Cauchyho věta (teorie grup)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 5. září 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Cauchyho teorém v teorii grup říká:

Pokud je řád konečné grupy dělitelný prvočíslem , pak obsahuje prvky řádu . $G$ $p$ $G$ $p$

Úzce souvisí s Lagrangeovým teorémem , na základě kterého je řád jakékoli konečné grupy G dělitelný řádem kterékoli z jejích podgrup. Podle Cauchyho věty pro každého prvočíselného dělitele p řádu G existuje podgrupa, jejíž řád je p . Je to cyklická grupa generovaná prvkem z Cauchyho věty.

Zobecněním Cauchyho věty je první Sylowova věta , podle níž, je-li p n maximální mocninou p , která rozděluje řád grupy G , pak G má podgrupu právě tohoto řádu. S využitím skutečnosti , že skupina řádu p n je řešitelná , lze ukázat , že G obsahuje podgrupy libovolného řádu p r , pro které $r\leq n.$

Důkaz

Tento teorém je často dokázán indukcí a použitím tříd konjugace , ale pro Abelovské grupy je podobné tvrzení mnohem snazší dokázat. Skupinová akce může být také použita v důkazu . [jeden]

Možnost 1

Tuto větu nejprve dokazujeme ve speciálním případě, kdy je grupa G abelovská, pak v obecném případě. Věta bude v obou případech dokázána indukcí na n = | G |, počínaje n = p . Báze je triviální, protože každý neidentický prvek má řád p .

Je-li G Abelovské, pak uvažujme jakýkoli neidentický prvek a a cyklickou podgrupu H , kterou generuje . Pokud se p dělí | H |, pak | H |/ p je požadovaný prvek řádu p . V opačném případě p dělí nikoli pořadí | H |, ale pořadí [ G : H ] faktorové grupy G / H . Pak, podle indukční hypotézy, skupina faktorů obsahuje prvek řádu p . Je to jedna z tříd xH , kde x leží v G . Pokud má řád m ve skupině G , pak : vzhledem k tomu , že ve skupině G x m = e , ( xH ) m = eH v kvocientové grupě G / H . Tedy p dělí m ; podobně x m / p se ukáže jako prvek řádu p ve skupině G , čímž se dokončí důkaz v abelovském případě. $m\vdots p$

Obecně nechť je skupina Z středem skupiny G . Pak se ukáže, že Z je Abelian. Pokud je jeho řád násobkem p , pak, jak jsme již viděli, obsahuje prvek řádu p . Tento prvek má tedy také řád p ve skupině G . Jinak p nedělí Z. _ Protože p dělí | G |, a G je rozdělena na Z a další třídy konjugace , jedna z těchto tříd obsahuje prvek a, jehož velikost třídy není dělitelná p . Je však snadné ukázat, že jeho velikost je [ G : C G ( a )] a není násobkem p . Proto p dělí řád centralizátoru C G ( a ) prvku a ve skupině G , který se neshoduje se skupinou G . Ale podle induktivního předpokladu požadovaný prvek řádu p leží v centralizátoru , což mělo být prokázáno.

Možnost 2

V této variantě využíváme toho, že působením cyklické grupy prvořadého řádu p vznikají pouze dráhy o velikosti 1 a p , což bezprostředně vyplývá z věty o stabilizátoru dráhy.

Jednejme naší grupou na množinu řešení rovnice

X=\{\,(x_{1},\ldots ,x_{p})\in G^{p}:x_{1}x_{2}\cdots x_{p}=e\,\ }

těch. na množinu posloupností p prvků grupy G , jejichž součin je roven 1. Taková posloupnost je jednoznačně definována všemi prvky kromě posledního, který je inverzní součinu zbytku. Je také zřejmé, že tyto prvky p − 1 lze volit libovolně a množina X má | G | p −1 prvků a jejich počet je násobkem p .

Nyní si všimněte, že ve skupině ab = e právě tehdy, když ba = e . Proto pokud , tak . To znamená, že cyklické permutace složek prvku množiny X budou opět generovat prvky X . To nám umožňuje určit působení cyklické skupiny C p řádu p na množinu X permutací složek. Jinými slovy, prvek generující grupu C p bere $x_{1}x_{2}\cdots x_{p}=e$ $x_{2}\cdots x_{p}x_{1}=e$

(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{p})\mapsto (x_{2},\ldots ,x_{p},x_{1})

Je zřejmé, že při této akci mají oběžné dráhy v X velikosti 1 nebo p . Orbita má velikost 1 právě tehdy, když její jediný prvek je ve tvaru a . Protože počet prvků v X je roven součtu počtu prvků na oběžných drahách, počet prvků, pro které je násobkem p . Protože jeden z nich je prvek identity, existuje celkem alespoň prvků, z nichž alespoň p − 1 se nerovná prvku identity, ale má řád p . Věta byla prokázána. $(x,x,\ldots ,x)$ $x^{p}=e$ $X$ $x^{p}=e$ $p$

Aplikace

Cauchyho věta nám umožňuje okamžitě stanovit, které grupy mohou být konečné p-grupy , kde p je prvočíslo. Konkrétně, konečná grupa G je p -grupa (to znamená, že pořadí všech prvků jsou přesné mocniny p ) právě tehdy, když řád grupy je sám o sobě mocninou p . Ačkoli Abelian případ může také být aplikován na důkaz Sylowovy první věty indukcí, [2] stejně jako v prvním důkazu , tam jsou také důkazy ve kterém tento případ je zpracovaný odděleně.

Příklad

Abelovská jednoduchá grupa může být pouze cyklická prvotřídního řádu. V každé takové skupině G jsou všechny její podskupiny normální. Pokud je tedy jednoduchý, pak všechny jeho normální podgrupy jsou buď skupinou jednotek, nebo samotnou. pokud | G | = 1 , pak G samo o sobě je identita. Jinak obsahuje netriviální prvek a ∈ G a cyklická skupina je netriviální podgrupou G . Nechť je nyní řád skupiny roven n . Pokud je nekonečná, pak $\langle a\rangle$ $G=\langle a\rangle .$ $\langle a\rangle$

G=\langle a\rangle \supsetneqq \langle a^{2}\rangle \supsetneqq \{e\},

což je nemožné.

Takže n je konečné. Je-li n složené, pak je násobkem prvočísla q menšího než n . Pak ale existuje podgrupa H řádu q , což je v rozporu s předpokladem. Takže n je jednoduché.

Poznámky

↑ McKay, 1959 .
↑ Jacobson, 2009 , str. 80.

Literatura

Cauchy, Augustin-Louis (1845), Mémoire sur les processing que l'on peut bývalý avec des lettres données, et sur les permutations ou substitus à l'aide desquelles on passe d'un uspořádání à un autre , Exercises d'analyse et de physique mathématique (Paříž) Vol. 3: 151-252 , < https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96417945/f157.image >
Cauchy, Augustin-Louis (1932), Oeuvres complètes , sv. 13 (přetištěné vyd.), druhá řada, Paris: Gauthier-Villars, str. 171–282 , < https://iris.univ-lille.fr/handle/1908/4035 >
Jacobson, Nathan (2009), Základní algebra , sv. I (druhé vyd.), Dover Books on Mathematics, Dover Publications , str. 80, ISBN 978-0-486-47189-1
McKay, James H. (1959), Další důkaz Cauchyho grupového teorému , American Mathematical Monthly Vol . 66: 119 , DOI 10.2307/2310010

Teorie skupin
Základní pojmy	Podskupina Normální podskupina Faktorová skupina Práce Přímo polopřímý volný, uvolnit
Algebraické vlastnosti	komutativní skupina Cyklická skupina objednaná skupina Transformovat skupinu Řešitelná skupina Schreierovo lemma Lagrangeova věta Sylowovy věty Klasifikace jednoduchých konečných grup
konečné skupiny	Konečná cyklická grupa C n Symetrická grupa S n Dihedrální skupina D n Střídavá skupina A n Kleinová čtyřčlenná skupina Mathieu skupiny M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conwayovy skupiny Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko skupiny J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Rybářské skupiny F22 _ F 23 F24 _ monstrum (M)
Topologické skupiny	Skupiny lži Ortogonální skupina O(n) Speciální ortogonální grupa SO(n) Unitární skupina U(n) Speciální unitární skupina SU(n) Symplectic group Sp(n) Výjimečně jednoduché Lorentzova skupina Skupina Poincaré
Algoritmy na skupinách	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourierova transformace