PSL(2;7)

V matematice , projektivní speciální lineární grupa PSL(2, 7) (izomorfní k GL(3, 2) ) je konečná jednoduchá grupa s důležitými aplikacemi v algebře , geometrii a teorii čísel . Je to grupa automorfismu Kleinovy kvartiky a také grupa symetrie Fanovy roviny . Se 168 prvky je PSL(2, 7) druhou nejmenší z nejmenších neabelovských jednoduchých grup (první je střídající se grupa A 5 na pěti písmenech a má 60 prvků, rotační grupa ikosaedrické symetrie ).

Definice

Plná lineární grupa GL(2, 7) sestává ze všech invertibilních 2×2 matic nad F 7 , konečným polem sedmi prvků, které mají nenulové determinanty. Podskupina SL(2, 7) se skládá ze všech matic s jednotkovým determinantem . PSL(2, 7) je tedy skupina faktorů

SL(2; 7)/{I; −I},

získané identifikací I a −I, kde I je matice identity . V tomto článku rozumíme G jakoukoli skupinu izomorfní k PSL(2, 7).

Vlastnosti

G = PSL(2, 7) má 168 prvků. To lze zjistit spočítáním možných sloupců. Pro první sloupec je 7 2 −1 = 48 možností, pro druhý sloupec 7 2 −7 = 42 možností. Musíme dělit 7−1 = 6, aby se determinant rovnal jedné, a pak musíme dělit 2, když identifikujeme I a −I. Výsledek je (48x42)/(6x2) = 168.

Je dobře známo, že PSL( n , q ) je prvočíslo pro n , q ≥ 2 (kde q je nějaká mocnina prvočísla), pokud ( n , q ) = (2, 2) nebo (2, 3). PSL(2, 2) je izomorfní se symetrickou skupinou S3 a PSL(2, 3) je izomorfní se střídající se skupinou A4 . Ve skutečnosti je PSL(2, 7) druhá největší neabelovská jednoduchá grupa po alternující grupě A 5 = PSL(2, 5) = PSL(2, 4).

Počet tříd konjugace a počet neredukovatelných reprezentací je 6. Počet tříd je 1, 21, 42, 56, 24, 24. Rozměry neredukovatelných reprezentací jsou 1, 3, 3, 6, 7, 8.

Tabulka znaků

{\begin{array}{r|cccccc}&1A_{1}&2A_{21}&4A_{42}&3A_{56}&7A_{24}&7B_{24}\\\hline \chi _{1}&1&1&1&1&1&1\ \\chi _{2}&3&-1&1&0&\sigma &{\bar {\sigma }}\\\chi _{3}&3&-1&1&0&{\bar {\sigma }}&\sigma \\\chi _{4 }&6&2&0&0&-1&-1\\\chi _{5}&7&-1&-1&1&0&0\\\chi _{6}&8&0&0&-1&1&1\\\end{array}},

kde:

\sigma ={\frac {-1+i{\sqrt {7}}}{2}}.

Následující tabulka popisuje třídy konjugace z hlediska pořadí prvků ve třídách, počtu tříd, minimálního polynomu všech reprezentací v GL(3, 2) a záznamu funkce pro reprezentaci v PSL(2, 7).

Objednat	Velikost	Min. Polynom	Funkce
jeden	jeden	x +1	X
2	21	x 2 +1	−1/ x
3	56	x 3 +1	2 x
čtyři	42	x 3 + x 2 + x +1	1/(3− x )
7	24	x 3 + x +1	x +1
7	24	x 3 + x 2 +1	x + 3

Pořadí grupy je 168=3*7*8, což implikuje existenci Sylowových podgrup řádů 3, 7 a 8. První dvě je snadné popsat - jsou cyklické, protože jakákoliv skupina s prvočíslem je cyklický . Jakýkoli prvek konjugační třídy 3 A56 tvoří Sylow 3-podskupinu . Jakýkoli prvek konjugačních tříd 7A24 , 7B24 tvoří Sylow 7-podskupinu . Sylow 2-podskupina je dihedrální skupina řádu 8 . Lze jej popsat jako centralizátor libovolného prvku z konjugační třídy 2 A 21 . V reprezentaci GL(3, 2) se Sylow 2-podskupina skládá z horních trojúhelníkových matic.

Tato grupa a její podgrupa Sylow 2 poskytují protipříklad pro různé normální věty o p-doplňku pro p = 2.

Akce na projektivních prostorech

G = PSL(2, 7) působí prostřednictvím lineárně-lomové transformace na projektivní přímku P 1 (7) přes pole 7 prvků:

Pro a $\gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\mbox{PSL(2, 7)))$ $x\in \mathbf {P} ^{1}(7),\ \gamma \cdot x={\frac {ax+b}{cx+d))$

Tímto způsobem se získá každý automorfismus zachovávající orientaci přímky P 1 (7) a pak G = PSL(2, 7) lze chápat geometricky jako grupu symetrie projektivní přímky P 1 (7). Celá skupina možných automorfismů zachovávajících orientaci je rozšířením řádu 2 grupy PGL(2, 7) a kolineační grupa projektivní přímky je plná symetrická grupa bodů.

PSL(2, 7) je však také izomorfní ke skupině PSL(3, 2) (= SL(3, 2) = GL(3, 2)), speciální (obecné) lineární skupině matic 3×3 nad 2-prvkové pole. Podobně G = PSL(3, 2) působí na projektivní rovinu P 2 (2) přes 2-prvkové pole, také známé jako Fanova rovina :

Pro a $\gamma ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}\in {\mbox{PSL}}(3,2)$ $\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbf {P} ^{2}(2),\ \gamma \ \cdot \ \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}ax+by+cz\\dx+ey+fz\\gx+hy+iz\end{pmatrix}}$

Opět se tímto způsobem získá libovolný automorfismus P 2 (2) a pak G = PSL(3, 2) lze chápat geometricky jako grupu symetrie této projektivní roviny. Rovinu Fano lze popsat jako součin oktonionů .

Symetrie Kleinovy kvartiky

Kleinova kvartika je projektivní varieta přes komplexní čísla C definovaná polynomem čtvrtého stupně

x 3 y + y 3 z + z 3 x = 0.

Jedná se o kompaktní Riemannovu plochu rodu g = 3 a je jedinou takovou plochou, pro kterou velikost skupiny konformního automorfismu dosahuje maximálně 84( g −1). Tato vazba vyplývá z Hurwitzovy věty o automorfismu , která platí pro všechna g >1. Takové " Hurwitzovy povrchy " jsou vzácné. Další rod, pro který takový povrch existuje, je g = 7 a ten po něm je g = 14.

Stejně jako u všech Hurwitzových povrchů lze Kleinovým kvartikám přiřadit metriku konstantního záporného zakřivení a poté je poskládat pravidelnými (hyperbolickými) sedmiúhelníky jako faktorový prostor sedmiúhelníkového skládání řádu 3 . Pro Kleinovu kvartiku to dává dlaždici 24 sedmiúhelníků. Duálně může být uspořádáno 56 rovnostrannými trojúhelníky s 24 vrcholy, každý řádu 7, jako faktorový prostor trojúhelníkového obkladu řádu 7 .

Kleinova kvartika se objevuje v mnoha oblastech matematiky, včetně teorie reprezentace, teorie homologie, násobení oktonionů, poslední Fermatovy věty .

Mathieu Group

PSL(2, 7 ) je maximální podskupina Mathieuovy skupiny M21 . Mathieuovy skupiny M 21 a M 24 lze konstruovat jako rozšíření PSL(2, 7). Tato rozšíření lze interpretovat z hlediska Kleinových kvartických obkladů, ale nelze je realizovat pomocí geometrických symetrií obkladů [1] .

Skupinové akce

PSL(2, 7) působí na různé množiny:

Pokud je interpretován jako lineární automorfismy projektivní přímky nad F 7 , působí 2-tranzitivně na množinu 8 bodů se stabilizátorem řádu 3. (PGL(2, 7) působí striktně 3-tranzitivně s triviálním stabilizátorem.)
Interpretováno jako automorfismy Kleinova kvartického obkladu, působí tranzitivně na 24 vrcholů (nebo duálně na 24 heptagonů) se stabilizátorem řádu 7 (odpovídajícím rotaci kolem vrcholu/sedmiúhelníku).
Pokud je interpretována jako podgrupa Mathieuovy grupy M 21 působící na 21 bodech, nepůsobí tranzitivně na 21 bodech.

Poznámky

↑ Richter .

Literatura

David A. Richter. Jak vytvořit Mathieu Group M 24 .

Pro další čtení

Ezra Brown, Nicholas Loehr. Proč je PSL(2.7)≅GL(3.2)? // Am. Matematika. Po .. - 2009. - T. 116 , č.p. 8 . — S. 727–732 . - doi : 10.4169/193009709X460859 .