Lebesgueova věta o dominované konvergenci

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 6. prosince 2019; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Lebesgueova věta o dominované konvergenci ve funkcionální analýze , teorii pravděpodobnosti a příbuzných disciplínách je věta, která říká, že pokud posloupnost měřitelných funkcí konvergujících téměř všude může být omezena v absolutní hodnotě integrovatelnou funkcí shora, pak všechny členy posloupnosti, jako stejně jako limitní funkce, jsou také integrovatelné. Navíc integrál posloupnosti konverguje k integrálu své limity.

Formulace

Nechť je pevně stanovena mezera s mírou . Předpokládejme, že a jsou měřitelné funkce na , navíc téměř všude . Pak pokud existuje integrovatelná funkce definovaná na stejném prostoru tak, že téměř všude, pak jsou funkce integrovatelné a $(X,\mathcal{F},\mu)$ $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ $f_n$ $X$ $f_{n}(x)\to f(x)$ $G$ $\forall n\in \mathbb{N} \quad |f_{n}(x)|\leqslant g(x)$ $f_{n},\;f$

\lim \limits _{{n\to \infty }}\int \limits _{X}f_{n}(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f(x)\ ,\mu(dx).

Poznámka

Podmínka, že posloupnost je majorizována integrovatelnou funkcí, je zásadní a nelze ji vynechat, jak ukazuje následující protipříklad. Nechť , kde je Borelova algebra na , a je Lebesgueova míra na stejném prostoru. Pojďme definovat $\{f_{n}\}$ $G$ $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )=([0,\;1],\;{\mathcal {B)),\;m)$ ${\mathcal {B}}$ $\sigma$ $[0,\;1]$ $m$

f_{n}(x)={\begin{cases}n,&x\in \left[0,\;{\dfrac {1}{n}}\right);\\[10pt]0,&x\in \left[{\dfrac {1}{n}},\;1\right].\end{cases}}

Potom posloupnost nemůže být majorizována integrovatelnou funkcí a $\{f_{n}\}$

\int \limits _{0}^{1}\lim \limits _{{n\to \infty }}f_{n}(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim \limits _ {{n\to \infty }}\int \limits _{0}^{1}f_{n}(x)\,m(dx).

Aplikace na teorii pravděpodobnosti

Protože matematické očekávání náhodné veličiny je definováno jako její Lebesgueův integrál nad prostorem elementárních výsledků , je výše uvedená věta přenesena do teorie pravděpodobnosti . Nechť existuje posloupnost náhodných proměnných konvergujících téměř všude : téměř všude. Nechť navíc existuje integrovatelná náhodná veličina taková, že téměř jistě. Pak jsou náhodné veličiny integrovatelné a $\Omega$ $X_{n}\to X$ $Y$ $\forall n\in \mathbb{N} \quad |X_{n}|\leqslant Y$ $X_{n},\;X$

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\mathbb {E}}X_{n}={\mathbb {E}}X.

Variace a zobecnění

Lebesgueova