Model Ising

Isingův model  je matematický model statistické fyziky určený k popisu magnetizace materiálu.

Popis

Každému vrcholu krystalové mřížky (nejen trojrozměrné, ale jsou uvažovány i jednorozměrné a dvourozměrné případy) je přiřazeno číslo nazývané spin a rovné +1 nebo −1 („pole nahoru“ / „pole dolů“). . Každé z možných možností uspořádání spinů (kde  je počet atomů mřížky) je přiřazena energie vyplývající z párové interakce spinů sousedních atomů:

kde  je interakční energie (v nejjednodušším případě stejná pro všechny dvojice sousedních atomů). Někdy se také uvažuje o externím poli (často se předpokládá, že je malé):

Poté, pro danou reciproční teplotu , je Gibbsovo rozdělení uvažováno na výsledných konfiguracích : předpokládá se, že pravděpodobnost konfigurace je úměrná a chování takového rozdělení je studováno pro velmi velký počet atomů .

Například u modelů s rozměry většími než 1 dochází k fázovému přechodu druhého řádu : při dostatečně nízkých teplotách bude většina spinů feromagnetika (at ) orientována (s pravděpodobností blízkou 1) stejným způsobem. a při vysokých teplotách budou rotace téměř jistě „nahoru“ a „dolů“ téměř stejné. Teplota, při které k tomuto přechodu dochází (jinými slovy, při které magnetické vlastnosti materiálu mizí) se nazývá kritická nebo Curieův bod . V blízkosti bodu fázového přechodu se rozchází řada termodynamických charakteristik. Zkušenosti ukazují, že divergence má univerzální charakter a je určena pouze symetrií systému. Poprvé byly kritické exponenty divergence získány pro dvourozměrný Isingův model ve 40. letech L. Onsagerem . U ostatních dimenzí se studie provádějí pomocí metod počítačové simulace a renormalizačních skupin . Důvodem pro použití renormalizační skupiny je v tomto případě Kadanoffova bloková konstrukce a hypotéza termodynamické podobnosti .

Isingův model, který byl původně představen pro pochopení podstaty feromagnetismu, se ocitl v centru různých fyzikálních teorií souvisejících s kritickými jevy, kapalinami a roztoky, spinovými brýlemi, buněčnými membránami, modelováním imunitního systému , různými sociálními jevy atd. tento model slouží jako testovací prostor pro testování metod pro numerickou simulaci různých fyzikálních jevů.

Přesná řešení byla získána pro jednorozměrný a dvourozměrný Isingův model: pro jednorozměrný model samotným Isingem, pro dvourozměrný model od Onsagera v roce 1944 [1] .

Jednorozměrný Isingův model

V případě jedné dimenze lze Isingův model reprezentovat jako řetězec interagujících spinů. Pro takový model bylo nalezeno přesné řešení, ale v obecném případě problém nemá analytické řešení.

Algoritmus pro implementaci Isingova modelu metodou Monte Carlo na počítači

1. Vytvořte mřížku spinů (dvourozměrné pole), spiny jsou libovolně orientovány.
2. Vyberte náhodně jednu z buněk mřížky a vymažte hodnotu v ní.
3. Vypočítejte energie konfigurací, když je tato buňka naplněna rotacemi nahoru a dolů (nebo pro všechny možné stavy, pokud jich je více než dva).
4. Vyberte jednu z možností pro „vymazaný“ spin náhodně, s pravděpodobností úměrnou , kde  je energie v odpovídajícím stavu (protože všechny členy, které neovlivňují daný spin, jsou stejné, ve skutečnosti pouze součty nad sousedy nutno vypočítat).
5. Vrátíme se k bodu 2; po provedení dostatečného počtu iterací (určení je samostatný a obtížný úkol) se smyčka zastaví.

Aplikace

V roce 1982 Hopfield dokázal izomorfismus Isingova modelu a rekurentních modelů neuronových sítí [2] .

Kvantový počítač D-Wave Systems je založen na Isingově modelu. Efektivita počítače však vyvolává otázky, což bylo důvodem nového výzkumu, jehož účelem je správně porovnat klasické algoritmy a algoritmy pro počítače DWave. Ukázalo se, že existují problémy, na které adiabatický kvantový počítač rozhodně není efektivnější než klasický [3] .

Viz také

Poznámky

Komentáře

Zdroje

1. ↑ Gelfer Ya. M. , Historie a metodologie termodynamiky a statistické fyziky, 1981 , str. 426.
2. ↑ Khaykin S., 2006 , s. 79.
3. ↑ Katzgraber, Hamze, Andrist, 2014 , str. 6.

Literatura

Knihy

• Gelfer Ya. M. Historie a metodologie termodynamiky a statistické fyziky. - 2. vyd., přepracováno. a doplňkové - M . : Vyšší škola , 1981. - 536 s.
• Belavin A.A. , Kulakov A.G. , Usmanov R.A. Přednášky z teoretické fyziky . — M .: MTSNMO , 2001. — 224 s. — ISBN 5-900916-91-X .
• Baxter R. Přesně řešitelné modely ve statistické mechanice. — M .: Mir , 1985.
• Khaikin S. Neuronové sítě: kompletní kurz. - M. : Nakladatelství "Williams", 2006. - 1104 s. — ISBN 5-8459-0890-6 .
• Ziman J. Principy teorie tuhých těles. - M .: Mir, 1974. - 472 s.

Vědecké články

• Meilikhov E.Z. Tragický a šťastný život Ernsta Isinga  // Příroda. - 2006. - č. 7 .
• Stepanov IA Přesná řešení jednorozměrných, dvourozměrných a trojrozměrných Isingových modelů  // Nanověda a nanotechnologie: Indický časopis. - 2012. - Sv. 6, č. 3 . - S. 118-122. zdarma online..
• Katzgraber HG , Hamze F. , Andrist SR Skleněné chiméry by mohly být slepé vůči kvantovému zrychlení: Navrhování lepších měřítek pro stroje na kvantové žíhání  // Phys. Rev. X. - 2014. - Sv. 4. - S. 1-8. - doi : 10.1103/PhysRevX.4.021008 .