Topologický prostor

Topologický prostor je množina s doplňkovou strukturou určitého typu (tzv. topologie); je hlavním předmětem studia topologie .

Historicky se pojem topologického prostoru objevil jako zobecnění metrického prostoru . Topologické prostory přirozeně vznikají téměř ve všech odvětvích matematiky. Mezi další zobecnění představ o množině s prostorovou strukturou patří pseudotopologický prostor [1] .

Definice

Nechť je dán soubor . Systém jeho podmnožin se nazývá topologie , pokud jsou splněny následující podmínky: $X$ $\mathcal{T}$ $X$

Spojení libovolné rodiny množin patřících do patří do ; to znamená pro jakoukoli sadu indexování a rodinu , . $\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$ $A$ $U_{\alpha }\in {\mathcal {T)),\alpha \in A$ $\bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha} \in \mathcal{T}$
Průsečík konečné rodiny množin patřících do patří do ; tedy pokud , tak . $\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$ $U_{i}\in {\mathcal {T}}\quad (i=1,\;\ldots ,\;n)$ $\bigcap\limits_{i=1}^n U_i \in \mathcal{T}$
$X,\;\varnothing \in \mathcal{T}$ .

Dvojice se nazývá topologický prostor . Množiny, které patří, se nazývají otevřené množiny . $(X,\;\mathcal{T})$ $\mathcal{T}$

Množiny, které jsou doplňky k otevřeným, se nazývají uzavřené .

Jakákoli otevřená množina obsahující daný bod se nazývá jeho okolí .

Další axiomy

Tři axiomy, které definují obecnou třídu topologických prostorů, jsou často doplněny určitými axiomy oddělitelnosti , podle kterých se rozlišují různé třídy topologických prostorů, například Tikhonovovy prostory, Hausdorffovy prostory , pravidelné, zcela pravidelné, normální prostory atd.

Vlastnosti topologických prostorů jsou navíc silně ovlivněny plněním určitých axiomů počitatelnosti - prvního axiomu spočetnosti , druhého axiomu spočetnosti (prostory se základnou spočetné topologie) a také oddělitelnosti prostoru. Z přítomnosti počitatelného základu topologie vyplývá separovatelnost a splnění prvního axiomu počitatelnosti. Navíc například pravidelné prostory s počitatelnou bází jsou normální a navíc metrizovatelné, to znamená, že jejich topologie může být dána nějakou metrikou. Pro kompaktní Hausdorffovy prostory je přítomnost počitatelné topologické báze nezbytnou a postačující podmínkou metrizovatelnosti. Pro metrické prostory jsou přítomnost počitatelné topologické báze a oddělitelnost ekvivalentní.

Příklady

Spojená dvojtečka je dvoubodový topologický prostor.

Reálná přímka je topologický prostor, jestliže například libovolné (prázdné, konečné nebo nekonečné) sjednocení konečných nebo nekonečných intervalů nazýváme otevřené množiny. Množina všech konečných otevřených intervalů je základem této topologie . Toto je standardní topologie na lince. Obecně lze na množině reálných čísel zavést velmi různorodé topologie, například přímku s „topologií šipky“, kde otevřené množiny vypadají jako , nebo Zariského topologii , ve které je jakákoli uzavřená množina konečnou množinou body. $\mathbb {R}$ $\{(a,\;b)\mid a,\;b\in\R\}$ $\R_\to$ $(a,\infty)$

Euklidovské prostory jsou obecně topologické prostory. Jejich standardní topologie může být založena na otevřených koulích nebo otevřených krychlích. Zobecnění dále, každý metrický prostor je topologický prostor, jehož topologie je založena na otevřených koulích . Takovými jsou například nekonečněrozměrné prostory funkcí studovaných ve funkcionální analýze . $\mathbb {R} ^{n}$

Množina spojitých zobrazení z topologického prostoru do topologického prostoru je topologický prostor s ohledem na následující topologii, který se nazývá kompaktní otevřený . Předbáze je dána množinami sestávajícími z zobrazení , pod kterými leží obraz kompaktní množiny v otevřené množině . $C(X,\;Y)$ $X$ $Y$ $C(K,\;U)$ $K$ $X$ $U$ $Y$

Z libovolné množiny lze vytvořit topologický prostor voláním všech jejích podmnožin za otevřené. Taková topologie se nazývá diskrétní . V něm jsou otevřené libovolné sady. Dalším omezujícím případem je volání minimálního možného počtu podmnožin open , totiž zavedení triviální topologie - je v ní otevřena pouze prázdná množina a samotný prostor . $X$ $X$ $X$

Způsoby definování topologie

Určení topologie pomocí báze nebo předbáze

Není vždy vhodné vyjmenovat všechny otevřené množiny. Často je vhodnější zadat nějakou menší sadu otevřených sad, která je všechny vygeneruje. Formalizací toho je pojem topologické báze. Podmnožina topologie se nazývá báze topologie , pokud je jakákoli otevřená množina reprezentována jako sjednocení množin z , tj. $\mathfrak{B} \subset \mathcal{T}$ ${\mathfrak {B}}$

\forall U \in \mathcal{T}\; \exists \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A} \subset \mathfrak{B}\colon U = \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}.

Ještě ekonomičtější způsob, jak specifikovat topologii, je specifikovat její předbázi , množinu, která se stane základem, pokud se k ní přidají libovolné konečné průsečíky jejích prvků. Aby mohl být systém množin prohlášen za předbázi topologie, je nutné a postačující, aby pokrýval celou množinu . ${\mathfrak {P}}$ $X$

Předbáze se nejčastěji používají ke specifikaci topologie indukované na rodině mapování (viz níže). $X$

Indukovaná topologie

Dovolit být libovolné zobrazení množiny do topologického prostoru . Indukovaná topologie poskytuje přirozený způsob, jak zavést topologii na : otevřené množiny v jsou brány jako všechny možné inverzní obrazy otevřených množin v ; to znamená otevřít, pokud existuje takové otevření , že . Výše popsaná topologie na , je minimální a jediná (podle zahrnutí) topologie, ve které je dané zobrazení spojité. $f:X\to Y$ $X$ $Y$ $X$ $X$ $Y$ $U\v X$ $V\v Y$ $U=f^{-1}(V)$ $X$

Příklad. Nechť topologický prostor, jeho podmnožinu. Pokud výše popsanou konstrukci aplikujeme na množinově teoretické vnoření , pak získáme topologii na podmnožině, obvykle také nazývanou indukovaná topologie. $X$ $A$ $i:A\to X$

Faktorová topologie

Nechť je topologický prostor, nechť je na něm definována i nějaká relace ekvivalence , v tomto případě existuje přirozený způsob, jak definovat topologii na množině faktorů . Podmnožinu faktoru prohlásíme za otevřenou tehdy a jen tehdy, když je její předobraz pod faktorizačním mapováním otevřený v . Je snadné ověřit zaprvé, že to skutečně definuje topologii, a zadruhé, že se jedná o maximální a jedinou (zahrnutím) topologii, ve které je naznačené faktorizační zobrazení spojité. Taková topologie se obvykle nazývá kvocientová topologie na . $X$ $\sim$ $X/{\sim }$ $X$ $X/{\sim }$

Definování topologie s uzavřenými množinami

Množina se nazývá uzavřená , pokud je její doplněk otevřená množina. Definovat topologii na systému uzavřených množin znamená prezentovat systém podmnožin s následujícími vlastnostmi: $F\podmnožina X$ $U = X \setminus F$ $X$ ${\mathcal {P}}$ $X$

Systém je uzavřen operací průniku množin (včetně nekonečných rodin): ${\mathcal {P}}$ $\forall \alpha\in A \quad F_{\alpha}\in\mathcal{P} \Rightarrow \bigcap\limits_{\alpha\in A} F_{\alpha} \in \mathcal{P}$
Systém je uzavřen s ohledem na operaci sjednocení množin (v konečném množství): ${\mathcal {P}}$ $F_1,\;F_2\in \mathcal{P} \Rightarrow F_1\pohár F_2\in \mathcal{P}$
Sady jsou součástí systému . $X,\;\varnonic$ ${\mathcal {P}}$

Je-li dán množinový systém s takovými vlastnostmi, použije se operace doplňku k vytvoření otevřeného množinového systému, který definuje topologii na . $\mathcal{T}$ $X$

\mathcal{T} = \{X\setminus F: F\in \mathcal{P}\}.

V algebraické geometrii je topologie aplikována na spektrum (systém všech primárních ideálů ) komutativního kruhu s jednotkou - . Topologie na je zavedena pomocí systému uzavřených množin: nechť je libovolný ideál kruhu (ne nutně jednoduchý), pak odpovídá množině $B$ $X = \mathrm{Spec}\, B$ $X$ $\mathfrak{a}$ $B$

V(\mathfrak{a}) = \{\mathfrak{p}\in X:\mathfrak{a}\subset\mathfrak{p}\}.

Všechny množiny tohoto druhu tvoří množinový systém, který splňuje uvedené axiomy, od

\bigcap\limits_{\alpha\in A}V(\mathfrak{a}_{\alpha}) = V\left(\sum\limits_{\alpha\in A} \mathfrak{a}_{\alpha} \right),\quad V(\mathfrak{a})\cup V(\mathfrak{b}) = V(\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{b}),\quad V((0)) = X, \quad V((1)) = \varnothing.

Zarisského topologie v prostoru je také specifikována pomocí systému uzavřených množin. Uzavřené množiny v topologii Zariski jsou všechny množiny, které jsou množinou společných nul konečného systému polynomů. Naplnění axiomů soustavy uzavřených množin vyplývá ze skutečnosti, že okruh polynomů je noetherovský a ze skutečnosti, že společné nuly libovolné soustavy polynomů se shodují se společnými nulami ideálu, který tvoří. $X=\mathbf{C}^n$ $\mathbf{C}[z_1,\;z_2,\;\ldots,\;z_n]$

Prostor je přirozeně zasazen do spektra polynomiálního kruhu (shoduje se s množinou všech jeho uzavřených bodů) a Zarisského topologie se neshoduje s topologií vyvolanou prostorovou topologií . $X = \mathbf{C}^n$ $Y = \mathrm{Spec}\,\mathbf{C}[z_1,\;z_2,\;\ldots,\;z_n]$ $X$ $Y$

Nepřetržité zobrazení

Pojem topologie je minimum nutné k hovořit o spojitých zobrazeních . Intuitivně je spojitost nepřítomnost nespojitostí, to znamená, že blízké body v souvislém mapování by měly přejít do blízkých bodů. Ukazuje se, že pro definování pojmu blízkosti bodů se lze obejít bez pojmu vzdálenosti. To je přesně topologická definice spojitého zobrazení.

O mapě topologických prostorů se říká , že je spojitá , pokud je otevřený inverzní obraz každé otevřené množiny. $f:(X,\;\mathcal{T}_X)\to(Y,\;\mathcal{T}_Y)$

Kategorie topologických prostorů obsahuje jako objekty všechny topologické prostory, zatímco morfismy obsahují spojitá zobrazení. Pokusy o klasifikaci objektů této kategorie pomocí algebraických invariantů jsou věnovány části matematické vědy zvané algebraická topologie . Obecná topologie se věnuje studiu pojmů spojitosti, stejně jako dalších pojmů, jako je kompaktnost nebo oddělitelnost jako takových, bez použití jiných nástrojů . Jako doplňkové struktury na objektu může být např. svazek sad na nebo afinní čára na , tedy . Označte kategorii prostorů z doplňkovou strukturou . Zapomnětlivý funktor - kartézské svazky. Objekty se nazývají prostory se strukturou. Objekt vrstvy nahoře se nazývá struktura nahoře . $\mathrm{Nahoru}$ $X\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}$ $X$ $X$ $\mathbb {A} _{X}\to X$ $\mathcal{T}$ ${\mathcal {T}}^{E}$ ${\mathcal {T}}^{E}\to {\mathcal {T}}$ $\mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}$ ${\mathcal {T}}^{E}\to {\mathcal {T}}$ $X\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}^{E}$ $X\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}$

Funkční struktura

Funkční struktura na je podle Hochschilda zobrazení , které přiřazuje každé otevřené množině subalgebru algebry spojitých reálně hodnotných funkcí na . Toto zobrazení je svazek algeber, podsvazek zárodků spojitých funkcí reálné hodnoty na , který obsahuje konstantní svazek. Vyplývá to z podmínek kladených na : $X$ ${\mathcal {F}}_{X}$ $U\podmnožina X$ ${\mathcal {F}}_{X}(U)$ $U$ $X$ ${\mathcal {F}}_{X}$

jestliže je libovolné spojení otevřených množin, pak zobrazení patří , pokud omezení na každou otevřenou množinu patří do ; $U=\bigcup _{\alpha }U_{\alpha }$ $f:U\to \mathbb {R}$ ${\mathcal {F}}_{X}(U)$ $F$ ${\displaystyle U_{\alpha ))$ ${\mathcal {F}}_{X}(U_{\alpha })$
${\mathcal {F}}_{X}(U)$ obsahuje všechny konstanty funkce; $U$
if , pak je omezení on obsaženo v . $V\podmnožina U$ $f\in {\mathcal {F}}_{X}(U)$ $PROTI$ ${\mathcal {F}}_{X}(V)$

Například -varianta s hranicí je parakompaktní Hausdorffův prostor vybavený funkční strukturou , lokálně izomorfní k prostoru . Hranice se skládá z těch bodů, které jsou mapovány do bodů nadroviny, což je hladká- dimenzionální varieta s indukovanou strukturou. ${\displaystyle C^{\infty ))$ $(M,{\mathcal {F}})$ $(\mathbb {R} _{+}^{n},C^{\infty })$ $(n-1)$

Homotopické skupiny koulí

Homotopické skupiny sfér jsou základními topologickými invarianty, jejichž pochopení vede k lepšímu pochopení topologických prostorů obecně a také přítomnosti velkého množství komplexních vzorů v jejich struktuře.

Viz také

Glosář obecné topologie

Poznámky

↑ Frölicher, 1970 , s. 21.

Literatura

Aleksandrov, PS Úvod do teorie množin a obecné topologie. — M .: GIITL, 1948.
Kelly, J. L. Obecná topologie. — M .: Nauka, 1968.
Engelking, R. Obecná topologie. — M .: Mir , 1986. — 752 s.
Frölicher, A., Bucher W. Diferenciální počet ve vektorových prostorech bez normy. — M .: Mir, 1970.
Viro O. Ya., Ivanov O. A., Netsvetaev N. Yu., Kharlamov V. M. Elementary topology.
Vasiliev V. A. Úvod do topologie. - M .: Fazis, 1997.