Matematika a výtvarné umění

Matematika a umění jsou propojeny různými způsoby. Matematiku samotnou lze považovat za uměleckou formu, protože se v ní nachází zvláštní krása . Stopy matematického myšlení se objevují v hudbě, tanci, malbě, architektuře, sochařství a tkalcovském umění. Tento článek je věnován propojení matematiky s výtvarným uměním.

Matematika a umění mají dlouhou historii vztahu. Malíři se uchýlili k matematickým konceptům ze 4. století před naším letopočtem. E. Starověký řecký sochař Polikleitos starší pravděpodobně vytvořil kompozici „Canon“ a sochařský model (zachovaný v přibližných replikách) ideální postavy sportovce. Opakovaně se tvrdilo, že starověcí umělci a architekti používali zlatý řez , ale neexistují pro to žádné vážné důkazy. Italský matematik Luca Pacioli , významná postava italské renesance , napsal pojednání Božský úměr ( latinsky:  De Divina Proportione ) ilustrovaný dřevoryty podle kreseb Leonarda da Vinciho . Další italský malíř , Piero della Francesca , rozvinul Euklidovy myšlenky o perspektivě napsáním pojednání O perspektivě v malířství ( italsky  De Prospectiva Pingendi ). Rytec Albrecht Dürer ve své slavné rytině „ Melancholia “ poskytl mnoho skrytých symbolických odkazů na geometrii a matematiku. Grafik 20. století M. C. Escher , konzultovaný matematikem Haroldem Coxeterem , hojně využíval obrazy parket a hyperbolické geometrie . Umělci hnutí „ De Stijl “, vedení Theo van Doesburgem a Pietem Mondrianem , explicitně používali geometrické motivy. Matematika ovlivnila různé formy pletení , vyšívání , tkaní a tkaní koberců . Islámské umění je charakterizováno symetriemi nalezenými v perském a marockém zdivu , děrovanými mughalskými kamennými zástěnami a běžnými voštinovými klenbami .

Byla to matematika, která umělcům poskytla nástroje jako lineární perspektivu, analýzu symetrií a dala jim všechny druhy geometrických objektů, jako jsou mnohostěny nebo Möbiův pás . Výuková praxe inspirovala Magnuse Wenningera k vytvoření vícebarevných hvězdicových mnohostěnů . Obrazy Rene Magritte a Escherovy rytiny využívají rekurzi a logické paradoxy. Fraktální grafika je dostupná formám počítačového umění , zvláště ztvárnění sady Mandelbrot . Některé články ilustrují celulární automaty . Umělec David Hockney přišel s ostře zpochybněnou hypotézou, že jeho kolegové od renesance používali camera lucida k přesnému zobrazení scén. Architekt Philip Steadman tvrdí, že Jan Vermeer použil cameru obscuru .

Spojení mezi matematikou a uměním je vyjádřeno mnoha jinými způsoby. Umělecké předměty jsou podrobeny algoritmické analýze pomocí rentgenové fluorescenční spektroskopie . Zjistilo se, že tradiční batika z celé Jávy má fraktální rozměr 1 až 2. Nakonec toto umění dalo podnět k nějakému matematickému výzkumu. Filippo Brunelleschi formuloval teorii perspektivy při vytváření architektonických výkresů a později ji vyvinul Gérard Desargues , čímž položil základy projektivní geometrie . Pythagorejská myšlenka boha-geometru je v souladu s principy posvátné geometrie , což se odráží i v umění. Typickým příkladem je The Great Architect od Williama Blakea .

Původ: Starověké Řecko do renesance

Polyclete 's "Canon" a "symetrie"

V dějinách antického umění je znám termín „čtvercové postavy“ (( starořecky τετραγωνος ). Starověký římský spisovatel Plinius starší (23-79 n. l.) nazval bronzové sochy starověkého řeckého sochaře „vypadající čtverec“ ( lat . .  signa quadrata ) z argejské školy Polykleta Staršího (asi 450-420 př. n. l.), zejména slavného Doryfora a Diadumena .“ Současně se odvolával na encyklopedistu Marka Terentia Varra (116-27 př. n. l.) , což naznačuje, že slovo „čtverec“ může označovat nikoli povahu siluety sochy, ale způsob proporcí , stanovený v teoretické práci Polikleta „ Kánonu “ [2] . Pojednání, pokud existovalo, nemá přežil, ale má se za to, že sochař vytvořil jako ilustraci stejného oštěpaře, později známého jako Doryforos [3] .Podle autorova záměru měl „Kánon“ stanovit standard pro ideální anatomické proporce v zobrazení mužská postava.

Starověký řecký filozof Platón (asi 427-347 př. n. l.) zmínil geometrickou metodu zdvojnásobení plochy čtverce tím, že na jeho diagonále postavil větší čtverec. Druhý čtverec obsahuje čtyři "poloviny" prvního, proto je jeho plocha dvakrát větší [4] . Tato nejjednodušší konstrukce obsahuje důležitou pravidelnost. Úhlopříčka čtverce je iracionální veličina. Vezmeme-li stranu čtverce jako 1, pak je jeho úhlopříčka rovna nebo 1,414... Systém měr založený na čtverci a jeho úhlopříčce tedy nese dualitu, polyfonní princip vztahů mezi jednoduchými celými čísly a iracionálními čísly.

Sochy sportovců na obrázku Polykleita skutečně vypadají „čtvercově“ (v jiném překladu „široké proporce“). Při analýze jejich proporcí se ukazuje, že modulem figury je strana čtverce, jejíž úhlopříčka zase slouží jako strana většího čtverce atd. Výsledkem je, že všechny části sochy lemují nahoru proporcionálně v systému "párových opatření": racionální a iracionální vztahy. Výška celé postavy je tedy rozdělena na dvě, čtyři a osm částí (hlava postavy je 1/8 výšky). Při plastickém pohybu (sportovec se opírá o jednu nohu, druhá noha je pokrčená v koleni a posazená dozadu) však vznikají iracionální vztahy. Vezmeme-li jako celek (stranu malého čtverce) horní část postavy (bez ohledu na její skutečnou velikost) - hlavu a trup až po hřeben kyčelní (na kterém leží šikmé svaly) - jako celek, pak se spodní část obrázku (pánevní pletenec a opěrná noha) bude rovnat 1,618 (strana většího čtverce). V souladu s tím je celá výška obrázku 2,618. Tyto vztahy spojuje vzor „ zlatého řezu “, který objevili staří Egypťané a který je univerzální [5] .

Vliv „kánonu“ se rozšířil na sochařství starověkého Řecka, starověkého Říma a renesance. Žádné z Polykleitových děl se do dnešních dnů nedochovalo, dochované mramorové repliky jsou přibližné a výrazně se od sebe liší. Ztratil se i samotný text traktátu, i když se zachovaly citace a komentáře antických autorů [3] . Někteří učenci tvrdí, že Poliklet byl zase ovlivněn učením Pythagorejců [6] . „Canon“ pracuje se základními pojmy starověké řecké geometrie: poměr, proporce a symetrie. Systém „Canon“ umožňuje popsat lidskou postavu pomocí souvislých geometrických posloupností [7] .

Perspektiva a proporce

Ve starověku se umělci neuchylovali k lineární perspektivě . Velikost objektů nebyla dána jejich odlehlostí, ale jejich tematickou důležitostí. Někteří středověcí malíři používali obrácenou perspektivu , aby upozornili na zvláště významné postavy. V roce 1021 islámský matematik Ibn al-Khaytham formuloval teorii optiky , ale neaplikoval ji na umělecké předměty [8] . Renesance je spojena s obnovou starověkých řeckých a římských kulturních tradic. Oživily se také myšlenky o aplikaci matematiky při studiu přírody a umění . Umělci pozdního středověku a renesance se zajímali o matematiku ze dvou důvodů. Nejprve chtěli malíři vědět, jak přesně zobrazit trojrozměrné předměty na dvourozměrném povrchu plátna. Za druhé, umělci, stejně jako někteří filozofové, věřili v matematiku jako pravou podstatu fyzického světa; výtvarné umění jako součást tohoto vesmíru podléhá zákonům geometrie [9] .

Počátky perspektivy vidíme u Giotta (1266-1337), který maloval vzdálené objekty algebraickým určením polohy čar v perspektivě. V roce 1415 zavedl architekt Filippo Brunelleschi spolu se svým přítelem Leonem Battistou Albertim ve Florencii geometrickou metodu vytváření perspektivy. Pomocí podobných trojúhelníků Euklida vypočítali zdánlivou výšku vzdálených objektů [10] [11] . Obrazy s perspektivou samotného Brunelleschiho byly ztraceny, ale Masacciova Trojice nám umožňuje vidět princip v akci [8] [12] [13] . Italský malíř Paolo Uccello (1397-1475) byl uchvácen novou technikou. V „ Bitvě u San Romana “ umístil zlomená kopí mezi perspektivní linie [14] [15] .

Dílo Piera della Francesca (asi 1415-1492) je příkladem přechodu italské renesance k nové ideologii. Jako významný matematik a zejména geometr napsal práce o stereometrii a teorii perspektivy. Mezi ně patří „ O perspektivě v malířství “ ( italsky  De Prospectiva Pingendi ), „Pojednání o účtech“ ( italsky  Trattato d'Abaco ) a „O pravidelném mnohostěnu“ ( italsky  De corporibus regularibus ) [16] [17] [ 18] . Historik Giorgio Vasari ve svých „ biografiích “ nazývá Piera „největším geometrem své doby a možná všech dob“ [19] . Pieroův zájem o perspektivu je vidět v jeho dílech Polyptych sv. Antonína [ 20] , Oltář sv. Augustina a Bičování Ježíše Krista . Jeho geometrické výzkumy ovlivnily další generace matematiků a umělců, mezi nimi Lucu Pacioliho a Leonarda da Vinciho . Je známo, že Pierrot studoval díla starověkých matematiků, včetně Archiméda [21] . Pierrot byl vycvičen v komerční aritmetice na „ škole počítadla “; jeho pojednání jsou koncipována ve stejném stylu jako učebnice „školy“ [22] . Možná byl Piero obeznámen s „ Knihou počítadla “ (1202) od Fibonacciho . Lineární perspektiva postupně pronikla do světa umění. V pojednání "O malbě" ( italsky  De pictura , 1435) Alberti napsal: "paprsky světla jdou z bodů na obrázku do oka podél přímky a tvoří pyramidu , kde oko je vrchol." Výřezem této pyramidy je obraz namalovaný podle principu lineární perspektivy [23] .

Piero v díle O perspektivě v malbě převádí svá empirická pozorování o perspektivě do matematických vyjádření a důkazů. Po Euklidovi definuje bod jako „nejmenší předmět vnímatelný okem“ ( italsky:  una cosa tanto picholina quanto e possible ad ochio comprendere ) [9] Piero vede čtenáře k zobrazení trojrozměrných těles na dvou -rozměrný povrch pomocí deduktivního uvažování [24] .

Současný umělec David Hockney tvrdí , že od 20. let 14. století jeho kolegové používali camera lucida , což vedlo k dramatickému zvýšení přesnosti a realističnosti maleb. Věří, že Ingres , van Eyck a Caravaggio [25] také používali toto zařízení . Odborný názor na tuto problematiku je nejednotný [26] [27] . Architekt Philip Steadman vyslovil další kontroverzní hypotézu [28] o Vermeerově použití camery obscury [29] .

V roce 1509 Luke (asi 1447-1517) publikoval pojednání „O božské proporci“, věnované matematickým a uměleckým aspektům proporcí , včetně lidské tváře. Leonardo da Vinci (1452–1519), který v 90. letech 14. století studoval u Pacioliho, ilustroval svůj text dřevoryty pravidelných mnohostěnů. Drátěné obrazy mnohostěnů vytvořené da Vincim jsou prvními ilustracemi tohoto druhu, které se k nám dostaly [30] . Byl jedním z prvních, kdo zobrazil mnohostěny (včetně kosočtverečných stěn) postavené na tvářích jiných postav – tak Leonardo demonstroval perspektivu. Samotné pojednání je věnováno popisu perspektivy v dílech Piera della Francesca, Melozza da Forliho a Marca Palmezzana [31] . Da Vinci studoval Pacioliho „Součet“ kopírováním tabulek s proporcemi [32] . Jak " Gioconda " , tak " Poslední večeře " jsou postaveny na principu lineární perspektivy s úběžníkem , který dává obrazu viditelnou hloubku [ 33 ] . Poslední večeře používá proporce 12:6:4:3 - jsou také přítomny v Athénské škole od Raphaela . Pythagoras, který je na něm vyobrazen, drží tabulku ideálních proporcí, které Pythagorejci přikládali posvátný význam [34] [35] . Vitruviánský muž Leonardo odráží myšlenky římského architekta Vitruvia ; dvě na sobě ležící mužské postavy jsou vepsány jak do kruhu, tak do čtverce [36] .

Již v 15. století používali malíři, kteří se zajímali o vizuální zkreslení, křivočarou perspektivu . Jan van Eyck „ Portrét Arnolfiniů “ ​​(1343) má vypouklé zrcadlo odrážející postavy hrdinů [37] . „Autoportrét ve vypouklém zrcadle“ (kolem 1523-1524) Parmigianino zobrazuje umělcovu téměř nezkreslenou tvář a silně zakřivené pozadí a ruku umístěnou na okraji [38] .

Trojrozměrné objekty mohou být zobrazeny docela přesvědčivě, aniž byste se uchýlili k perspektivě. Šikmé projekce , včetně kavalírské perspektivy (používané francouzskými bitevními malíři v 18. století k malování opevnění), jsou nepřetržitě a všudypřítomné mezi čínskými umělci od 1. do 2. do 18. století. Tato tradice přišla k Číňanům z Indie a tam ze starověkého Říma. Šikmá projekce je vidět v japonském umění, jako například v obrazech ukiyo-e od Torii Kiyonaga [39] .

Zlatý řez

Zlatý řez , přibližně rovný 1,618, byl znám i Euklidovi [40] . Mnoho současníků tvrdí [41] [42] [43] [44] , že se používal v umění a architektuře starověkého Egypta, starověkého Řecka, ale neexistuje pro to žádný spolehlivý důkaz [45] . Vznik tohoto předpokladu může být způsoben záměnou mezi zlatým řezem a „zlatým průměrem“, který Řekové nazývali „absence přebytku v některém ze směrů“ [45] . Pyramidologové od 19. století hovoří o použití zlatého řezu při navrhování pyramid a argumentují svou pozicí pochybnými matematickými argumenty [45] [46] [47] . S největší pravděpodobností byly pyramidy postaveny buď na základě trojúhelníku o stranách 3-4-5 (úhel sklonu - 53 ° 8 '), který je zmíněn v Ahmesově papyru , nebo na základě trojúhelníku s kosinusem π / 4 (úhel sklonu - 51 ° 50 ') [48] . Fasáda a podlaha Parthenonu , postaveného v 5. století před naším letopočtem. E. v Aténách , údajně navržený na základě zlatého řezu [49] [50] [51] . Toto tvrzení vyvrací i reálná měření [45] . Předpokládá se, že zlatý řez byl také použit při návrhu Velké mešity v Kairouanu v Tunisku [52] . Tato hodnota se však v původním návrhu mešity nenachází [53] . Historik architektury Frederic Makody Lund v roce 1919 uvedl, že katedrála Chartres (12. století), Lane (1157-1205) a katedrála Notre-Dame v Paříži (1160) byly navrženy v souladu s principem zlatého řezu [54] . Někteří badatelé tvrdí, že před zveřejněním Pacioliho práce v roce 1509 nebyla sekce známa ani umělcům, ani architektům [55] . Například výška a šířka fasády Notre-Dame de la Lane mají poměr 8/5 nebo 1,6, ale ne 1,618. Tento podíl je jedním z Fibonacciho poměrů , který je obtížné odlišit od zlatého řezu, protože konvergují k 1,618 [56] . Zlatý řez je pozorován mezi Pacioliho následovníky, včetně Leonardovy Giocondy [57] .

Rovinné symetrie

Rovinné symetrie byly pozorovány již několik tisíc let při tkaní koberců, dláždění, tkaní a vytváření mřížových objektů [58] [59] [60] [61] .

Mnoho tradičních koberců, ať už shaggy nebo kilim (ploché tkané), je rozděleno na centrální medailon a okrajovou část. Obě části mohou obsahovat symetrické prvky, přičemž symetrii ručně vyráběných koberců často narušují autorovy detaily, vzor a barevné variace [58] . Motivy anatolských kilimů jsou často samy o sobě symetrické. Obecný vzor implikuje přítomnost pruhů, včetně pruhů s přerušovanými motivy, a podobnosti šestiúhelníkových tvarů. Střední část může být charakterizována tapetovou skupinou pmm, zatímco rám může být charakterizován hraničními skupinami pm11, pmm2 nebo pma2. Kilimové z Turecka a Střední Asie mají zpravidla alespoň tři hranice, popsané různými skupinami. Výrobci koberců rozhodně usilovali o symetrii, ačkoli nebyli obeznámeni s její matematikou [58] . Matematik a architektonický teoretik Nikos Salingaros se domnívá, že estetický efekt koberců je dán speciálními matematickými technikami, blízkými teoriím architekta Christophera Alexandra . Jako příklad uvádí koberce Konya ze 17. století se dvěma medailony. Tyto techniky zahrnují konstrukci protilehlých dvojic objektů; barevný kontrast; geometrické rozlišení ploch pomocí doplňkových obrazců nebo koordinace ostrých rohů; zavedení složitých obrazců (počínaje jednotlivými uzly); konstrukce malých a velkých symetrických postav; reprodukce obrazců ve větším měřítku (poměr každé nové úrovně k předchozí je 2,7). Salingaros tvrdí, že každý úspěšný koberec splňuje minimálně devět z deseti podmínek. Navíc považuje za možné obléknout dané ukazatele do podoby estetické metriky [62] .

Dovedné indické mříže džali , vytvořené z mramoru, zdobí paláce a hrobky [59] . Čínské mřížky, vždy obdařené nějakým druhem symetrie – často zrcadlené , dvojitě zrcadlené nebo rotační  – jsou zastoupeny ve 14 ze 17 skupin tapet. Některé mají středový medailon, některé mají okraj patřící do skupiny bordur [63] . Mnoho čínských mřížek bylo matematicky analyzováno Danielem S. Dai. Podařilo se mu prokázat, že centrem tohoto umění je provincie Sichuan [64] .

Symetrie jsou běžné v textilních uměních, jako je prošívání [60] , pletení [65] , háčkování [66] , vyšívání [67] [68] , křížkové stehování a tkaní [69] . Je pozoruhodné, že symetrie na látce může být čistě dekorativní nebo symbolizovat status majitele [70] . Rotační symetrie se vyskytuje u kruhových objektů. Mnoho kupolí je vyzdobeno symetrickými vzory uvnitř i vně, např. mešita Sheikh Lutfulla (1619) v Isfahánu [71] . Reflexní a rotační symetrie jsou charakteristické pro vyšívané a krajkové prvky ubrusů a prostírání, vytvořené špulkami nebo technikou fritování . Tyto objekty jsou také podrobeny matematickému studiu [72] .

Islámské umění ukazuje symetrie v mnoha podobách, zejména perská mozaika girih . Tvoří jej pět kachlových tvarů: pravidelný desetiúhelník, pravidelný pětiúhelník, protáhlý desetiúhelník, kosočtverec a postava připomínající motýlka . Všechny strany těchto obrazců jsou stejné, všechny jejich úhly jsou násobky 36° (π/5 radiánů ), což dává pěti- a desetinásobné symetrie. Dlaždice je zdobena propleteným ornamentem (vlastní girih), který je obvykle viditelnější než okraje dlaždice. V roce 2007 si fyzici Peter Lu a Paul Steinhardt všimli podobnosti girih s kvazikrystalickými Penroseovými dlaždicemi [73] . Geometricky upravené dlaždice zellige jsou charakteristickým prvkem marocké architektury [61] . Voštinové saody nebo muqarnas jsou trojrozměrné, ale byly navrženy - kreslením geometrických buněk - ve dvou rozměrech [74] .

Mnohostěn

Pravidelné mnohostěny  jsou jedním z nejběžnějších předmětů v západním umění. Malý hvězdicový dvanáctistěn se například nachází v mramorových mozaikách baziliky sv. Marka v Benátkách ; autorství je připisováno Paolu Uccellovi [14] . Da Vinciho pravidelné mnohostěny jsou ilustrovány dílem Lucy Pacioliho On Divine Proportion [14] . Skleněný rhombicuboctahedron se nachází na portrétu Pacioliho (1495) od Jacopa de Barbari [14] . Na Durerově rytině „ Melancholia “ [14] je přítomen zkrácený mnohostěn a mnoho dalších předmětů souvisejících s matematikou . Poslední večeře od Salvadora Dalího zobrazuje Krista a jeho učedníky uvnitř obřího dvanáctistěnu .

Albrecht Dürer (1471–1528), rytec a grafik německé renesance, přispěl k teorii vydáním knihy „Guide to Measurement“ ( německy  Underweysung der Messung ) v roce 1525. Práce je věnována lineární perspektivě, geometrii v architektuře, pravidelným mnohostěnům a mnohoúhelníkům. Pravděpodobně se Dürer při svých cestách po Itálii inspiroval díly Pacioliho a Piera della Francesca [75] . Vzorky perspektivy v "Průvodci měřením" nejsou plně rozvinuté a nepřesné, ale Dürer plně osvětlil mnohostěn. Právě v tomto textu je poprvé zmíněn vývoj mnohostěnu , tedy rozvinutí (například papírového) mnohostěnu do plochého obrazce, který lze tisknout [76] . Dalším vlivným Dürerovým dílem jsou Čtyři knihy o lidských proporcích ( německy:  Vier Bücher von Menschlicher Proportion , 1528) [77] .

Slavná rytina od Dürera „Melancholia“ zobrazuje smutného myslitele sedícího u komolého trojúhelníkového lichoběžníku a magického čtverce [1] . O tyto dva předměty a rytinu jako celek mají moderní badatelé největší zájem v celém Dürerově díle [1] [78] [79] . Peter-Klaus Schuster vydal dvousvazkovou knihu o melancholii [80] , zatímco Erwin Panofsky o tomto díle pojednává ve své monografii [1] [81] . „ Hyperkubické těleso “ od Salvadora Dalího obsahuje trojrozměrné rozvinutí hyperkrychle  – čtyřrozměrného pravidelného mnohostěnu [82] .

Fraktální dimenze

Tradiční indonéská batikovaná malba používá jako rezervu vosk. Její motivy mohou korespondovat s prvky okolního světa (například rostlinami) nebo být abstraktní, až chaotické. Rezerva nemusí být přesně nanesena, praskání (praskání) vosku zesiluje efekt nahodilosti. Obraz má fraktální rozměr od 1 do 2 v závislosti na oblasti původu. Například batika z Cirebonu má rozměr 1,1, rozměr batiky z Yogyakarty a Surakarty (střední Jáva ) - od 1,2 do 1,5; Lasem (Severní Jáva) a Tasikmalai (Západní Jáva) mají rozměry od 1,5 do 1,7 [83] .

Dílo současného umělce Jacksona Pollocka v technice drippingu je pozoruhodné i svým fraktálovým rozměrem: Obraz „Číslo 14“ ( angl.  Number 14 , 1948) má rozměr 1,45. Jeho následná díla se vyznačují vyšším rozměrem, což svědčí o lepším studiu vzorů. Jeden z posledních Pollockových obrazů ,  Blue Poles , má 1,72 a jeho dokončení trvalo šest měsíců .

Složité vztahy

Astronom Galileo Galilei ve svém pojednání "The Assay Master " napsal, že vesmír je psán jazykem matematiky a že symboly tohoto jazyka jsou trojúhelníky, kruhy a jiné geometrické útvary [85] . Umělci, kteří chtějí poznat přírodu, musí podle Galilea především rozumět matematice. Matematici se naopak snažili analyzovat výtvarné umění prizmatem geometrie a racionality (v matematickém smyslu slova). Matematik Felipe Kuker navrhl, že tato věda, a zejména geometrie, slouží jako soubor pravidel pro "uměleckou tvorbu řízenou pravidly" ( angl.  "rule-driven artist creation" ), i když ne jediná [86] . Některé zvláště pozoruhodné příklady tohoto komplexního vztahu jsou popsány níže [87] .

Matematika jako umění

Matematik Jerry P. King píše o matematice jako o umění a tvrdí, že klíčem k ní jsou krása a elegance, nikoli nudný formalismus. King věří, že právě krása motivuje badatele v této oblasti [88] . Cituje esej „ Apology of a Mathematician “ (1940) jiného matematika G. H. Hardyho , kde se vyznává ze své lásky ke dvěma starověkým teorémům: k důkazu nekonečnosti Euklidových prvočísel a k důkazu iracionality odmocniny ze dvou. King hodnotí druhé podle Hardyho kritérií krásy v matematice : vážnost, hloubka, obecnost, překvapení, nevyhnutelnost a hospodárnost (Kingova kurzíva) a dochází k závěru, že důkaz je „esteticky atraktivní“ [89] . O kráse matematiky, jejíž každý rozměr nelze vyjádřit slovy, hovoří i maďarský matematik Pal Erdős : „Proč jsou čísla krásná? Bylo by ekvivalentní zeptat se, proč je Beethovenova Devátá symfonie krásná . Pokud to nevidíte, nikdo vám to nevysvětlí. ''Vím'', že čísla jsou krásná." [90] [91]

Matematické nástroje umění

V kontextu výtvarného umění dává matematika tvůrci mnoho nástrojů, jako je lineární perspektiva, popsaná Brookem Taylorem a Johannem Lambertem , nebo deskriptivní geometrie , kterou pozorovali již Albrecht Dürer a Gaspard Monge a nyní se používá pro softwarové modelování trojrozměrného objektů [92] . Od středověku (Pacioli) a renesance (da Vinci a Dürer) umělci využívali výdobytky matematiky pro tvůrčí účely [93] [94] . S výjimkou základů perspektivy ve starověké řecké architektuře se jeho rozšířené používání začalo ve 13. století, mezi průkopníky patřil Giotto . Pravidlo úběžníku formuloval Brunelleschi v roce 1413 [8] . Jeho objev inspiroval nejen da Vinciho a Dürera, ale také Isaaca Newtona , který studoval optické spektrum , Goetha , který napsal knihu „ O teorii barev “, a pak nové generace umělců, mezi něž patřili Philip Otto Runge , William Turner [95] , Prerafaelité a Wassily Kandinsky [96] [97] . Umělci také zkoumají symetrie přítomné v kompozici [98] . Matematické nástroje mohou používat umělci nebo samotní řemeslníci, jako v případě grafika M. C. Eschera (s přispěním Harolda Coxetera ) nebo architekta Franka Gehryho . Ten tvrdí, že počítačově podporované konstrukční systémy mu daly zcela nové způsoby vyjadřování [99] .

Umělec Richard Wright věří, že vizuální modely matematických objektů slouží buď k simulaci určitého jevu, nebo jsou objekty počítačového umění . Wright ilustruje svou pozici obrazem Mandelbrotovy sady , vytvořené celulárním automatem a počítačovým vykreslováním ; s odkazem na Turingův test diskutuje o tom, zda lze produkty algoritmů považovat za umění [100] . Stejný přístup je pozorován u Sasho Kalaidzewského, který uvažuje vizualizované matematické objekty: parkety, fraktály, obrazce hyperbolické geometrie [101] .

Jedním z průkopníků počítačového umění byl Desmond Paul Henry, který vytvořil „Drawing Machine 1“. Analogový výpočetní mechanismus založený na počítači zaměřovače byl představen veřejnosti v roce 1962 [102] [103] . Stroj mohl vytvářet složité, abstraktní, asymetrické, křivočaré, ale opakující se návrhy [102] [104] . Hamid Naderi Yeganeh vytváří postavy ryb, ptáků a dalších objektů reálného světa pomocí rodin křivek [105] [106] [107] . Současní umělci, včetně Mikaela H. Christensena, pracují v žánru algoritmického umění a vytvářejí skripty pro software. Systém vedený umělcem aplikuje matematické operace na daný soubor dat [108] [109] .

Od matematiky k umění

Je známo, že knihu „Science and Hypothesis“ (1902) od matematika a fyzika Henriho Poincarého četlo mnoho kubistů , včetně Pabla Picassa a Jeana Metzingera [111] [112] . Poincare neviděl v euklidovské geometrii objektivní pravdu, ale jen jednu z mnoha možných geometrických konfigurací. Možná existence čtvrté dimenze inspirovala umělce ke zpochybnění klasické perspektivy renesance a obrátili se k neeuklidovským geometriím [113] [114] [115] . Jedním z předpokladů kubismu byla myšlenka matematického vyjádření zápletky v barvě a formě. Historie abstrakcionismu začíná kubismem [116] . V roce 1910 Metzinger napsal: „[Picasso] vytváří volnou, mobilní perspektivu, z níž geniální matematik Maurice Princet odvodil celou geometrii“ [117] . Ve svých pamětech Metzinger vzpomínal:

„Maurice Princet nás často navštěvoval; ... rozuměl matematice jako umělec, jako estét apeloval na n - rozměrná kontinua. Rád v umělcích vzbuzoval zájem o nové pohledy na prostor , které objevil Schlegel a několik dalších. V tomhle vynikal." [118]

Modelování matematických tvarů pro výzkumné nebo výukové účely nevyhnutelně vede k bizarním nebo krásným tvarům. Ovlivnili je dadaisté Man Ray [119] , Marcel Duchamp [120] a Max Ernst [121] [122] a Hiroshi Sugimoto [123] .

Man Ray fotografoval modely geometrických obrazců v Pařížském institutu. Poincare. Jedním z nejslavnějších děl tohoto cyklu je The Mathematical Object ( francouzsky:  Objet mathematicique , 1934). Umělec naznačuje, že "Objekt" jsou Enneperovy povrchy s konstantním negativním zakřivením , odvozeným z pseudosféry . Matematický základ byl pro něj nesmírně důležitý; matematika mu umožnila vyvrátit „abstraktní“ charakter „Objektu“. Man Ray tvrdil, že zachycená postava je stejně skutečná jako pisoár, který Duchamp proměnil v umělecký předmět. Přesto připustil: "[Enneperův povrchový vzorec] pro mě nic neznamená, ale samotné formy byly stejně rozmanité a autentické jako ty, které se nacházejí v přírodě." Fotografie z Poincarého institutu použil v dílech podle Shakespearových her , např. při tvorbě Antony a Kleopatra (1934) [124] . Fejetonista Jonathan Keats, píšící do ForbesLife , tvrdí, že Man Ray fotografoval „eliptické paraboloidy a kuželové body stejným smyslným způsobem, jakým je zobrazovala Kiki de Montparnasse “ [125] a že „důvtipně přehodnotil chladné výpočty matematiků, aby odhalil topologii. touhy“ [126] [127] . Sochaři 20. století, včetně Henryho Moora , Barbary Hepworthové a Nahuma Gaba , také našli inspiraci v matematických modelech [128] . O svém stvoření Stringed Mother and Child ( 1938 ) Moore řekl :  „Nepochybně zdrojem mých strunových figurek bylo Muzeum vědy ; ... fascinovaly mě matematické modely, které jsem tam viděl; ... vědecké studium těchto modelů, ale schopnost vidět skrz provázky jako pták vypadá z klece a schopnost vidět jednu formu v druhé." [129] [130]

Umělci Theo van Doesburg a Piet Mondrian založili hnutí „ De Stijl “, které mělo „vytvořit vizuální slovník elementárních geometrických forem, srozumitelný každému a použitelný v jakékoli disciplíně“ [132] [133] [134] . Mnoho jejich děl vypadá jako lemovaná rovina s obdélníky a trojúhelníky, někdy kruhy. Členové „De Stijl“ malovali obrazy, vytvářeli nábytek a interiéry a zabývali se architekturou [133] . Když se hnutí zhroutilo, van Doesburg zorganizoval avantgardní skupinu Art Concret ( francouzsky:  Art concret , „konkrétní umění“). O své vlastní „Aritmetické kompozici“ (1929-1930) van Doesburg napsal: „struktura, kterou lze ovládat, určitý povrch bez náhodných prvků nebo osobních rozmarů“ [135] , zatímco „nepostrádá ducha, nepostrádá univerzální a ne ... prázdné, protože vše odpovídá vnitřnímu rytmu“ [136] . Kritik Gladys Fabre vidí ve „kompozici“ dvě progrese: růst černých čtverců a měnící se pozadí [137] .

Matematika parket , mnohostěnů, forem prostoru a sebereprodukce dala grafikovi M. K. Escherovi (1898-1972) doživotní zásobu parcel [138] [139] . Na příkladu mozaiky Alhambra Escher ukázal, že umění lze vytvořit pomocí jednoduchých figurek. Poháněl letadlo a používal nepravidelné mnohoúhelníky, odrazy, symetrii pohledu a paralelní translaci . Vytvářel rozpory mezi perspektivní projekcí a vlastnostmi trojrozměrného prostoru, zobrazoval v reálném světě nemožné, ale estetické konstrukce. Litografie „ Descending and Ascending “ (1960) nám ukazuje nemožné schodiště , jehož objevení je spojeno se jmény Lionela (otec) a Rogera (syna) Penrose [140] [141] [142] .

Teselace vytvořené Escherem jsou poměrně četné a některé nápady se zrodily v rozhovorech s matematikem Haroldem Coxeterem o hyperbolické geometrii [143] . Nejvíce ze všeho Eschera zajímalo pět mnohostěnů: čtyřstěny, krychle, osmistěny, dvanáctistěny a dvacetistěny. Postavy se v jeho díle objevovaly opakovaně, zvláště patrné jsou však v dílech „Řád a chaos“ (1950) a „Čtyři pravidelné mnohostěny“ (1961) [144] . Tyto hvězdicové útvary spočívají uvnitř jiné postavy, což dále narušuje úhel pohledu a vnímání mnohostěnů [145] .

Vizuální komplexnost parket a mnohostěnů tvořila základ mnoha uměleckých děl. Stuart Coffin vytváří mnohostěny ze vzácných dřevin, George W. Hart studuje a vyřezává mnohostěny a Magnus Wenninger vytváří modely hvězdných formací [146] .

Zkreslené perspektivy anamorfózy jsou v malířství známy již od 16. století. V roce 1553 namaloval Hans Holbein Jr. „ Ambassadors “, přičemž do popředí umístil silně zdeformovanou lebku. Následně byly do arzenálu Eschera a další grafiky přidány anamorfní techniky [147] .

Topologické zápletky jsou patrné v současném umění . Sochař John Robinson (1935-2007) je známý svými díly Gordian Knot a Bands of Friendship ,  ilustracemi teorie uzlů v leštěném bronzu [9] . Některé z dalších Robinsonových soch se zabývají topologií tori . "Stvoření" ( ang. Genesis ) je postaveno na principu boromejských prstenů : tři kruhy nejsou spojeny do párů, ale mohou být rozpojeny pouze zničením celé struktury [148] . Helaman Ferguson vyřezává povrchy a další topologické objekty [149] . Jeho dílo The Eightfold Way je založeno na projektivní speciální lineární grupě PSL(2, 7) , konečné grupě se 168 prvky [150] [151] . Sochařka Bathsheba Grossman je také známá ztělesněním matematických struktur [152] [153] .    

Předměty jako Lorentzova manifold a hyperbolická rovina jsou znovu vytvořeny mistry tkacího umění, včetně háčkování [154] [155] [156] . V roce 1949 vydala tkadlena Ada Dietz monografii Algebraické výrazy v ručně tkaných  textiliích , kde navrhla nová schémata tkaní založená na expanzi vícerozměrných polynomů [157] . Pomocí pravidla 90 pro buněčný automat vytvořil matematik Jeffrey C. P. Miller tapisérie zobrazující stromy a abstraktní vzory trojúhelníků [158] ; celulární automaty se také používají k přímé tvorbě digitálního vizuálního umění [159] . Math Knitters [  160] [ 161] Pat Ashforth a Steve Plummer pletou vzory pro hexaflexagon a další figurky pro studenty. Pozoruhodné je, že se jim nepodařilo uvázat Mengerovu houbu – byla vyrobena z plastu [162] [163] . Ashforth a Plummerův projekt mathghans [ 164 ] přispěl k začlenění teorie pletení do osnov britských matematických a technologických osnov [165] [166] .  


Ilustrující matematiku

Modelování není zdaleka jediný způsob, jak ilustrovat matematické pojmy. Stefaneschiho Triptych ( 1320) od Giotta obsahuje rekurzi . Střední panel averzu (vlevo dole) nám ukazuje samotného kardinála Stefaneschiho; klečící nabízí jako dárek malou kopii Triptychu [167] . Metafyzické obrazy Giorgia de Chirica , včetně Velkého metafyzického interiéru (1917) se zabývají tématy úrovní reprezentace v umění; de Chirico maluje obrázky do obrázků [168] .

Umění dokáže zachytit logické paradoxy. Surrealista René Magritte tvořil své obrazy jako sémiotické vtipy, zpochybňující vztah mezi povrchy. Obraz " Podmínky lidské existence " (1933) zobrazuje stojan s plátnem; krajina podporuje výhled z okna, jehož rámy jsou naznačeny závěsy. Escher postavil děj Obrazárny (1956) stejným způsobem: zkreslený pohled na město, galerie umístěná ve městě, obraz samotný jako exponát. Rekurze pokračuje do nekonečna [169] . Magritte zkresloval realitu i jinak. Mentální aritmetika (1931) zobrazuje osadu, kde vedle sebe stojí domy s koulemi a kvádry, jako by dětské hračky narostly do obřích rozměrů [170] . Novinář pro The Guardian poznamenal, že „strašidelný plán města hraček“ [171] se stal proroctvím, ohlašujícím uzurpaci „starých vhodných forem“ [172] modernisty . Magritte si zároveň pohrává s lidskou tendencí hledat vzory v přírodě [173] .

Poslední obraz Salvadora Dalího , The Swallow's Tail (1983), uzavírá sérii děl inspirovaných teorií katastrofy Reného Thomase [174] . Španělský malíř a sochař Pablo Palazuelo (1916-2007) vyvinul styl, který nazval „geometrie života a celé přírody“. Palazuelova umělecká díla jsou pečlivě strukturované a barevné sady jednoduchých postav. Jako prostředek sebevyjádření využívá geometrické transformace [9] .


Umělci neberou geometrii vždy doslova. V roce 1979 vyšla kniha Gödel , Escher, Bach od Douglase Hofstadtera , kde se zamýšlí nad zákonitostmi lidského myšlení, včetně propojení umění s matematikou:

„Rozdíl mezi Escherovými kresbami a neeuklidovskou geometrií je v tom, že u neeuklidovské geometrie je možné najít smysluplné interpretace pro nedefinované pojmy takovým způsobem, že se systém stane srozumitelným, zatímco u prvního je konečný výsledek v rozporu s naším pojetím svět, bez ohledu na to, jak dlouho budeme obraz považovat." [175]

Hofstadter odkazuje na paradox Escherovy „Picture Gallery“ a charakterizuje ji jako „podivnou smyčku nebo spletitou hierarchii“ [176] úrovní reality. Umělec sám není v této smyčce zastoupen; jeho existence ani fakt autorství nejsou paradoxy [177] . Vakuum ve středu obrázku přitáhlo pozornost matematiků Barta de Smita a Hendrika Lenstra. Naznačují přítomnost Droste efektu : obraz se sám reprodukuje v otočené a stlačené podobě. Pokud je Droste efekt skutečně přítomen, je rekurze ještě komplikovanější, než došel Hofstadter [178] [179] .

Analýza dějin umění

Algoritmická analýza uměleckých děl, například rentgenová fluorescence , umožňuje detekovat vrstvy následně přemalované autorem, obnovit původní vzhled popraskaných nebo ztmavlých obrazů, odlišit kopie od originálu a odlišit mistrovu ruku od studentský [180] [181] .

Technika „kapání“ Jacksona Pollocka [182] je pozoruhodná svou fraktální dimenzí [183] ​​​​. Pollockův řízený chaos [184] byl pravděpodobně ovlivněn Maxem Ernstem. Otáčením kbelíku s barvou s perforovaným dnem přes plátno vytvořil Ernst Lissajousovy figury [185] . Počítačový vědec Neil Dodgson se pokusil zjistit, zda lze pruhovaná plátna Bridget Rileyové matematicky charakterizovat . Analýza vzdáleností mezi pásy "dala definitivní výsledek", v některých případech byla hypotéza globální entropie potvrzena , ale neexistovala žádná autokorelace , protože Riley měnil vzory. Lokální entropie fungovala lépe, což bylo v souladu s tezemi kritika Roberta Koudelky o umělcově díle [186] .

V roce 1933 představil americký matematik George D. Birkhoff veřejnosti dílo „Aesthetic Measure“ – kvantitativní teorii estetické kvality malby. Birkhoff vyloučil otázky konotace z úvahy a zaměřil se na geometrické vlastnosti ("prvky řádu") obrazu jako mnohoúhelníku. Aditivní metrika nabývá hodnot od -3 do 7 a kombinuje pět charakteristik:

Druhá metrika odráží počet čar obsahujících alespoň jednu stranu mnohoúhelníku. Birkhoff definuje míru estetiky objektu jako poměr . Postoj lze interpretovat jako rovnováhu mezi potěšením, které poskytuje kontemplace objektu, a složitostí konstrukce. Birkhoffova teorie byla kritizována z různých úhlů pohledu a vyčítala mu jeho záměr popsat krásu pomocí vzorce. Matematik tvrdil, že nic takového neměl v úmyslu [187] .

Jídlo pro výzkum

Jsou případy, kdy umění sloužilo jako podnět pro rozvoj matematiky. Poté, co Brunelleschi formuloval teorii perspektivy v architektuře a malířství, otevřel celou řadu studií, které zahrnovaly práci Brooke Taylorové a Johanna Lamberta o matematických základech perspektivy [188] . Na tomto základě Gerard Desargues a Jean-Victor Poncelet postavili teorii projektivní geometrie [189] .

Matematické metody umožnily Tomoko Fuse vyvinout japonské umění origami . Pomocí modulů skládá ze shodných kusů papíru - například čtverce - mnohostěny a parkety [190] . V roce 1893 T. Sundara Rao publikoval Geometric Exercises in Paper Folding, kde podal vizuální důkazy různých geometrických výsledků [191] . Mezi nejvýznamnější objevy v oblasti origami matematiky patří Maekawova věta [192] , Kawasakiho věta [193] a Fujitova pravidla [194] .

Od iluze k optickému umění

Optické iluze , včetně Fraserovy spirály, demonstrují omezení lidského vnímání vizuálních obrazů. Historik umění Ernst Gombrich nazval efekty, které vytvořili, „nepochopitelné triky“ [196] . Černobílé pruhy, které na první pohled tvoří spirálu , jsou ve skutečnosti soustředné kruhy . V polovině 20. století vznikl styl optického umění , který využíval iluze k tomu, aby obrazům dodal dynamiku, aby vytvořil efekt blikání nebo vibrací. Slavnými představiteli režie, na základě známé analogie známé také jako „op art“, jsou Bridget Riley, Spyros Choremis [197] , Victor Vasarely [198] .

Posvátná geometrie

Myšlenka boha-geometru a posvátná povaha geometrie všech věcí je známá již od starověkého Řecka a lze ji vysledovat v západoevropské kultuře. Plutarchos poukazuje na to, že takové názory zastával Platón : „Bůh neustále geometrizuje“ ( Convivialium disputationum , liber 8,2). Platónovy názory jsou zakořeněny v pythagorejském pojetí hudební harmonie, kde jsou tóny rozmístěny v ideálních proporcích diktovaných délkou strun lyry. Analogicky k hudbě pravidelné mnohostěny („platónská tělesa“) určují proporce okolního světa a v důsledku toho dějí v umění [199] [200] . Slavná středověká ilustrace Boha, který stvořil vesmír pomocí kompasu, odkazuje na biblický verš: „Když připravoval nebesa, byl jsem tam. Když nakreslil kruh přes tvář propasti“ ( Kniha Šalamounových přísloví , 8:27) [201] . V roce 1596 představil matematik a astronom Johannes Kepler model sluneční soustavy  – soubor vnořených platónských těles, reprezentujících relativní velikosti planetárních drah [201] . Obraz „The Great Architect “ od Williama Blakea , stejně jako jeho monotyp „Newton“, kde je velký vědec zobrazen jako nahý geometr, demonstrují kontrast mezi matematicky dokonalým duchovním světem a nedokonalým fyzickým [202] . Stejným způsobem lze interpretovat Dalího „ hyperkubické tělo “, kde je Kristus ukřižován na trojrozměrném rozvinutí čtyřrozměrné hyperkrychle . Podle umělce může božské oko měřit více než lidské [82] . Dali si představoval , že poslední jídlo Krista s učedníky se odehrává uvnitř obrovského dvanáctistěnu [203] ,

Viz také

Poznámky

  1. ↑ 1 2 3 4 Ziegler, Günter M. Dürerův mnohostěn: 5 teorií, které vysvětlují Melencoliiinu bláznivou kostku . The Guardian (3. prosince 2014). Získáno 27. října 2015. Archivováno z originálu 11. listopadu 2020.
  2. ↑ Plinius starší. Přírodní věda. O umění. - M .: Ladomír, 1994. S. 65 (XXXIV, 55-56)
  3. ↑ 1 2 McCague, Hugh. Pythagorejci a sochaři: Kánon Polykleitos  //  Rosicrucian Digest: journal. - 2009. - Sv. 1 . — S. 23 .
  4. ↑ Platón. Menon // Platón. Sobr. op. ve 4 svazcích - V.1. - M .: Thought, 1990. - S. 594-595 (85 a-s)
  5. ↑ Vlasov V. G. . Teorie tvarování ve výtvarném umění. Učebnice pro střední školy. - Petrohrad: Nakladatelství Petrohradu. un-ta, 2017. - C.121-122
  6. ↑ Raven, JE Polyclitus a Pythagoreanism // Klasický čtvrtletník. - 1951. - V. 1 , č. 3-4 . - S. 147 - . - doi : 10.1017/s0009838800004122 .
  7. ↑ Tobin, Richard. Canon of Polykleitos  // American Journal of  Archeology : deník. - 1975. - říjen ( roč. 79 , č. 4 ). - str. 307-321 . - doi : 10.2307/503064 .
  8. ↑ 1 2 3 O'Connor, JJ; Robertson, E. F. Matematika a umělecká perspektiva . University of St Andrews (leden 2003). Získáno 1. září 2015. Archivováno z originálu 24. března 2019.
  9. ↑ 1 2 3 4 The Visual Mind II / Emmer, Michelle. - MIT Press , 2005. - ISBN 978-0-262-05048-7 .
  10. ↑ Vasari, Giorgio . Životy nejznamenitějších malířů, sochařů a architektů . - Torrentino, 1550. - C. Kapitola o Brunelleschi.
  11. ↑ Alberti, Leon Battista; Spencer, John R. O malování . - Yale University Press , 1956.
  12. ↑ Field, JV Vynález nekonečna: Matematika a umění v  renesanci . - Oxford University Press , 1997. - ISBN 978-0-19-852394-9 .
  13. ↑ Witcombe, Christopher LCE Zdroje dějin umění . Datum přístupu: 5. září 2015. Archivováno z originálu 4. března 2016.
  14. ↑ 1 2 3 4 5 Hart, George W. Polyhedra v umění . Získáno 24. června 2015. Archivováno z originálu dne 21. dubna 2019.
  15. ↑ Cunningham, Lawrence; Reich, John; Fichner Rathus, Lois. Kultura a hodnoty: Průzkum západních  humanitních věd . — Cengage Learning, 2014. - S. 375. - ISBN 978-1-285-44932-6 . . — „které ilustrují Uccellovu fascinaci perspektivou. Soupeři se střetnou na bitevním poli posetém zlomenými kopími, která spadla ve vzoru téměř mřížky a jsou namířena k úběžníku někde v dálce."
  16. ↑ della Francesca, Piero. De Prospectiva Pingendi / G. Nicco Fasola. — Florencie, 1942.
  17. ↑ della Francesca, Piero. Trattato d'Abaco / G. Arrighi. — Pisa, 1970.
  18. ↑ della Francesca, Piero. Opera "De corporibus regularibus" od Pietro Franceschi detto della Francesca usurpata da Fra Luca Pacioli  (italsky) / G. Mancini. — 1916.
  19. ↑ Vasari, G. Le Opere, svazek 2 / G. Milanesi. - 1878. - S. 490.
  20. ↑ Zuffi, Stefano. Piero della Francesca . - L'Unità - Mondadori Arte, 1991. - S.  53 .
  21. ↑ Heath, TL Třináct knih Euklidových prvků. - Cambridge University Press , 1908. - S. 97.
  22. ↑ Grendler, P. Co se Piero naučil ve škole: Lidová výchova v patnáctém století  / M.A. Lavin. Piero della Francesca a jeho odkaz. – University Press of New England, 1995. - S. 161-176.
  23. ↑ Alberti, Leon Battista; Grayson, Cecil (přel.). Na malování / Kemp, Martin. — Penguin Classics , 1991.
  24. ↑ Peterson, Mark. Geometrie Piera della Francesca (nedostupný odkaz) . — „V knize I, po některých elementárních konstrukcích, které zavádějí myšlenku zdánlivé velikosti předmětu, který je ve skutečnosti jeho úhel sevřený v oku, a s odkazem na Euklidovy knihy I a VI a Euklidovu optiku Propozice 13 k zobrazení čtverce ležícího naplocho na zemi před divákem. Co by vlastně měl umělec kreslit? Poté se na čtverci konstruují objekty (např. obklady, které představují dlážděnou podlahu) a odpovídající objekty se konstruují v perspektivě; v knize II jsou nad těmito rovinnými objekty vztyčeny hranoly, které představují domy, sloupy atd.; ale základem metody je původní čtverec, z něhož se odvíjí vše ostatní.“. Získáno 2. června 2017. Archivováno z originálu 1. července 2016. 
  25. ↑ Hockney, Davide. Tajné znalosti: Znovuobjevení ztracených technik starých mistrů  (anglicky) . — Temže a Hudson, 2006. - ISBN 978-0-500-28638-8 .
  26. ↑ Van Riper, „Lucidní“ bomba Franka Hockneyho v uměleckém podniku . Washington Post. Získáno 4. září 2015. Archivováno z originálu 11. září 2015.
  27. ↑ Marr, Andrew Co oko nevidělo . The Guardian (7. října 2001). Získáno 4. září 2015. Archivováno z originálu 25. září 2015.
  28. ↑ Janson, Jonathan Rozhovor s Philipem Steadmanem . Essential Vermeer (25. dubna 2003). Získáno 5. září 2015. Archivováno z originálu 6. září 2015.
  29. ↑ Steadman, Philip. Vermeer's Camera: Uncovering the Truth Behind the Masterpieces  (anglicky) . - Oxford, 2002. - ISBN 978-0-19-280302-3 .
  30. ↑ Hart, George. Mnohostěn Lucy Pacioliho . Získáno 13. srpna 2009. Archivováno z originálu 18. října 2018.
  31. ↑ Morris, Roderick Conway Renesance Palmezzana: Ze stínů vystupuje malíř . New York Times (27. ledna 2006). Získáno 22. července 2015. Archivováno z originálu 18. dubna 2021.
  32. ↑ Calter, Paul. Geometrie a výtvarná jednotka 1 (nedostupný odkaz) . Dartmouth College . Získáno 13. srpna 2009. Archivováno z originálu dne 21. srpna 2009. 
  33. ↑ Brizio, Anna Maria. Leonardo Umělec . — McGraw-Hill Education , 1980.
  34. ↑ Ladwein, Michael. Leonardo Da Vinci, Poslední večeře: Kosmické drama a akt vykoupení  (anglicky) . - Temple Lodge Publishing, 2006. - S. 61-62. - ISBN 978-1-902636-75-7 .
  35. ↑ Turner, Richard A. Vynalézání Leonarda. — Alfred A. Knopf, 1992.
  36. ↑ Wolchover, Natalie Kopíroval Leonardo da Vinci svého slavného „Vitruviánského muže“? . NBC News (31. ledna 2012). Získáno 27. října 2015. Archivováno z originálu 28. ledna 2016.
  37. ↑ Criminisi, A.; Kempz, M.; Kang, SB Odrazy reality u Jana van Eycka a Roberta Campina  //  Historické metody: časopis. - 2004. - Sv. 37 , č. 3 . - str. 109-121 . - doi : 10.3200/hmts.37.3.109-122 .
  38. ↑ Vařič, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (anglicky) . - Cambridge University Press , 2013. - S. 299-300, 306-307. - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  39. ↑ Vařič, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (anglicky) . - Cambridge University Press , 2013. - S.  269 -278. - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  40. ↑ Joyce, David E. Euklidovy prvky, Kniha II, Propozice 11 . Clark University (1996). Získáno 24. září 2015. Archivováno z originálu 30. září 2015.
  41. ↑ Seghers, MJ; Longacre, JJ; Destefano, GA  Zlatý proporce a krása  // Plastická a rekonstrukční chirurgie : deník. - 1964. - Sv. 34 , č. 4 . - str. 382-386 . - doi : 10.1097/00006534-196410000-00007 .
  42. ↑ Mainzer, Klaus. Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science  (anglicky) . - Walter de Gruyter , 1996. - S. 118.
  43. ↑ Matematické vlastnosti ve starověkých divadlech a amfiteátrech (downlink) . Získáno 29. ledna 2014. Archivováno z originálu 15. července 2017. 
  44. ↑ Architektura: Elipsa? . The-Colosseum.net. Datum přístupu: 29. ledna 2014. Archivováno z originálu 11. prosince 2013.
  45. ↑ 1 2 3 4 Markowsky, George. Mylné představy o zlatém řezu  //  The College Mathematics Journal :časopis. - 1992. - Leden ( roč. 23 , č. 1 ). - str. 2-19 . - doi : 10.2307/2686193 . Archivováno z originálu 8. dubna 2008.
  46. ↑ Taseos, Sokrates G. Zpátky v čase 3104 př. n. l. k Velké  pyramidě . — SOC Publishers, 1990.
  47. ↑ Poměr šikmé výšky k polovině délky základny je 1,619, což je méně než 1 % rozdíl od zlatého řezu (1,618). Předpokládá se použití Keplerova trojúhelníku (úhel sklonu je 51°49').
  48. ↑ Gazale, Midhat. Gnomon: Od faraonů k fraktálům. - Princeton University Press , 1999. - ISBN 978-0-691-00514-0 .
  49. ↑ Huntley, H. E. The Divine Proportion. — Dover, 1970.
  50. ↑ Hemenway, Priya. Božská proporce : Phi v umění, přírodě a vědě  . - Sterling, 2005. - S.  96 .
  51. ↑ Usvat, Liliana Matematika Parthenonu . Magazín o matematice. Získáno 24. června 2015. Archivováno z originálu 14. září 2015.
  52. ↑ Boussora, Kenza; Mazouz, řekl. Použití zlatého řezu ve Velké mešitě v Kairouanu  //  Nexus Network Journal: journal. — Sv. 6 , č. 1 . - str. 7-16 . - doi : 10.1007/s00004-004-0002-y . Archivováno z originálu 4. října 2008. . — „Zdá se, že geometrická technika konstrukce zlatého řezu určila hlavní rozhodnutí prostorové organizace. Zlatý řez se v některých částech měření budovy objevuje opakovaně. Nachází se v celkové proporci plánu a v dimenzování modlitebního prostoru, nádvoří a minaretu. Existence zlatého řezu v některých částech mešity Kairouan naznačuje, že prvky navržené a vytvořené s tímto principem mohly být realizovány ve stejném období." Archivovaná kopie (nedostupný odkaz) . Získáno 4. června 2017. Archivováno z originálu dne 4. října 2008. 
  53. ↑ Brinkworth, Peter; Scott, Paul. The Place of Mathematics // Australský učitel matematiky. - 2001. - T. 57 , č. 3 . - S. 2 .
  54. ↑ Chanfon Olmos, Carlos. Curso sobre Proporce. Procedimientos reguladors en construcción  (španělsky) . — Convenio de intercambio Unam–Uady. Mexiko – Merica, 1991.
  55. ↑ Livio, Mario . Zlatý řez: Příběh Phi, nejúžasnější  číslo na světě . — Broadway Books, 2002.
  56. ↑ Smith, Norman AF Cathedral Studies: Engineering or History  // Transactions of the Newcomen Society. - 2001. - T. 73 . - S. 95-137 . - doi : 10.1179/tns.2001.005 . Archivováno z originálu 11. prosince 2015. Archivovaná kopie (nedostupný odkaz) . Získáno 4. června 2017. Archivováno z originálu 11. prosince 2015. 
  57. ↑ McVeigh, Karen Proč zlatý řez lahodí oku: Americký akademik říká, že zná tajemství umění . The Guardian (28. prosince 2009). Datum přístupu: 27. října 2015. Archivováno z originálu 19. října 2015.
  58. ↑ 1 2 3 Cucker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (anglicky) . - Cambridge University Press , 2013. - S.  89 -102. - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  59. ↑ 12 Lerner , Martin. Plamen a lotos : umění Indie a jihovýchodní Asie ze sbírek Kronos  (anglicky) . — Katalog výstavy. — Metropolitní muzeum umění, 1984.
  60. ↑ 1 2 Ellison, Elaine; Venters, Diano. Matematické přikrývky: Není nutné šití. — Klíčové kurikulum, 1999.
  61. ↑ 1 2 Castera, Jean Marc; Peuriot, Francois. Arabesky. Dekorativní umění v Maroku. - Umělecká tvorba Realizace, 1999. - ISBN 978-2-86770-124-5 .
  62. ↑ Salingaros, Nikos. „Život“ koberce: aplikace Alexandrových pravidel  (anglicky)  // 8. mezinárodní konference o orientálních kobercích: časopis. - Philadelphia, 1996. - Listopad. Přetištěno v Oriental Carpet and Textile Studies V / Eiland, M.; Pinner, M.. - Danville, CA: Conference on Oriental Carpets, 1998.
  63. ↑ Vařič, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (anglicky) . - Cambridge University Press , 2013. - S.  103-106 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  64. ↑ Dye, Daniel S. Chinese Lattice Designs . - Dover, 1974. - S.  30 -39.
  65. ↑ belcastro, sarah-marie. Dobrodružství v matematickém pletení   // Americký vědec :časopis. - 2013. - Sv. 101 , č. 2 . — S. 124 . doi : 10.1511 / 2013.101.124 .
  66. ↑ Taimina, Daina. Háčkování dobrodružství s hyperbolickými letadly  . — A. K. Peters, 2009. - ISBN 1-56881-452-6 .
  67. ↑ Snooku, Barbaro. Florentská výšivka . Scribner, druhé vydání 1967.
  68. ↑ Williams, Elsa S. Bargello: Florentine Canvas Work . Van Nostrand Reinhold, 1967.
  69. ↑ Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey C. Satins and Twills: An Introduction to the Geometry of Fabrics  // Mathematics Magazine  : magazine  . - 1980. - Květen ( roč. 53 , č. 3 ). - S. 139-161 . - doi : 10.2307/2690105 . — .
  70. ↑ 1 2 Gamwell, Lynn. Matematika a umění: kulturní historie. - Princeton University Press , 2015. - S. 423. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  71. ↑ Baker, Patricia L.; Smith, Hilary. Írán . — 3. — Cestovní průvodci Bradt, 2009. - S. 107. - ISBN 1-84162-289-3 .
  72. ↑ Irvine, Veronica; Ruskey, Frank. Vývoj matematického modelu pro paličkovanou krajku  //  Journal of Mathematics and the Arts : deník. - 2014. - Sv. 8 , č. 3-4 . - S. 95-110 . - doi : 10.1080/17513472.2014.982938 . - arXiv : 1406.1532 .
  73. ↑ Lu, Peter J.; Steinhardt, Paul J. Dekagonální a kvazikrystalické obklady ve středověké islámské architektuře  // Science  :  journal. - 2007. - Sv. 315 , č.p. 5815 . - S. 1106-1110 . - doi : 10.1126/science.1135491 . - . — PMID 17322056 .
  74. ↑ van den Hoeven, Saskia, van der Veen, Maartje. Muqarnas-Matematika v islámských uměních . Staženo 6. 5. 2018. Archivováno z originálu 6. 5. 2019.
  75. ↑ Panofsky, E. Život a umění Albrechta Durera. - Princeton, 1955.
  76. ↑ Hart, Mnohostěn George W. Dürera . Získáno 13. srpna 2009. Archivováno z originálu 19. srpna 2009.
  77. ↑ Dürer, Albrecht. Hierinn sind begriffen vier Bucher von menschlicher Proportion  (německy) . - Norimberk: Archive.org, 1528.
  78. ↑ Schreiber, P. Nová hypotéza o Durerově záhadném mnohostěnu v jeho měděné rytině 'Melencolia I'  //  Historia Mathematica : deník. - 1999. - Sv. 26 . - str. 369-377 . - doi : 10.1006/hmat.1999.2245 .
  79. ↑ Dodgson, Campbell. Albrecht Durer. - Londýn: Medici Society, 1926. - S. 94.
  80. ↑ Schuster, Peter-Klaus. Melencolia I: Dürers Denkbild. Berlín: Gebr. Mann Verlag, 1991, s. 17-83.
  81. ↑ Panofsky, Erwin ; Klibanský, Raymond; Saxl, Fritz . Saturn a melancholie . — Základní knihy , 1964.
  82. ↑ 1 2 Ukřižování (Corpus Hypercubus) . Metropolitní muzeum umění. Datum přístupu: 5. září 2015. Archivováno z originálu 23. října 2015.
  83. ↑ Lukman, Mohamed; Hariadi, Yun; Destiarmand, Achmad Haldani. Batik Fractal : Traditional Art to Modern Complexity  (anglicky)  // Proceeding Generative Art X, Milan, Italy: journal. — 2007.
  84. ↑ Pollockovy fraktály  (listopad 2001). Archivováno z originálu 7. října 2016. Staženo 26. září 2016.
  85. ↑ Galilei, Galileo . The Assayer. - 1623. , jak je přeloženo v Drake, StillmanObjevy a názory Galilea. - Doubleday, 1957. - S. 237-238. — ISBN 0-385-09239-3 .
  86. ↑ Vařič, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (anglicky) . - Cambridge University Press , 2013. - S.  381 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  87. ↑ Vařič, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (anglicky) . - Cambridge University Press , 2013. - S.  10 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  88. ↑ King, Jerry P. Umění matematiky. - Fawcett Columbine, 1992. - S. 8-9. - ISBN 0-449-90835-6 .
  89. ↑ King, Jerry P. Umění matematiky. - Fawcett Columbine, 1992. - S. 135-139. - ISBN 0-449-90835-6 .
  90. ↑ Devlin, Keith. Mají matematici různé mozky? // Matematický gen : Jak se vyvinulo matematické myšlení a proč jsou čísla jako drby  . - Základní knihy , 2000. - S. 140. - ISBN 978-0-465-01619-8 .
  91. ↑ anglicky.  "Proč jsou čísla krásná? Je to jako ptát se, proč je Beethovenova Devátá symfonie krásná. Pokud nevidíte proč, nikdo vám to nemůže říct. Vím , že čísla jsou krásná."
  92. ↑ Malkevitch, Joseph Matematika a umění. 2. Matematické nástroje pro umělce . Americká matematická společnost. Získáno 1. září 2015. Archivováno z originálu 14. září 2015.
  93. ↑ Malkevitch, Joseph Matematika a umění . Americká matematická společnost. Získáno 1. září 2015. Archivováno z originálu 29. srpna 2015.
  94. ↑ Matematika a umění: Hodný, špatný a hezký . Matematická asociace Ameriky. Získáno 2. září 2015. Archivováno z originálu 9. září 2015.
  95. ↑ Cohen, Louise Jak roztočit barevné kolo, Turner, Malevich a další . Tate Gallery (1. července 2014). Získáno 4. září 2015. Archivováno z originálu 11. září 2015.
  96. ↑ Kemp, Martin. Věda o umění : Optická témata v západním umění od Brunelleschiho po Seurata  . - Yale University Press , 1992. - ISBN 978-968-867-185-6 .
  97. ↑ Gage, John. Barva a kultura : Praxe a význam od starověku po abstrakci  . - University of California Press , 1999. - S. 207. - ISBN 978-0-520-22225-0 .
  98. ↑ Malkevitch, Joseph Matematika a umění. 3.Symetrie . Americká matematická společnost. Získáno 1. září 2015. Archivováno z originálu 14. září 2015.
  99. ↑ Malkevitch, Joseph Matematika a umění. 4. Matematickí umělci a umělečtí matematici . Americká matematická společnost. Získáno 1. září 2015. Archivováno z originálu 15. září 2015.
  100. ↑ Wright, Richard. Některé problémy ve vývoji počítačového umění jako matematické umělecké  formy //  Leonardo : deník. - 1988. - Sv. 1 , ne. Electronic Art, doplňkové vydání . - str. 103-110 . - doi : 10.2307/1557919 . — .
  101. ↑ Kalajdzievski, Sašo. Math and Art: An Introduction to Visual Mathematics  (anglicky) . - Chapman a Hall , 2008. - ISBN 978-1-58488-913-7 .
  102. ↑ 1 2 Beddard, Honor Počítačové umění ve V&A . Victoria and Albert Museum. Získáno 22. září 2015. Archivováno z originálu 25. září 2015.
  103. ↑ Počítač kreslí: V každém jsou tisíce řádků (17. září 1962). v Beddard, 2015.
  104. ↑ O'Hanrahan, Elaine. Tažící stroje: Stroj vytvářel výkresy Dr. D.P. Henry ve vztahu ke koncepčnímu a technologickému vývoji ve strojově generovaném umění (UK 1960–1968). Nepublikovaný MPhil. Diplomová práce  (anglicky) . — Univerzita Johna Moorese, Liverpool, 2005. v Beddardu, 2015.
  105. ↑ Bellos, Alex . Úlovek dne: matematik netají podivné, složité ryby , The Guardian (24. února 2015). Archivováno z originálu 30. listopadu 2016. Staženo 25. září 2015.
  106. ↑ "Pták v letu (2016)," od Hamida Naderi Yeganeh . Americká matematická společnost (23. března 2016). Získáno 6. dubna 2017. Archivováno z originálu dne 29. března 2017.
  107. ↑ Chung, Stephy . Další da Vinci? Matematický génius pomocí vzorců vytváří fantastická umělecká díla , CNN  (18. září 2015). Archivováno z originálu 2. února 2017. Staženo 7. června 2017.
  108. ↑ Levin, Golanští generativní umělci . CMUEMS (2013). Získáno 27. října 2015. Archivováno z originálu 21. září 2015. To zahrnuje odkaz na Hvidtfeldts Syntopia Archived 31. října 2015 na Wayback Machine .
  109. ↑ Verostko, Roman Algoristé . Získáno 27. října 2015. Archivováno z originálu dne 4. září 2016.
  110. ↑ Vařič, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (anglicky) . - Cambridge University Press , 2013. - S.  315-317 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  111. ↑ Miller, Arthur I. Einstein, Picasso : Prostor, čas a krása, která způsobuje zmatek  . - New York: Basic Books, 2001. - S.  171 . - ISBN 0-465-01860-2 .
  112. ↑ Miller, Arthur I. Insights of Genius : Imagery and Creativity in Science and Art  . - Springer, 2012. - ISBN 1-4612-2388-1 .
  113. ↑ Henderson, Linda D. Čtvrtá dimenze a neeuklidovská geometrie v moderním umění  . — Princeton University Press , 1983.
  114. ↑ Antliff, Mark; Leighten, Patricie Dee. Kubismus a kultura . — Temže a Hudson, 2001.  (nepřístupný odkaz)
  115. ↑ Everdell, William R. The First Moderns: Profiles in the Origins of Twentieth-Century Thought  . - University of Chicago Press , 1997. - S.  312 . - ISBN 0-226-22480-5 .
  116. ↑ Zelená, Christophere. Kubismus a jeho nepřátelé, moderní hnutí a reakce ve francouzském umění, 1916-1928  (anglicky) . - Yale University Press , 1987. - S. 13-47.
  117. ↑ Metzinger, JeanNote sur la peinture // Pan. - S. 60 . v Milleru. Einstein, Picasso . - Základní knihy , 2001. - S.  167 .
  118. ↑ Metzinger, JeanLe cubisme etait né. - Éditions Présence, 1972. - S. 43-44. ve Ferry, Luc Homo Aestheticus: Vynález chuti v demokratickém věku  (anglicky) . - University of Chicago Press , 1993. - S.  215 . — ISBN 0-226-24459-8 .
  119. ↑ Man Ray–Human Equations Cesta od matematiky k Shakespearovi. 7. února – 10. května 2015 . Kolekce Phillips. Získáno 5. září 2015. Archivováno z originálu 6. září 2015.
  120. ↑ Adcock, Craig. Duchamp's Eroticism: A Matematical Analysis  // Iowa Research Online. - 1987. - T. 16 , č. 1 . - S. 149-167 .
  121. ↑ Starší, R. Bruce. DADA, surrealismus a filmový  efekt . — Wilfrid Laurier University Press, 2013. - S. 602. - ISBN 978-1-55458-641-7 .
  122. ↑ Tubbs, Robert. Matematika v literatuře a umění 20. století: obsah, forma,  význam . — JHU Press, 2014. - S. 118. - ISBN 978-1-4214-1402-7 .
  123. ↑ Hiroshi Sugimoto konceptuální formy a matematické modely 7. února – 10. května 2015 . Kolekce Phillips. Získáno 5. září 2015. Archivováno z originálu 6. září 2015.
  124. ↑ Tubbs, Robert. Matematika v literatuře a umění 20. století  . - Johns Hopkins, 2014. - S. 8-10. — ISBN 978-1-4214-1380-8 .
  125. ↑ anglicky.  „Eliptické paraboloidy a kuželové body ve stejném smyslném světle jako jeho obrázky Kiki de Montparnasse“
  126. ↑ anglicky.  „důmyslně předělává skvělé výpočty matematiky k odhalení topologie touhy“
  127. ↑ Keats, Jonathon Podívejte se, jak Man Ray vyrobil eliptické paraboloidy erotické na této výstavě fotografií Phillips Collection . Forbes (13. února 2015). Získáno 10. září 2015. Archivováno z originálu 23. září 2015.
  128. ↑ Gamwell, Lynn. Matematika a umění: kulturní historie. - Princeton University Press , 2015. - S. 311-312. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  129. ↑ Henry Moore: Text on His Sculpture / Hedgecoe, John. — Henry Spencer Moore. - Simon a Schuster , 1968. - S. 105.
  130. ↑ anglicky.  „Nepochybně zdrojem mých navlečených figurek bylo Muzeum vědy... Fascinovaly mě matematické modely, které jsem tam viděl... Nebylo to vědecké studium těchto modelů, ale schopnost dívat se skrz provázky jako u ptáka. kleci a vidět jednu formu v druhé, což mě vzrušovalo."
  131. ↑ Jouffret, Esprit. Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions et Introduction à la géométrie à n dimensions  (francouzsky) . — Paříž: Gauthier-Villars, 1903.
  132. ↑ anglicky.  „vytvořte si vizuální slovní zásobu složenou [ sic ] z elementárních geometrických forem srozumitelných všem a přizpůsobitelným jakékoli disciplíně“
  133. ↑ 12 De Stijl . Tate Glosář . Tate. Získáno 11. září 2015. Archivováno z originálu 11. února 2017.
  134. ↑ Curl, James Stevens. Slovník architektury a krajinářské architektury  . - Druhý. - Oxford University Press , 2006. - ISBN 0-19-860678-8 .
  135. ↑ anglicky.  "Struktura, kterou lze ovládat, určitý povrch bez náhodných prvků nebo individuálních rozmarů"
  136. ↑ anglicky.  "nepostrádat ducha, nepostrádat univerzální a ne...prázdné, protože je vše , co odpovídá vnitřnímu rytmu"
  137. ↑ Tubbs, Robert. Matematika v literatuře a umění 20. století: obsah, forma,  význam . — JHU Press, 2014. - S. 44-47. - ISBN 978-1-4214-1402-7 .
  138. ↑ Prohlídka: MC Escher - Život a dílo (nedostupný odkaz) . NGA. Získáno 13. srpna 2009. Archivováno z originálu dne 3. srpna 2009. 
  139. ↑ M. C. Escher . Mathacademy.com (1. listopadu 2007). Získáno 13. srpna 2009. Archivováno z originálu 11. října 2007.
  140. ↑ Penrose, L.S.; Penrose, R. Impossible objects: Zvláštní typ vizuální iluze  (anglicky)  // British Journal of Psychology : deník. - 1958. - Sv. 49 . - str. 31-33 . - doi : 10.1111/j.2044-8295.1958.tb00634.x . — PMID 13536303 .
  141. ↑ Kirousis, Lefteris M.; Papadimitriou, Christos H.Složitost rozpoznávání polyedrických scén // 26. výroční sympozium o základech informatiky(FOCS 1985). - 1985. - S. 175-185 . - doi : 10.1109/sfcs.1985.59 .
  142. ↑ Cooper, Martin. Interpretace perokresby . - Springer-Verlag , 2008. - S.  217 -230. - ISBN 978-1-84800-229-6 . - doi : 10.1007/978-1-84800-229-6_9 .
  143. ↑ Robertsová, Siobhan. „Koxetování“ s MC Escherem. - Král nekonečného prostoru: Donald Coxeter, muž, který zachránil geometrii. - Walker, 2006. - S. Kapitola 11.
  144. ↑ Escher, MC Svět MC Eschera. — Random House , 1988.
  145. ↑ Escher, M.C.; Vermeulen, M. W.; Ford, K. Escher o Escher: Exploring the Infinite. — HN Abrams, 1989.
  146. ↑ Malkevitch, Joseph Matematika a umění. 5. Mnohostěny, obklady a disekce . Americká matematická společnost. Získáno 1. září 2015. Archivováno z originálu 14. září 2015.
  147. ↑ Marcolli, Matilde . Pojem prostoru v matematice optikou moderního umění  (anglicky) . - Knihy století, 2016. - S. 23-26.
  148. ↑ John Robinson . Bradshaw Foundation (2007). Získáno 13. srpna 2009. Archivováno z originálu 3. května 2010.
  149. ↑ Web společnosti Helaman Ferguson . Helasculpt.com. Získáno 13. srpna 2009. Archivováno z originálu 11. dubna 2009.
  150. ↑ Thurston, William P. The Eightfold Way: A Mathematical Sculpture od Helamana Fergusona  / Levy, Silvio. - Volume 35: The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve. - MSRI Publications, 1999. - S. 1-7.
  151. ↑ Recenze knihy MAA ''Osminásobná cesta: Krása Kleinovy ​​kvartické křivky'' . Maa.org (14. listopadu 1993). Získáno 13. srpna 2009. Archivováno z originálu dne 21. prosince 2009.
  152. ↑ Průvodce vánočními dárky Math Geek . Scientific American (23. listopadu 2014). Získáno 7. června 2015. Archivováno z originálu 17. června 2015.
  153. ↑ Hanna, Raven Gallery: Bathsheba Grossman . časopis Symmetry. Získáno 7. června 2015. Archivováno z originálu dne 26. dubna 2015.
  154. ↑ Osinga, Hinke Háčkování Lorenzova manifoldu . University of Auckland (2005). Získáno 12. října 2015. Archivováno z originálu 10. dubna 2015.
  155. ↑ Henderson, David; Taimina, Daina Háčkování hyperbolické roviny  //  The Mathematical Intelligencer . - 2001. - Sv. 23 , č. 2 . - str. 17-28 . - doi : 10.1007/BF03026623 . .
  156. ↑ Osinga, Hinke M; Krauskopf, Bernd. Háčkování Lorenzova manifoldu  //  The Mathematical Intelligencer . - 2004. - Sv. 26 , č. 4 . - str. 25-37 . - doi : 10.1007/BF02985416 .
  157. ↑ Dietz, Ada K. (1949), Algebraic Expressions in Handwoven Textiles , Louisville, Kentucky: The Little Loomhouse , < http://www2.cs.arizona.edu/patterns/weaving/monographs/dak_alge.pdf > Archivovaná kopie z 22. února 2016 na Wayback Machine 
  158. ↑ Miller, JCPPeriodické lesy zakrnělých stromů  (anglicky)  // Philosophical Transactions of the Royal Society of London  : journal. - 1970. - Sv. 266 , č.p. 1172 . - str. 63-111 . doi :/ rsta.1970.0003 . — .
  159. ↑ Designing Beauty: The Art of Cellular Automata / A. Adamatzky, GJ Martínez (Eds.). - Springer International Publishing, 2016. - (Emergence, Complexity and Computation; v. 20). - ISBN 978-3-319-27270-2 , 978-3-319-27269-6.
  160. ↑ Z angličtiny.  matematici  – „matematici“ a angl.  plést  - plést.
  161. ↑ Pat Ashforth & Steve Plummer - Matematici . Vlněné myšlenky . Získáno 4. října 2015. Archivováno z originálu 15. září 2015.
  162. ↑ Ward, Mark Knitting znovuobjevili: Matematika, feminismus a kov . BBC (20. srpna 2012). Získáno 23. září 2015. Archivováno z originálu 23. září 2015.
  163. ↑ Ashforth, Pat; Plummer, Steve Menger Sponge . Woolly Thoughts: In Pursuit of Crafty Mathematics . Získáno 23. září 2015. Archivováno z originálu 17. dubna 2021.
  164. ↑ Z angličtiny.  matematika  – „matematika“ a angličtina.  Atghans  - "pletený šátek", "závoj".
  165. ↑ Ashforth, Pat; Plummer, Steve Afghánci pro školy . Woolly Thoughts: Mathghans . Získáno 23. září 2015. Archivováno z originálu 18. září 2015.
  166. ↑ Mathghans s rozdílem . - Časopis Simply Knitting, 2008. - 1. července. Archivováno z originálu 25. září 2015.
  167. ↑ Giotto di Bondone a asistenti: Stefaneschiho triptych . Vatikán. Získáno 16. září 2015. Archivováno z originálu 30. listopadu 2016.
  168. ↑ Gamwell, Lynn. Matematika a umění: kulturní historie. - Princeton University Press , 2015. - S. 337-338. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  169. ↑ Cooper, Jonathan Art and Mathematics (5. září 2007). Získáno 5. září 2015. Archivováno z originálu 25. září 2015.
  170. ↑ Hofstadter, Douglas R. Gödel, Escher, Bach: Věčný zlatý cop  (německy) . - Tučňák, 1980. - S. 627. - ISBN 978-0-14-028920-6 .
  171. ↑ anglicky.  "děsivý obrázek toytown" .
  172. ↑ anglicky.  "útulné tradiční formy" .
  173. ↑ Hall, James René Magritte: The Pleasure Principle - výstava . The Guardian (10. června 2011). Získáno 5. 9. 2015. Archivováno z originálu 23. 8. 2015.
  174. ↑ Král, Elliot. Dali / Ades, Svítání. - Milán: Bompiani Arte, 2004. - S. 418-421.
  175. ↑ „Rozdíl mezi Escherovou kresbou a neeuklidovskou geometrií je v tom, že u neeuklidovské geometrie lze nalézt srozumitelné interpretace pro nedefinované termíny, což vede ke srozumitelnému celkovému systému, zatímco u prvního není konečný výsledek slučitelný s něčí představou. světa, bez ohledu na to, jak dlouho se člověk dívá na obrázky."
  176. ↑ anglicky.  "podivná smyčka nebo zamotaná hierarchie"
  177. ↑ Hofstadter, Douglas R. Gödel, Escher, Bach: Věčný zlatý cop  (německy) . - Tučňák, 1980. - S. 98-99, 690-717. - ISBN 978-0-394-74502-2 .
  178. ↑ de Smit, B. The Mathematical Structure of Escher's Print Gallery  // Notices of the American Mathematical Society  : journal  . - 2003. - Sv. 50 , č. 4 . - S. 446-451 .
  179. ↑ Lenstra, Hendrik; De Smit, Bart Použití matematiky v Escherově tiskové galerii (odkaz není k dispozici) . Leidenská univerzita. Získáno 10. listopadu 2015. Archivováno z originálu 14. ledna 2018. 
  180. ↑ Stanek, Becca Van Gogh and the Algorithm: How Matth Can Save Art . Časopis Time (16. června 2014). Získáno 4. září 2015. Archivováno z originálu 28. září 2015.
  181. ↑ Sipics, Michelle Projekt Van Gogh: Umění se setkává s matematikou v probíhající mezinárodní studii (odkaz není k dispozici) . Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku (18. května 2009). Získáno 4. září 2015. Archivováno z originálu 7. září 2015. 
  182. ↑ Emmerling, Leonhard. Jackson Pollock, 1912-1956 . - 2003. - S. 63. - ISBN 3-8228-2132-2 .
  183. ↑ Taylor, Richard P.; Micolich, Adam P.; Jonáš, David. Fraktální analýza Pollockových kapkových maleb  (anglicky)  // Nature  : journal. - 1999. - Červen ( sv. 399 ). - str. 422 . - doi : 10.1038/20833 . Archivováno z originálu 16. srpna 2015. Archivovaná kopie (nedostupný odkaz) . Získáno 9. června 2017. Archivováno z originálu 16. srpna 2015. 
  184. ↑ Taylor, Richard; Micolich, Adam P.; Jonáš, David. Fraktální expresionismus: Lze vědu využít k dalšímu porozumění umění?  (anglicky)  // Physics World  : magazine. - 1999. - Říjen ( vol. 12 ). - str. 25-28 . - doi : 10.1088/2058-7058/12/10/21 . Archivováno z originálu 5. srpna 2012. . — „Pollock zemřel v roce 1956, než byly objeveny chaos a fraktály. Je proto vysoce nepravděpodobné, že by Pollock vědomě rozuměl fraktálům, které maloval. Nicméně jeho zavedení fraktálů bylo záměrné. Například barva kotvící vrstvy byla vybrána tak, aby vytvořila nejostřejší kontrast proti pozadí plátna a tato vrstva také zabírá více prostoru plátna než ostatní vrstvy, což naznačuje, že Pollock chtěl, aby tato vysoce fraktální kotvicí vrstva vizuálně dominovala malbě. Po dokončení maleb navíc plátno ukotvil, aby odstranil oblasti poblíž okraje plátna, kde byla hustota vzoru méně rovnoměrná.". Archivovaná kopie (nedostupný odkaz) . Získáno 9. června 2017. Archivováno z originálu 5. srpna 2012. 
  185. ↑ King, M. Od Maxe Ernsta k Ernstu Machovi: epistemologie v umění a vědě. (2002). Datum přístupu: 17. září 2015. Archivováno z originálu 4. května 2016.
  186. ↑ Dodgson, N.A. Matematická charakterizace pruhovaných maleb Bridget Riley  //  Journal of Mathematics and the Arts : deník. - 2012. - Sv. 5 . - str. 1-21 . doi : 10.1080 / 17513472.2012.679468 . . „Během [počátkem] 80. let se Rileyho vzory posunuly od pravidelnějších k náhodnějším (charakterizované globální entropií), aniž by ztratily svou rytmickou strukturu (jak je charakterizována lokální entropií). To odráží Kudielčin popis jejího uměleckého vývoje.“.
  187. ↑ Vařič, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (anglicky) . - Cambridge University Press , 2013. - S.  116-120 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  188. ↑ Treibergs, Andrews Geometrie perspektivního kreslení na počítači . University of Utah (24. července 2001). Získáno 5. září 2015. Archivováno z originálu 10. března 2010.
  189. ↑ Gamwell, Lynn. Matematika a umění: kulturní historie. - Princeton University Press , 2015. - str. xviii. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  190. ↑ Malkevitch, Joseph Matematika a umění. 6. Origami . Americká matematická společnost. Získáno 1. září 2015. Archivováno z originálu 14. září 2015.
  191. ↑ T. Sundara Rao. Geometrická cvičení ve skládání papíru . — Addison, 1893.
  192. ↑ Justin, J. Matematika origami, část 9 // Britské origami. - 1986. - Červen. - S. 28-30 . .
  193. ↑ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger. Okouzlující důkazy: Cesta do elegantní  matematiky . - Mathematical Association of America , 2010. - Vol. 42. - S. 57. - (Dolcianiho matematické expozice). - ISBN 978-0-88385-348-1 .
  194. ↑ Alperin, Roger C.; Lang, Robert J. Jedno-, dvou- a vícesložkové origami  axiomy // 4OSME. — A. K. Peters, 2009.
  195. ↑ The World of Geometric Toys archivováno 22. července 2020 na Wayback Machine , Origami Spring Archivováno 19. června 2017 na Wayback Machine , srpen 2007.
  196. ↑ anglicky.  „zmatený trik“ .
  197. ↑ Vařič, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (anglicky) . - Cambridge University Press , 2013. - S.  163-166 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  198. ↑ Gamwell, Lynn. Matematika a umění: kulturní historie. - Princeton University Press , 2015. - S. 406-410. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  199. ↑ Ghyka, Matila. Geometrie umění a života. - Dover, 2003. - S. ix-xi. - ISBN 978-0-486-23542-4 .
  200. ↑ Lawlor, Robert. Posvátná geometrie: Filosofie a praxe. — Temže a Hudson, 1982. - ISBN 978-0-500-81030-9 .
  201. ↑ 1 2 Calter, Paul Celestial Themes in Art & Architecture (odkaz není dostupný) . Dartmouth College (1998). Získáno 5. září 2015. Archivováno z originálu 23. června 2015. 
  202. ↑ Myšlenka myšlenky - Edgar Allan Poe . MathPages. Získáno 5. září 2015. Archivováno z originálu 18. dubna 2021.
  203. ↑ Livio, Mario Zlatý řez a estetika . Získáno 26. června 2015. Archivováno z originálu 17. června 2015.

Literatura

Odkazy

  Přejděte na položku Wikidata  Slovníky a encyklopedie