuci přes sadu stavů molekuly, očíslované symbolem : $i$

{\frac {N_{i}}{N}}={\frac {\exp \left(-E_{i}/kT\right)}{\součet _{j}^{}{\exp \left(-E_{j}/kT\right)}}}

Energie molekuly v tém stavu a počet takových molekul jsou označeny a , je teplota systému, je celkový počet molekul v systému a je Boltzmannova konstanta . (Stává se, že výše uvedená rovnice je napsána s faktorem označujícím stupeň degenerace energetických hladin. V tomto případě nevypočítává stavy, ale energie a součet bude podle energií, nikoli podle státy). Protože rychlost souvisí s energií, lze poslední rovnici použít k odvození vztahu mezi teplotou a rychlostmi molekul v plynu. Jmenovatel je známý jako kanonická oddílová funkce . $E_{i}$ $N_{i}$ $i$ $T$ $N$ $k$ $g_i$ $i$

Odrůdy spojitého Maxwellova rozdělení

Odvození Maxwellových distribucí prezentované v této části, které je přirozené pro moderní vzdělávací literaturu, se liší od odvození navrženého samotným Jamesem Clerkem Maxwellem a později popsaného s menšími předpoklady Ludwigem Boltzmannem . Historický závěr bude uveden na konci článku.

Rozložení vektoru hybnosti

V případě ideálního plynu neinteragujících molekul je veškerá energie ve formě kinetické energie. Kinetická energie souvisí s hybností částice jako:

E={\frac {p^{2}}{2m}}

kde je druhá mocnina vektoru hybnosti , pak $p^{2}$ $\mathbf {p} =[p_{x},p_{y},p_{z}]$

{\frac {N_{i}}{N}}={\frac {1}{Z}}\exp \left[{\frac {-(p_{x}^{2}+p_{y }^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}\right]

kde je rozdělovací funkce odpovídající jmenovateli výrazu pro z předchozí části a je hmotnost molekuly. $Z$ $N_{i}/N$ $m$

Pokud jsou energetické hladiny dostatečně husté, fakt diskrétnosti se stává nedůležitým a můžeme předpokládat, že energie jsou distribuovány nepřetržitě. Potom je poměr úměrný funkci hustoty pravděpodobnosti molekuly, která je ve stavu s těmito hodnotami složek hybnosti. Takto: $N_{i}/N$ ${\displaystyle f_{\mathbf {p} ))$

f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})={\frac {C}{Z))\exp \left[{\frac {-(p_ {x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}\right]

Konstanta je určena z normalizační podmínky, podle které se pravděpodobnost, že molekuly vůbec mají nějakou hybnost, musí rovnat jedné. Proto integrál přes všechny hodnoty a musí být roven jednotě. Dá se to ukázat $C$ ${\displaystyle f_{\mathbf {p} ))$ ${\displaystyle p_{x}\,,p_{y))$ $p_{z}$

\iiiint \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{Z}}\exp \left[{\frac {-(p_{x}^{2}+p_ {y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}\right]\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}={\frac {1} {Z}}\left(2\pi mkT\right)^{3/2}

Aby tedy měl integrál hodnotu 1, je to nutné

{\displaystyle C={\frac {Z}{({\sqrt {2\pi mkT)))^{3))))

Dosazením do rovnice pro a použitím skutečnosti, že , dostaneme: $C$ ${\displaystyle f_{\mathbf {p} ))$ ${\displaystyle p_{i}=mv_{i))$

f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})={\sqrt {\left({\frac {1}{2\pi mkT))\right )^{3}}}\exp \left[{\frac {-(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}} \že jo]

Rozložení vektoru rychlosti

Vezmeme-li v úvahu, že hustota rozložení rychlosti je úměrná hustotě rozložení hybnosti: ${\displaystyle f_{\mathbf {v} ))$

f_{{\mathbf {v}}}d^{3}v=f_{{\mathbf {p}}}\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{ 3}v

a pomocí , dostaneme: $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$

f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})={\sqrt {\left({\frac {m}{2\pi kT))\right )^{3}}}\exp \left[{\frac {-m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT} }\že jo]

což je Maxwellovo rozdělení přes tři kartézské projekce rychlosti. Pravděpodobnost nalezení částice v nekonečně malém prvku blízko rychlosti je: ${\displaystyle dv_{x}\,,dv_{y}\,,dv_{z))$ $\mathbf {v} =[v_{x},v_{y},v_{z}]$

{\displaystyle f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)dv_{x}dv_{y}dv_{z))

Distribuce projekce rychlosti

Maxwellovo rozdělení pro vektor rychlosti je součinem rozdělení pro každý ze tří směrů: $[v_{x},v_{y},v_{z}]$

f_{v}\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{ v}(v_{z}),

kde distribuce jedním směrem:

f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT))}\exp \left[{\frac {-mv_{i}^{2)) {2kT}}\right]

Toto rozdělení má formu normálního rozdělení . Jak by se dalo očekávat u plynu v klidu, průměrná rychlost v jakémkoli směru je nulová.

Distribuční modulo momentum

Integrací můžeme najít rozložení přes absolutní velikost hybnosti:

f_{p}=\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\phi =0}^{2\pi }~f_{\mathbf {p} }p^{2 }\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi =4\pi {\sqrt {\left({\frac {1}{2\pi mkT}}\right)^{3}}} ~p^{2}\exp \left[{\frac {-p^{2}}{2mkT}}\right].

Rozvod energie

Nakonec pomocí vztahů a získáme rozdělení kinetické energie: $p^{2}=2\,mE$ $f_{E}\,dE=f_{p}\,dp$

f_{E}=f_{p}{\frac {dp}{dE}}={\frac {2\pi }{\sqrt {(\pi kT)^{3}}}}{\sqrt {E}}{}~\exp \left[{\frac {-E}{kT}}\right].

Distribuční modulo rychlost

Obvykle je rozložení přes absolutní hodnotu zajímavější než přes projekce rychlostí molekul. Modul rychlosti, definovaný jako $proti$

{\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2))))

je vždy nezáporná. Protože je vše normálně rozděleno , bude chí-kvadrát rozdělení se třemi stupni volnosti. Jestliže je funkce hustoty pravděpodobnosti pro modul rychlosti, pak $v_{i}$ $v^2$ $f(\mathbf {v} )$

f\left(v\right)dv=P(\chi ^{2}|3)d\chi ^{2}

kde . Funkce hustoty pravděpodobnosti pro modul rychlosti je tedy $\chi ^{2}=mv^{2}/kT$

f(v)dv=4\pi v^{2}\left({\frac {m}{2\pi kT))\right)^{3/2}\exp \left({\frac {-mv^{2}}{2kT}}\right)dv

Tvar funkce odpovídá tvaru uvedenému v preambuli, s tím rozdílem, že je zde použita formální proměnná z důvodu větší matematické obecnosti. $F v)$ $X$

Charakteristické rychlosti molekul ideálního plynu

Rovnice pro udává rozložení rychlosti, nebo jinými slovy, podíl molekul, které mají určitou rychlost. Jiné veličiny jsou ale často zajímavější. Níže budou určeny nejpravděpodobnější , střední a efektivní rychlosti. $f(v)dv$

S největší pravděpodobností rychlost

Nejpravděpodobnější rychlost , , je rychlost, jejíž pravděpodobnost má kterákoli molekula systému maximum a která odpovídá maximální hodnotě hustoty pravděpodobnosti rozdělení (a tedy odpovídá režimu tohoto rozdělení). Chcete-li to najít, musíte vypočítat , vyrovnat se nule a vyřešit pro : $v_p$ $F v)$ $df/dv$ $proti$

{\frac {df(v)}{dv}}=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left(-mv^ {2}/2kT\right)\left[8\pi v+4\pi v^{2}(-mv/kT)\right]=0

{\displaystyle v_{p}={\sqrt {\frac {2kT}{m))}={\sqrt {\frac {2RT}{\mu ))))

kde je hmotnost uvažované částice, je molární hmotnost . $m$ $\mu$

Průměrná rychlost

\langle v\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }v\,f(v)\,dv

Nahrazuje a integruje, dostáváme $F v)$

{\displaystyle \langle v\rangle ={\sqrt {\frac {8kT}{\pi m))}={\sqrt {\frac {8RT}{\pi \mu ))))

RMS rychlost

\langle v'^{2}\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }v^{2}\,f(v)\,dv

Nahrazením a integrací získáme: $F v)$

{\sqrt {\langle v'^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{\mu }}}

Historické odvození Maxwellova rozdělení

Získajme nyní distribuční vzorec stejným způsobem, jako to udělal sám Maxwell [1] [2] .

Uvažujme prostor rychlostních bodů (každou rychlost molekuly reprezentujeme jako bod (rychlostní bod) v souřadném systému ve stacionárním stavu plynu. Zvolme nekonečně malý objemový prvek . Protože je plyn stacionární, počet rychlostní body v zůstávají v průběhu času nezměněny, rychlostní prostor je izotropní , proto jsou funkce hustoty pravděpodobnosti pro všechny směry stejné. ${\displaystyle Ov_{x}v_{y}v_{z))$ ${\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))$ ${\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))$

dP(v_{x})=\varphi (v_{x})dv_{x}\qquad dP(v_{y})=\varphi (v_{y})dv_{y}\qquad dP(v_ {z})=\varphi (v_{z})dv_{z}

Maxwell navrhl, že distribuce rychlostí ve směrech jsou statisticky nezávislé, to znamená, že složka rychlosti molekuly nezávisí na složkách - a -. ${\displaystyle v_{x))$ $y$ $z$

dP(v_{x},v_{y},v_{z})=\underbrace {\varphi (v_{x})\varphi (v_{y})\varphi (v_{z})} _ {f(v)}dv_{x}dv_{y}dv_{z}

- ve skutečnosti pravděpodobnost nalezení vysokorychlostního bodu v objemu .

{\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))

f(v)=\varphi (v_{x})\varphi (v_{y})\varphi (v_{z})

{\displaystyle \ln f(v)=\ln \varphi (v_{x})+\ln \varphi (v_{y})+\ln \varphi (v_{z})\quad {\bigg |}\ quad {\frac {\partial }{\partial v_{x))))

{\frac {f'(v)}{f(v)}}{\frac {\partial v}{\partial v_{x}}}={\frac {\varphi '(v_{x} )}{\varphi (v_{x})))

{\frac {\partial v}{\partial v_{x}}}={\frac {v_{x}}{v}}

{\frac {1}{v}}{\frac {f'(v)}{f(v)))={\frac {1}{v_{x}}}{\frac {\varphi '(v_{x})}{\varphi (v_{x})}}

Pravá strana nezávisí na a , tudíž levá strana nezávisí na a . Nicméně, a jsou si rovny, proto levá strana nezávisí na . Tento výraz se tedy může rovnat pouze nějaké konstantě. $v_{y}$ $v_{z}$ $v_{y}$ $v_{z}$ $v_{x}$ $v_{y}$ $v_{x}$

{\frac {1}{v}}{\frac {f'(v)}{f(v)))=-\alpha

{\displaystyle {\frac {\varphi '(v_{x})}{\varphi (v_{x)))))=-\alpha v_{x))

\varphi (v_{x})=Ae^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}

\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (v_{x})\,dv_{x}=1\qquad \Rightarrow \qquad A\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}\,dv_{x}=A\,{\sqrt {\frac {2 }{\alpha }}}\,{\sqrt {\pi }}=1\qquad \Rightarrow \qquad A={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}

\varphi (v_{x})={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}} {2}}}

Nyní je potřeba udělat zásadní krok – zadat teplotu. Kinetická definice teploty (jako míra průměrné kinetické energie pohybu molekul):

\left\langle {\frac {mv^{2}}{2}}\right\rangle ={\frac {3}{2}}kT,

kde J/K je Boltzmannova konstanta . $k=1{,}380649\cdot 10^{-23}$

v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2))}.

Vzhledem k rovnosti všech směrů:

\langle v_{x}^{2}\rangle =\langle v_{y}^{2}\rangle =\langle v_{z}^{2}\rangle ={\frac {1}{3 }}\langle v^{2}\rangle ={\frac {kT}{m}}.

Abychom našli střední hodnotu , integrujeme ji spolu s funkcí hustoty pravděpodobnosti od mínus do plus nekonečna: ${\displaystyle v_{x}^{2))$

{\frac {kT}{m}}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{v_{x}}^{2}\,\varphi (v_{x})\ ,dv_{x}={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}\,\int \limits _{-\infty }^{\infty }v_{x}^{2}\, e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}\,dv_{x}=

\qquad ={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}\left[-2\,{\frac {d}{d\alpha }}\,\int \limits _{ -\infty }^{\infty }e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}\,dv_{x}\right]=-2\,{ \sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}\, {\frac {\delta }{\delta \alpha }}{\sqrt {\frac {2\pi }{\alpha }}}= -2{\sqrt {\alpha }}(-{\frac {1}{2}}\alpha ^{-{\frac {3}{2}}})={\frac {1}{\alpha } }.

Odtud najdeme : $\alpha$

\alpha ={\frac {m}{kT)).

Funkce rozdělení hustoty pravděpodobnosti pro (pro a podobně): ${\displaystyle v_{x))$ ${\displaystyle v_{y))$ ${\displaystyle v_{z))$

\varphi (v_{x})=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{\frac {1}{2}}\,e^{-{\ frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}}.

Nyní se podívejme na rozdělení rychlosti. Vraťme se do prostoru rychlostních bodů. Všechny body s modulem rychlosti leží v kulové vrstvě o poloměru a tloušťce a je objemem prvku této kulové vrstvy. $v\subset [v;v+dv]$ $v$ $dv$ ${\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))$

dP(v_{x},v_{y},v_{z})=\varphi (v_{x})\varphi (v_{y})\varphi (v_{z})dv_{x}dv_ {y}dv_{z}

\underbrace {dP(v_{x},v_{y},v_{z})} _{dP(v)}=\left({\frac {m}{2\pi kT))\right )^{\frac {3}{2}}\,e^{-{\frac {mv_{x}^{2}+mv_{y}^{2}+mv_{z}^{2}}{ 2kT}}}\underbrace {dv_{x}dv_{y}dv_{z}} _{4\pi v^{2}dv}

dP(v)=\underbrace {4\pi \,\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{\frac {3}{2}}\,v^ {2}\,e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}} _{F(v)}dv

Tak jsme získali funkci hustoty pravděpodobnosti , což je Maxwellovo rozdělení. $F(v)$

Viz také

Poznámky

↑ zaučení. Karavaev V. A. - Molekulární fyzika - Limitní případy binomického rozdělení (26. července 2017). Staženo: 3. března 2019. (neurčitý)
↑ zaučení. Karavaev V. A. - Molekulární fyzika - Maxwellovo rozdělení (26. července 2017). Staženo: 3. března 2019. (neurčitý)

Odkazy

http://www.falstad.com/gas/