Fréchetův integrál

Fréchetův integrál je integrál definovaný na množině prvků libovolné povahy. $F$

Abychom určili Fréchetův integrál na množině , uvažujeme nějaký -kruh množin , na kterém je definována spočetně aditivní množinová funkce s variacemi a . Dovolit být nezáporná reálná funkce prvku prostoru . O funkci se říká, že je sčítatelná vzhledem k množině , pokud řada konverguje pod nějakým rozdělením množiny do disjunktních členů , , . $F$ $\sigma$ $T$ $\Phi (E)$ $\overline {W} (\Phi ,E)$ $\underline {W} (\Phi ,E)$ $f(x)$ $X$ $F$ $f(x)$ $\Phi$ $E\podmnožina T$ $\sum _{{i}}M_{{i}}W(\Phi ,E_{{i}})$ $E$ $E_{i}$ $E_{{i}}\podmnožina T$ $M_{{i}}=\sup _{{E_{{i}}}}f$

Fréchetův integrál funkce je definován jako rozdíl integrálů vzhledem k a . $f(x)$ $\overline {W} (\Phi ,E)$ $\underline {W} (\Phi ,E)$

Nezbytné a postačující podmínky pro existenci Fréchetova integrálu

Aby integrovatelná funkce byla Fréchetova integrovatelná, je nutné a postačující, aby se pro jakoukoli skutečnou množinu lišila od množiny v -kruhu nějakou podmnožinou množiny nulové míry patřící do -kruhu. $f(x)$ $A$ $E_{{x}}(f(x)>a)$ $\sigma$ $T$ $\sigma$

Literatura

Pesin I. N. Vývoj pojmu integrál. — M .: Nauka , 1980 . — 202 s.