Samokonzistentní metoda pole

Zlá teorie pole nebo self-konzistentní teorie pole je přístup ke studiu chování velkých a komplexních stochastických systémů ve fyzice a teorii pravděpodobnosti přes studium jednoduchých modelů. Takové modely berou v úvahu četné malé komponenty, které se vzájemně ovlivňují. Vliv dalších jednotlivých složek na daný objekt je aproximován zprůměrovaným efektem, díky kterému je problém mnoha těles redukován na problém s jednou částicí.

Tato myšlenka byla poprvé vyvinuta ve fyzice v dílech Pierra Curieho [1] a Pierra Weisse , kteří popsali fázový přechod [2] . Podobné přístupy našly uplatnění v epidemických modelech [3] , teorii front [4] , analýze počítačových sítí a teorii her [5] .

Problém mnoha těles, vezmeme-li v úvahu interakci mezi nimi, je obtížné vyřešit, s výjimkou nejjednodušších případů (teorie náhodných polí, jednorozměrný Isingův model ). Proto je systém N -těles nahrazen jednočásticovým problémem s dobře zvoleným vnějším potenciálem, který nahradí působení všech ostatních částic vybraným. Obtížnější (např. při výpočtu distribuční funkce ve statistické mechanice ) je zohledňovat permutace při výpočtu interakce v Hamiltoniánu při sčítání přes všechny stavy. Účelem teorie středního pole je obejít kombinatorický přístup. V různých oblastech vědy je teorie středního pole známá pod svými vlastními názvy, mezi něž patří Bragg-Williamsova aproximace, Betheho model mřížky, Landauova teorie , Pierre-Weissova aproximace, Flory-Gugginsova teorie řešení, popř. teorie Schuytjens-Fleur.

Hlavní myšlenkou teorie středního pole je nahradit veškeré působení na vybrané tělo průměrnou nebo efektivní interakcí, která se někdy nazývá molekulární pole [6] . To redukuje jakýkoli problém s mnoha tělesy na účinný problém jedné částice. Snadnost řešení problému teorie středního pole znamená získání určitých znalostí o chování systému za relativně nízkou cenu.

V klasické teorii pole, Hamiltonian funkce může být rozšířena do série používat velikost fluktuací blízko středního pole jako parametr expanze. Střední pole pak může být považováno za nultý řád tohoto rozšíření. To znamená, že teorie středního pole neobsahuje žádné fluktuace, ale to odpovídá skutečnosti, že interakce jsou nahrazeny středním polem. Poměrně často je při studiu fluktuací teorie středního pole odrazovým můstkem pro studium fluktuací prvního nebo druhého řádu.

Obecně platí, že určení toho, jak dobře bude aproximace středního pole fungovat pro konkrétní problém, je vysoce závislé na rozměrech. V teorii středního pole jsou četné interakce nahrazeny jednou účinnou akcí. Pak přirozeně, pokud pole nebo částice v počátečním systému má mnoho interakčních partnerů, pak bude efektivní teorie středního pole. To platí pro vysoké dimenze, kde Hamiltonova funkce zahrnuje síly s velkým poloměrem působení nebo když jsou částice roztaženy (například polymery). Ginzburgovo kritérium je formálním vyjádřením toho, jak fluktuace způsobují špatnou aproximaci středního pole, často v závislosti na prostorové dimenzi systému.

Zatímco teorie pole se vyvíjela ve statistické mechanice, našla uplatnění také v jiných oborech, jako je interference, teorie grafů , neurověda a studium umělé inteligence .

Formální přístup

Formální přístup k teorii středního pole je založen na Bogolyubovově nerovnosti . Uvádí, že volná energie systému s hamiltonovskou funkcí

{\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{0}+\Delta {\mathcal {H}}

má horní hranici

F\leq F_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle {\mathcal {H}}\rangle _{0}-TS_{0}

kde je entropie a průměrování se provádí přes soubor rovnováhy systému s Hamiltonovou funkcí . Ve speciálním případě, kdy hlavní Hamiltonova funkce popisuje systém bez interakce, a proto ji lze zapsat jako ${\displaystyle S_{0))$ ${\mathcal {H}}_{0}$

{\mathcal {H}}_{0}=\sum _{i=1}^{N}h_{i}\left(\xi _{i}\right)

kde je zkratka pro míru volnosti jednotlivých složek statistického systému (atomy, spiny atd.), můžeme uvažovat o zpřesnění horní hranice minimalizací pravé strany nerovnosti. Minimalizace hlavního systému je pak nejlepším přiblížením danému. Je známá jako aproximace středního pole. $\left(\xi _{i}\right)$

Hamiltonova funkce zkoumaného systému nejčastěji obsahuje pouze párové interakce, tj.

{\mathcal {H}}=\součet _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}V_{i,j}\left(\xi _{i},\xi _{ j}\vpravo)

kde je množina párových interakcí. Poté může být formálně proveden postup minimalizace. Je definován jako zobecněný součet pozorovatelných veličin na stupních volnosti jedné složky (součet pro diskrétní veličiny, intergal pro spojité). Volná energie je dána přibližně jako ${\mathcal {P}}$ ${\rm {Tr))_{i}f(\xi _{i})$ $F$

$F_{0}=\,\!$	${\rm {Tr))_{1,2,..,N}{\mathcal {H))(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _ {N})P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})$
	$+kT\,{\rm {Tr}}_{1,2,..,N}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2}, ...,\xi _{N})\log P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})$

kde je pravděpodobnost nalezení hlavního systému ve stavu s proměnnými . Tato pravděpodobnost je dána normalizovaným Boltzmannovým faktorem $P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})$ $(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})$

{\begin{aligned}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})&{}={ \frac {1}{Z_{0}^{(N)}}}e^{-\beta {\mathcal {H}}_{0}(\xi _{1},\xi _{2}, ...,\xi _{N})}\\&{}=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{Z_{0))}e^{-\beta h_ {i}\left(\xi _{i}\right)}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{i=1}^{N}P_{0}^{ (i)}(\xi _{i})\end{aligned}}

kde je statistický součet. pak ${\displaystyle Z_{0))$

{\begin{aligned}F_{0}=&{}\součet _{(i,j)\in {\mathcal {P))}{\rm {Tr))_{i,j}V_ {i,j}\left(\xi _{i},\xi _{j}\right)P_{0}^{(i)}(\xi _{i})P_{0}^{(j )}(\xi _{j})\\&{}+kT\součet _{i=1}^{N}{\rm {Tr}}_{i}P_{0}^{(i)} (\xi _{i})\log P_{0}^{(i)}(\xi _{i}).\end{aligned}}

Pro minimalizaci se bere derivace s ohledem na pravděpodobnost jednoho stupně volnosti .. K normalizaci použijeme neurčité Lagrangeovy multiplikátory. Konečným výsledkem je systém samokonzistentních rovnic ${\displaystyle P_{0}^{(i)))$

P_{0}^{(i)}(\xi _{i})={\frac {1}{Z_{0))}e^{-\beta h_{i}^{MF}( \xi _{i})}\qquad i=1,2,..,N

kde střední pole je uvedeno jako

h_{i}^{MF}(\xi _{i})=\sum _{\{j|(i,j)\in {\mathcal {P}}\}}{\rm {Tr }}_{j}V_{i,j}\left(\xi _{i},\xi _{j}\right)P_{0}^{(j)}(\xi _{j}).

Aplikace

Teorii středního pole lze aplikovat na řadu fyzikálních systémů, studujících například fázové přechody [7] .

Model Ising

Nechť je Isingův model definován na d - rozměrné mřížce. Hamiltonián je dán jako

{\displaystyle H=-J\součet _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-h\součet _{i}s_{i))

kde označuje součet nad páry nejbližších sousedů a jsou otočení nejbližších sousedů. $\sum _{\langle i,j\rangle }$ $\langle i,j\rangle$ $s_{i}=\pm 1$ $s_{j}$

Zavedením fluktuačních odchylek od střední hodnoty lze hamiltonián přepsat $m_{i}\equiv \langle s_{i}\rangle$

H=-J\součet _{\langle i,j\rangle }(m_{i}+\delta s_{i})(m_{j}+\delta s_{j})-h\součet _ {i}s_{i}

kde fluktuace rotace jsou označeny . ${\displaystyle \delta s_{i}\equiv s_{i}-m_{i))$

Rozšířením pravé strany lze získat termín, který závisí pouze na střední hodnotě rotace a nezávisí na konfiguraci rotace. Tento termín je triviální, nemá vliv na statistické vlastnosti systému. Další člen obsahuje součin průměrné hodnoty rotace a kolísání. Konečně poslední člen obsahuje součiny fluktuací.

Střední aproximace pole spočívá v zanedbání tohoto členu druhého řádu ve fluktuacích. Tyto fluktuace rostou v nízkorozměrných systémech, takže teorie středního pole funguje lépe pro vysokorozměrné systémy.

H\přibližně H^{MF}\equiv -J\součet _{\langle i,j\rangle }(m_{i}m_{j}+m_{i}\delta s_{j}+m_{ j}\delta s_{i})-h\součet _{i}s_{i}

Termíny lze opět přeskupit. Průměrná hodnota každého otočení by navíc neměla záviset na místě, protože systém Ising je translačně invariantní. Proto

H^{MF}=-J\součet _{\langle i,j\rangle }\left(m^{2}+2m(s_{i}-m)\right)-h\součet _{ i}s_{i}.

Součet sousedů může být přepsán jako , kde jsou nejbližší sousedé a faktor 1/2 zabraňuje tomu, aby byl stejný člen zohledněn dvakrát, protože na vytvoření každé vazby se podílejí dvě rotace. Zjednodušení dává konečný výsledek ${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j\in nn(i)))$ $nn(i)$ $i$

H^{MF}={\frac {Jm^{2}Nz}{2}}-\underbrace {(h+mJz)} _{h^{\mathrm {eff} }}\součet _{ i}s_{i}

kde je koordinační číslo . V tomto okamžiku je Ising Hamiltonian rozložen na součet jednočásticového Hamiltonianu s efektivním středním polem a středního pole kvůli sousedním spinům. Stojí za zmínku, že toto průměrné pole přímo závisí na počtu nejbližších sousedů, a tedy na rozměru systému (například pro hyperkubickou mříž o rozměru , ). $z$ $h^{\mathrm {eff} }=h+Jzm$ $d$ $z=2d$

Tento Hamiltonián je dosazen do distribuční funkce a efektivní jednorozměrný problém je vyřešen

Z=e^{-\beta Jm^{2}Nz/2}\left[2\cosh \left({\frac {h+mJz}{k_{B}T}}\right)\right ]^{N}

kde je počet uzlů mřížky. Toto je uzavřený a přesný výraz pro distribuční funkci systému. Z toho můžete získat volnou energii a zjistit kritické indexy. Zejména lze získat magnetizaci m jako funkci . $N$ $h^{\mathrm {eff} }$

Tak jsou získány dvě rovnice, které specifikují vztah mezi m , což nám umožňuje určit m v závislosti na teplotě. Důsledkem toho je následující: $m$ $h^{\mathrm {eff} }$

pro teploty nad určitou hodnotu je jediným řešením . Systém je paramagnetický . $T_{c}$ $m=0$
neboť existují dvě nenulová řešení: . Systém je feromagnet . ${\displaystyle T<T_{c))$ ${\displaystyle m=\pm m_{0))$

$T_{c}$ se zjistí ze vztahu: . To ukazuje, že střední teorie pole může popsat fázový přechod do feromagnetického stavu. ${\displaystyle T_{c}={\frac {Jz}{k_{B))))$

Aplikace na jiné systémy

Podobně lze teorii středního pole aplikovat na další hamiltoniánce:

Při studiu fázového přechodu kov-supravodič. V tomto případě je analogem magnetizace supravodivá mezera . $\Delta$
Pro molekulární pole tekutých krystalů , ke kterému dochází, když je Laplacián ředitelského pole nenulový.
Stanovit optimální uspořádání postranních řetězců aminokyselin pro danou terciární strukturu při predikci struktury proteinů.

Zobecnění pro časově závislá střední pole

V teorii středního pole se objevuje pro jeden uzel jako skalární nebo vektor, ale nezávisí na čase. To však není nutné: ve variantě teorie, která se nazývá dynamická teorie středního pole, závisí střední pole na čase. Například dynamickou teorii lze aplikovat na Hubbardův model studiem přechodu kov-izolátor Mott .

Poznámky

↑ Kadanoff, LP More is the Same; Fázové přechody a střední teorie pole // Journal of Statistical Physics : deník. - 2009. - Sv. 137 , č. 5-6 . - str. 777-797 . - doi : 10.1007/s10955-009-9814-1 . - . - arXiv : 0906.0653 .
↑ Weiss, Pierre . L'hypothèse du champ moléculaire et la propriété ferromagnétique (francouzsky) // J. Phys. teor. Appl. :časopis. - 1907. - Sv. 6 , č . 1 . - S. 661-690 .
↑ Boudec, JYL; McDonald, D.; Mundinger, J. A Generic Mean Field Convergence Result for Systems of Interacting Objects // Fourth International Conference on the Quantitative Evaluation of Systems (QEST 2007 ) . - 2007. - S. 3. - ISBN 0-7695-2883-X . - doi : 10.1109/QEST.2007.8 .
↑ Baccelli, F.; Karpelevich, F.I.; Kelbert, M. Y.; Puhalskii, A.A.; Rybko, A.N.; Suhov, YM Mezní hodnota středního pole pro třídu sítí ve frontě // Journal of Statistical Physics : deník. - 1992. - Sv. 66 , č. 3-4 . — S. 803 . - doi : 10.1007/BF01055703 . - .
↑ Lasry, JM; Lvi, PLMean field games (neopr.) // Japanese Journal of Mathematics. - 2007. - T. 2 . - S. 229 . - doi : 10.1007/s11537-007-0657-8 .
↑ Chaikin, PM; Lubenský, TC Principy fyziky kondenzovaných látek (neopr.) . — 4. tisk. - Cambridge: Cambridge University Press , 2007. - ISBN 978-0-521-79450-3 .
↑ H.E. Stanley. Teorie středního pole magnetických fázových přechodů // Úvod do fázových přechodů a kritických jevů (anglicky) . - Oxford University Press , 1971. - ISBN 0-19-505316-8 .