Renormalizační skupina

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 23. října 2021; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Metoda renormalizačních skupin (také často nazývaná metoda renormalizačních skupin , metoda RG ) v kvantové teorii pole je iterativní renormalizační metoda, ve které je přechod z oblastí s nižší energií do oblastí s vyšší energií způsoben změnou měřítka uvažování. systém.

V teoretické fyzice metoda renormalizační skupiny (také metoda renormalizační skupiny , RG ) odkazuje na matematický aparát, který umožňuje systematické studium změn ve fyzikálním systému, když je systém uvažován v různých prostorových měřítcích. Ve fyzice elementárních částic odráží závislost zákonů interakce na energetické škále, na které se fyzikální procesy začínají měnit.

Změna měřítka se nazývá "zmenšení" nebo "zmenšení " . Renormalizační skupina úzce souvisí s „ škálovou invariancí “ a „konformní invariantností“ symetrie , kdy systém vypadá na všech úrovních stejně (tzv. sebepodobnost ) [1] . (Všimněte si však, že škálovací transformace jsou zahrnuty do skupiny konformních transformací obecně: ty druhé zahrnují další generátory související se symetrií speciálních konformních transformací).

Když se změní měřítko, změní se i síla interakce, jako by se změnilo zvětšení podmíněného mikroskopu, pod kterým je systém pozorován. V takzvaných renormalizovatelných teoriích se systém v jednom měřítku bude typicky jevit jako složený ze sobě podobných kopií, když se na něj díváte v menším měřítku, s různými parametry popisujícími komponenty systému. Složky nebo základní proměnné mohou být vztaženy k atomům , elementárním částicím , atomovým spinům atd. Parametry teorie popisují interakci složek. Mohou to být proměnné parametry připojení, na kterých závisí vliv různých sil nebo hmotností. Samotné systémové komponenty se mohou ukázat jako složené z podobných komponent, ale menších.

Například v kvantové elektrodynamice (QED) se zdá, že elektron je složen z elektronů, pozitronů a fotonů při pohledu s vyšším rozlišením na velmi krátké vzdálenosti. Elektron na tak malé vzdálenosti má trochu jiný elektrický náboj než „oblečený elektron“ na velké vzdálenosti a tato změna elektrického náboje je určena rovnicí renormalizační skupiny.

Stojí za zmínku, že se vytvořily dva různé přístupy k metodě renormalizační skupiny: Wilsonův přístup a Bogolyubovův přístup . V prvním případě renormalizační grupa není grupou v přísném matematickém smyslu, protože neexistuje žádný inverzní prvek s ohledem na grupovou renormalizační operaci. Zhruba řečeno, můžeme systém považovat za složený ze stejných menších systémů, ale to neznamená, že počáteční "velký" systém vznikne smícháním "malých". Je to důsledek toho, že při uvažování soustav mnoha těles nás zajímají zprůměrované hodnoty a při zprůměrování dochází ke ztrátě informací souvisejících s interakcí subsystémů. Ve druhém případě již renormalizační skupina zcela odpovídá skupině v užším slova smyslu. Tyto přístupy se liší posloupností akcí: ve Wilsonově přístupu renormalizujeme veličiny zahrnuté v akci a poté je okamžitě zprůměrujeme, zatímco v Bogolyubově přístupu nejprve hledáme Greenovy funkce a poté je renormalizujeme.

Historie

Myšlenka renormalizační skupiny byla původně vyvinuta ve fyzice částic , ale nyní se rozšířila ve fyzice pevných látek , dynamice tekutin , kosmologii a dokonce i ekonometrii . První práci na toto téma napsali Stückelberg a Peterman v roce 1953. Všimli si, že renormalizace tvoří skupinu transformací. V kvantové elektrodynamice zavedli funkci h ( e ), nyní nazývanou beta funkce (viz níže).

Murray Gell-Man a Francis Low se v roce 1954 začali zajímat o myšlenku škálovacích transformací v kvantové elektrodynamice, které jsou fyzikálně nejvýznamnější, a zaměřili se na asymptotické chování fotonového propagátoru při vysokých energiích. Určili variace elektromagnetické interakce v kvantové elektrodynamice vyhodnocením snadnosti škálování struktury této teorie. Zjistili tedy, že vazebný parametr g (μ) na energetické škále μ je popsán grupovou rovnicí

g(\mu )=G^{-1}{\Big (}(\mu /M)^{d}G{\big (}g(M){\big )}{\Big )}

pro nějakou funkci měřítka G a konstantu d ve smyslu spojovacího parametru g ( M ) v závislosti na referenčním měřítku M.

Gell-Man a Low v těchto výsledcích ukázali, že efektivní měřítko μ může být zvoleno libovolně a může být měněno tak, aby definovalo teorii na jakémkoli jiném měřítku:

g(\varkappa )=G^{-1}{\Big (}(\varkappa /\mu )^{d}G{\big (}g(\mu ){\big )}{\Big )}=G^{-1}{\Velký (}(\varkappa /M)^{d}G{\big (}g(M){\big )}{\Velký )}.

Podstatou RG je grupová vlastnost: v závislosti na měřítku μ se teorie jeví jako sobě podobná a teorii pro jakoukoli stupnici lze podobně získat z teorie pro kteroukoli jinou pomocí transformace skupiny.

Beta funkci zavedli K. Callan a K. Symansik na počátku 70. let. Protože funkce beta je jednoduchou funkcí g , integrace narušené funkce beta přes g nám umožňuje podrobně popsat renormalizační trajektorii vazebního parametru, to znamená, že její změna s energií je ekvivalentní uvažování efektivní funkce G v této perturbaci. přiblížení. Předpovědi teorie renormalizačních grup (Stueckelberg, Peterman a Gell-Mann, Low) byly potvrzeny o 40 let později v experimentech na LEP : konstanta jemné struktury QED byla asi 1/127 při energiích kolem 200 GeV, na rozdíl od hodnota fyziky nízkých energií, rovna 1/137. (Časné aplikace kvantové elektrodynamiky byly diskutovány v klíčové knize Nikolaje Bogolyubova a Dmitrije Širkova z roku 1959).

Renormalizační grupa se získá renormalizací proměnných kvantového pole, což zpravidla odstraňuje problém divergencí v kvantové teorii pole (ačkoli RG existuje nezávisle na divergencích). Tento problém systematického vyhýbání se nekonečnům v kvantové teorii pole za účelem získání konečných fyzikálních veličin vyřešili pro QED Feynman , Schwinger a Tomonaga , kteří v roce 1965 obdrželi Nobelovu cenu za příspěvky ke kvantové teorii pole. Vyvinuli teorii renormalizace hmoty a náboje, ve které je nekonečno v reprezentaci hybnosti přeneseno na velký regularizátor Λ (který lze nakonec považovat za nekonečný – nekonečno odráží akumulaci příspěvků z nekonečného počtu stupňů volnosti na nekonečně velkém energetická stupnice). Závislost fyzikálních veličin, jako je elektrický náboj nebo hmotnost elektronu, je skryta na stupnici Λ, která je nahrazena škálou velkých vzdáleností, ve kterých jsou fyzikální veličiny měřitelné a v důsledku toho všechny pozorovatelné. veličiny jsou konečné i pro nekonečné Λ. Gell-Man a Low ukázali, že malá změna v g poskytovaná výše uvedenou rovnicí RG je dána funkcí ψ( g ); sebepodobnost je vyjádřena tím, že ψ( g ) výslovně závisí pouze na parametrech teorie, a nikoli na stupnici μ. Proto lze výše uvedenou rovnici RG vyřešit pro g (μ).

Hlubší pochopení fyzikálního významu a zobecnění metody renormalizace, které přesahuje rozšíření skupiny běžných renormalizovatelných teorií, přinesla fyzika kondenzovaných látek. Leo Kadanov v článku z roku 1966 navrhl renormalizační skupinu „block-spin“. Myšlenka blokování je způsob, jak definovat komponenty teorie na velké vzdálenosti jako soubor komponent na malé vzdálenosti.

Tento přístup použil Kenneth Wilson k vyřešení dlouhodobého problému Kondo a popisu přechodů druhého druhu. V roce 1982 mu byla udělena Nobelova cena za „teorii kritických jevů ve spojení s fázovými přechody“.

Mezitím RG ve fyzice elementárních částic přeformulovali K. Callan a K. Symansik v roce 1970. Výše zmíněná beta funkce, která popisuje běžící vazebné konstanty se změnou parametru měřítka, se také ukázala být rovna hodnotě „kanonické stopové anomálie“, což je kvantově mechanický zlom v teorii pole. Aplikace RG v částicové fyzice vedly v 70. letech 20. století k vytvoření Standardního modelu.

V roce 1973 bylo zjištěno, že teorie interagujících barevných kvarků , nazývaná kvantová chromodynamika , má negativní funkci beta . To znamená, že počáteční hodnota vysokoenergetického vazebného parametru povede k objevení se singulárního bodu μ, ve kterém se vazebný parametr prudce zvýší (diverguje). Tato konkrétní hodnota je měřítkem silné interakce, μ = Λ QCD, a vyskytuje se při energii asi 200 MeV. Naopak vazba zeslábne při velmi vysokých energiích (asymptotická svoboda) a kvarky se stanou pozorovatelnými jako bodové částice. QCD tedy bylo získáno jako kvantová teorie pole popisující silnou interakci částic.

RG v prostoru hybnosti se také stal vysoce rozvinutým nástrojem ve fyzice pevných látek, ale jeho úspěch byl brzděn rozšířeným používáním poruchové teorie, která bránila úspěchu v teorii silně korelovaných systémů. Aby bylo možné studovat silně korelované systémy, ukázal se variační princip jako nejlepší alternativa. V 80. letech 20. století bylo vyvinuto několik technik RG pro aplikace v reálném prostoru, přičemž nejúspěšnější byla metoda Density Matrix Renormalization Group (DMRG), kterou vyvinuli C. R. White a R. M. Noack v roce 1992.

Konformní symetrie je spojena s vymizením funkce beta. To se může stát, pokud je vazebná konstanta přitahována k pevnému bodu, kde β( g ) = 0. V QCD se pevný bod objevuje v malých vzdálenostech, kde g → 0, a nazývá se (triviální) ultrafialový pevný bod. Pro těžké kvarky, jako je top kvark , bylo vypočteno, že vazba s Higgsovým bosonem poskytujícím hmotu má tendenci k pevnému nenulovému infračervenému pevnému bodu.

Příklad výpočtu podle Wilsonova schématu

Podívejme se na teorii v euklidovském d - rozměrném prostoru . Dohodněme se, že použijeme stejná označení pro funkce a jejich Fourierovy transformace , přičemž změníme pouze argument funkce: x pro reprezentaci souřadnic, p pro reprezentaci impulsu. Při přijímání integrálů se používá reprezentace souřadnic. Lagrangian v této teorii je psán jako $\phi^4$

{\mathcal {L}} (\phi )={\frac {m^{2}}{2}}\phi ^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _ {\mu }\phi )^{2}+{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4}.

Partiční funkce je v tomto případě reprezentována jako funkční integrál

Z=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left[-\int d^{(d)}x\left({\frac {m^{2}}{2}}\ phi ^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\frac {\lambda }{4!)}}\phi ^{4 } \vpravo)\vpravo].

Je známo, že v renormalizovatelné kvantové teorii stupně volnosti s energií ovlivňují procesy s energií ~ M pouze nepřímo: přes renormalizaci konstant teorie. Proto je vhodné impuls "oříznout" o nějakou hodnotu : $\Lambda \gg M$ $\lambda$

[D\phi ]_{\Lambda }=\prod _{|p|<\Lambda }d\phi (p)

Potom lze funkci regularizovaného oddílu zapsat jako

Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{\Lambda }\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({\frac { m^{2}}{2}}\phi ^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\frac {\lambda } {4!}}\phi ^{4}\right)\right].

Integrační proměnné rozdělujeme do dvou skupin ( ): $0<b<1$

{\hat {\phi }}(p)={\begin{cases}\phi (p),&b\Lambda \leqslant |p|<\Lambda ,\\0,&|p|<b\ Lambda .\end{cases}}

\phi (p)={\begin{cases}0,&b\Lambda \leqslant |p|<\Lambda ,\\\phi (p),&|p|<b\Lambda .\end{cases }}

A dosaďte ve výrazu funkci regularizovaného rozdělení:

Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }\int {\mathcal {D}}{\hat {\phi }}\exp \left[ -\int d^{(d)}x\left({\frac {m^{2}}{2}}(\phi +{\hat {\phi }})^{2}+{\frac { 1}{2}}(\částečné _{\mu }\phi +\částečné _{\mu }{\hat {\phi }})^{2}+{\frac {\lambda }{4!)} } (\phi +{\hat {\phi )))^{4}\right)\right].

Otevíráme závorky a přeskupujeme členy, přičemž bereme v úvahu, že příspěvky z mizí kvůli vlastnostem Fourierovy transformace (před převzetím akčního integrálu se vyplatí přejít do prostoru hybnosti) a naší definici funkcí a v forma hybnosti. $\phi {\hat {\phi ))$ $\phi$ ${\hat {\phi ))$

Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }e^{-\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}( \phi )}\int {\mathcal {D}}{\hat {\phi }}\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({\frac {m^{2)) {2}}{\hat {\phi }}^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }{\hat {\phi }})^{2}+\ lambda ({\frac {1}{6}}\phi ^{3}{\hat {\phi }}+{\frac {1}{4}}\phi ^{2}{\hat {\phi } }^{2}+{\frac {1}{6}}\phi {\hat {\phi }}^{3}+{\frac {1}{4!)}}{\hat {\phi } } ^{4})\vpravo)\vpravo].

Zde má Lagrangian stejnou formu jako počáteční Lagrangian. Pojďme se integrovat přes pole : ${\mathcal {L}} (\phi)$ ${\hat {\phi ))$

Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }\exp {\left[-\int d^{(d)}x{\mathcal {L }}_{\text{eff}}(\phi )\right]},

kde se liší od korekcemi úměrnými mocninám a jejich derivátům. Opravy mohou být prezentovány ve formě diagramů. Prostudujme výsledné efektivní působení metodou renormalizační skupiny. K tomu měníme měřítko vzdáleností a impulsů podle pravidla . ${\mathcal {L}}_{\text{eff}}(\phi )$ ${\mathcal {L}} (\phi)$ $\lambda ,\phi$ $\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\text{eff}}(\phi )$ $x'=bx,\ p'=p/b,\ |p|<\Lambda$

\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\text{eff}}(\phi )=\int d^{(d)}x'b^{-d} \left[{\frac {1}{2}}(1+\Delta Z)b^{2}(\partial '_{\mu }\phi )^{2}+{\frac {1}{2 }}(m^{2}+\Delta m^{2})\phi ^{2}+{\frac {1}{4!}}(\lambda +\Delta \lambda )\phi ^{4} +\Delta Bb^{4}(\partial '_{\mu }\phi )^{4}+\Delta C\phi ^{6}+\ldots \right].

Udělejme substituce, ve kterých bude mít akce svou původní podobu:

\phi '=[b^{(2-d)}(1+\Delta Z)]^{1/2}\cdot \phi ,

m'^{2}=(1+\Delta Z)^{-1}(m^{2}+\Delta m^{2})b^{-2},

\lambda '=(1+\Delta Z)^{-2}(\lambda +\Delta \lambda )b^{d-4},

B'=(1+\Delta Z)^{-2}(B+\Delta B)b^{d},

C'=(1+\Delta Z)^{-3}(C+\Delta C)b^{2d-6}.

tudíž

\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\text{eff}}(\phi )=\int d^{(d)}x'\left[{\frac {1}{2}}(\partial '_{\mu }\phi ')^{2}+{\frac {1}{2}}m'^{2}\phi '^{2}+{ \frac {1}{4!}}\lambda '\phi ^{4}+\Delta B(\částečné '_{\mu }\phi ')^{4}+\Delta C'\phi '^{ 6}+\ldots\right].

Jak vidíte, závislost na rozměru se přenesla do parametrů modelu. Pojďme je analyzovat. V malém okolí pevného bodu lze přírůstky parametrů zanedbat . Ve statistické fyzice to odpovídá zvažování dynamiky systému blízko kritického bodu. $\Delta m^{2},\Delta Z,\Delta \lambda$

m'^{2}=m^{2}b^{-2},\ \lambda '=\lambda b^{d-4},\ B'=Bb^{d},\ C' =Cb^{2d-6}.

Od , pak rostou parametry, které se násobí zápornými mocninami a naopak. $b<1$ $b$

Parametry modelu, které se během popsaného postupu zvyšují, se nazývají zásadní .
Parametry modelu, které jsou popsaným postupem redukovány, se nazývají nevýznamné .
Parametry modelu, které se během popsaného postupu nemění, se nazývají marginální .

Je zřejmé, že poslední dva parametry jsou nepodstatné a teorie at je renormalizovatelná. Tento obrázek samozřejmě platí, pokud se hromadný operátor nestane dominantním. $\phi^4$ $d=4$

Renormalizační skupina ve fyzice pevných látek

Ve fyzice pevných látek se renormalizační skupina používá k sestavení matematických modelů fázových přechodů. Rozšiřme přírůstek energie v Taylorově řadě v závislosti na místní magnetizaci . V kritické oblasti hraje koeficient b důležitou roli, protože a má tendenci k nule. Lokální magnetizace je rozšířena ve Fourierově řadě jako součet nekonečného počtu sinusových vln s různými vlnovými vektory a frekvencemi. Kvanta magnetizačních vln se nazývají fluktuace . Stejně jako fotony světelných vln mají fluktuace energii a hybnost . Fluktuace ve feromagnetiku se vzájemně ovlivňují rozptylem na sobě. Je vhodné vypočítat procesy rozptylu fluktuací pomocí Feynmanových diagramů . V těchto diagramech čáry odpovídají pohybujícím se částicím (fluktuacím) a body odpovídají jejich srážkám. Skutečná síla interakce fluktuací se nazývá efektivní vazebná konstanta g. Vyřízli jsme Feynmanův diagram dvou až dvou rozptylových procesů v místě, kde procházejí dvě střední částice. Uvažujme vpravo všechny možné bloky znázorňující dva až dva rozptylové procesy. Po sečtení je pravá strana součtem s nekonečným počtem členů, které představují konstantu g. Podívejme se vlevo na všechny možné bloky znázorňující dva až dva rozptylové procesy. Po sečtení je levá strana součtem s nekonečným počtem členů, které představují konstantu g. Výsledkem je, že místo nekonečné množiny členů, z nichž každý závisí na vazebné konstantě b, dospějeme k jednomu členu závislému na konstantě g. Tento postup nahrazení jedné vazebné konstanty jinou se nazývá renormalizace. Metoda renormalizačních skupin umožňuje vysvětlit nezávislost typu kritické asymptotiky na materiální a fyzikální povaze fázového přechodu. $\Delta E=a{\bar {m^{2}}}+b{\bar {m^{4}}}$ $\omega$ $\hbar {\bar {k))$

Renormalizační skupina ve statistické fyzice

Metoda renormalizačních skupin je obecně uznávaným nástrojem pro studium fázových přechodů druhého řádu a kritických jevů. Problémy statistické fyziky zahrnují problémy s nekonečným počtem stupňů volnosti. Například: problémy teorie kritického chování nebo stochastické dynamiky s časově závislými klasickými náhodnými poli. Podle toho je systém dán nekonečnou rodinou Greenových funkcí. Na takové problémy zpravidla neexistuje přesné řešení. Proto musíme mluvit o asymptotice v doménách. Technika RG pouze ukáže existenci odpovídajícího škálování. A pokud existuje, pak získáme explicitní vzorce pro výpočet kritických exponentů pomocí ε-expanze ( d = 4 − ε). Kritické exponenty popisují anomálie v různých termodynamických charakteristikách systému v oblasti fluktuace, tj. v blízkosti bodu fázového přechodu.

To znamená, že technika RG je metoda pro výpočet asymptotiky Greenovy funkce v oblasti velkých (UV) a malých (IR) momentů. Uvažujeme netriviální asymptotiku: existují členy poruchové řady s singularitou v momentech. V takových případech nám tedy nestačí sečíst kus série. Je nutné sečíst celou řadu. Takové operace se provádějí pomocí RG-techniky. Výsledkem je lineární parciální diferenciální rovnice pro Greenovu funkci. Ale jak již bylo řečeno, máme dvě oblasti. A výsledné řešení je správné pouze v jednom z nich. Jak najdeme tuto oblast použití? Uvažujme β-funkci, koeficient derivace v operátoru RG. Obvykle to vypadá $\partial _{g}$

\beta (g)=\alpha g+\beta g^{2}+\gamma g^{3}+\delta g^{4}+\epsilon g^{5}+\phi g^{6 }\ldots ,

\beta (g^{*})=0\quad \Rightarrow \quad g^{*}

je pevný bod.

Vždy existuje triviální řešení g * = 0. V závislosti na chování funkce β( g ) v okolí g * = 0 se tedy rozlišují pevné body UV-atraktivní a IR-atraktivní.

Za zmínku stojí také univerzálnost a hypotéza podobnosti.

Systémy patří do stejné třídy, pokud se kritické exponenty a normalizované škálovací funkce pro tyto systémy shodují. Například systémy "plyn-kapalina" a "feromagnety" patří do stejné třídy.
Hypotéza podobnosti je taková, že asymptotiky termodynamických funkcí, které nás zajímají, v blízkosti kritického bodu mají vlastnost homogenity.

Zvažte schéma analýzy RG pro jakýkoli model.

Stojí za to zopakovat, že úkolem RG analýzy je zdůvodnit kritické škálování a vypočítat kritické indexy. Zajímají nás zajímavé výsledky, které nejsou závislé na libovůli konečné renormalizace. Dále zvážíme pouze schéma výpočtu.

Určení rozměrů všech veličin v akčním funkcionálu a odmítnutí IR jsou ve srovnání s hlavní interakcí nevýznamné.
Určení divergence diagramů všech 1-ireducibilních funkcí (pro d = d * ) a struktur potřebných protičlenů.
Získání RG rovnic pro renormalizované objekty a vzorců vyjadřujících RG funkce pomocí renormalizačních konstant Z .
Výpočet z diagramů renormalizačních konstant Z ve tvaru počátečních úseků řady v náboji g .
Výpočet RG funkcí β a γ ve formě počátečních segmentů řady v g pomocí vzorců, které je vyjadřují pomocí Z . β jsou funkce všech nábojů, γ jsou anomální rozměry.
Výpočet pomocí β-funkcí souřadnic pevných bodů g * a odpovídajících indexů ω ve tvaru počátečních segmentů ε-expanze. Pokud mezi body g * nejsou žádné IR-stabilní body, pak nebude kritické škálování. Pokud takové body existují, uděláme další krok.
Pro každé g * γ( g * ) jsou vypočteny odpovídající kritické exponenty. V komplexních modelech je možné vypočítat 1–2 řády ε-expanze indexů a pochopit obecný obraz chování fázových trajektorií.
Výpočet počátečních segmentů ε-expanze různých škálovacích funkcí.
Analýza jejich singularit mimo rámec ε-expanze pomocí techniky RG a Wilsonova operátorového rozšíření.
Analýza renormalizace a výpočet kritických rozměrů různých systémů složených operátorů.

Viz také

Poznámky

↑ Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Renormalizační skupina? Je to velmi jednoduché // Příroda . - 1984, č. 8. - S. 3-13.

Odkazy

Renormalization group na arxiv.org
Vergeles S. N. Přednášky o kvantové elektrodynamice. - M. : Fizmatlit, 2006. - ISBN 5-9221-0634-1
Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Úvod do teorie kvantovaných polí. 7 vydání ve 4 jazycích. 4. vyd. — M .: Nauka, 1984.
Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Kvantová pole. (3. vyd.) - M. : Fizmatlit, 2005. - ISBN 5-9221-0580-9 .
Shirkov DV Bogoliubovská renormalizační skupina. (anglicky) .
Vasiliev AN Skupina renormalizace kvantového pole v teorii kritického chování a stochastické dynamiky. - Petrohrad. : nakladatelství PNPI, 1998.(přeloženo do angličtiny)
Sokolov A. I. Critical fluktuations and the renormalization group // Soros Educational Journal , 2000, č. 12. - S. 98.
Sokolov A.I. Renormalizační skupina v teorii fázových přechodů // Škola PNPI FKS-2011