Kovariantní metoda

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 16. června 2011; kontroly vyžadují 8 úprav .

Kovariantní metoda je přístup v teoretické fyzice vyvinutý F. I. Fedorovem založený na lineární algebře a přímém tenzorovém počtu . Rozšířil se v aplikaci na popis optických jevů a částečně i ve fyzice elementárních částic.

Podstata metody

Kovariantní metoda je stručná matematická formulace fyzikálních teorií pomocí tenzorové algebry. Hlavními oblastmi použití metody jsou teoretická optika a akustika . Kovariantní metoda značně zjednodušuje těžkopádné výrazy, které se objevují při popisu šíření polí v komplexních ( anizotropních , gyrotropních , biizotropních ) médiích. Pomocí této metody je zavedena aplikačně vhodná vektorová parametrizace Lorentzovy grupy , kterou lze dále aplikovat v teorii elementárních částic .

Obecně jsou elektromagnetická a akustická pole popsána vektory . Jestliže prostor, ve kterém se vlna šíří, má symetrii , pak vektor pole a tenzory popisující médium mohou být specifikovány svými složkami v nějakém souřadnicovém systému , v souladu se symetrií systému, která se obvykle používá v optice a akustice. Vektory a tenzory však mohou být zapsány bez ohledu na souřadnicový systém, jednoduše jako geometrické objekty, což je to, co se používá v kovariantní metodě. Z tohoto důvodu se kovariantní metodě také říká bezsouřadnicová (při řešení úlohy se neuvádí konkrétní souřadnicový systém ). Popis šíření vlny v krystalu je redukován na provádění operací s tenzory a vektory , pro které byly vyvinuty metody zjednodušující práci s tenzory a explicitně využívající jejich invarianty (v trojrozměrném prostoru pro tenzory druhé valence jsou to tzv. stopa , determinant tenzoru a determinant vzájemného tenzoru ). Krystalové symetrie v tomto přístupu jsou vyjádřeny jako určité vztahy mezi invarianty a tenzory popisující krystal mají vhodné výrazy.

Typy tenzorů

Hlavní typy tenzorů trojrozměrného prostoru používané v kovariantní metodě jsou

je jednotkový tenzor , ${\textbf {1}}$

— projekční operátor ve směru jednotkového vektoru — dyáda , ${\textbf {n))$ ${\textbf {n}}\otimes {\textbf {n}}$

je promítací operátor na rovinu ortogonální k jednotkovému vektoru , $I={\textbf {1}}-{\textbf {n}}\otimes {\textbf {n}}=-{\mathbf {n} ^{\times }}^{2}$ ${\textbf {n))$

je tenzor duální k vektoru : . ${\textbf {n}}^{\times }$ $\mathbf {n}$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{ij}^{\times }=\epsilon _{ilj}n_{l))$

Optické krystaly mohou být izotropní , jednoosé nebo dvouosé . Anizotropie krystalů je určena tenzorem permitivity , který může být reprezentován v axiální formě:

1. izotropní prostředí , $\varepsilon =\varepsilon {\textbf {1}}$

2. jednoosý krystal (vektor určuje směr optické osy ), $\varepsilon =\varepsilon _{1}{\textbf {1}}+(\varepsilon _{2}-\varepsilon _{1}){\textbf {c}}\otimes {\textbf {c} }$ ${\textbf {c))$

3. dvouosý krystal . $\varepsilon =a{\textbf {1}}+b({\textbf {c}}'\otimes {\textbf {c}}''+{\textbf {c}}''\otimes {\ textbf{c}}')$

Vektory definující směry optických os jsou zcela určeny z hlediska vlastních čísel a hlavních os příslušných tenzorů [1], [3], [4].

Vektorová parametrizace Lorentzovy skupiny

Obecnou Lorentzovu skupinu lze reprezentovat jako skupinu transformací formuláře ${\textbf {}}L$

$L=\left({\begin{array}{cc}\alpha &i{\textbf {u}}\\i{\textbf {v}}&k\end{array}}\right)$ ,

splňující podmínky , . Lorentzova matice může být parametrizována jedním trojrozměrným komplexním vektorem a má tvar ${\textbf {}}(\det L)^{2}=1$ ${\textbf {}}LL^{T}=L^{T}L=1$ ${\textbf {}}L$ ${\textbf {q))$

$L={\frac {(1+{\textbf {q}}_{+})(1+{\textbf {q}}_{-}^{\ast })}{|1+{ \textbf {q}}^{2}|}}$ ,

kde a jsou čtyřrozměrné antisymetrické matice , které jsou přiřazeny ke komplexnímu trojrozměrnému vektoru . Výše uvedené matice jsou určeny vektorem a jeho komplexně konjugovaným vektorem a jsou rovny ${\textbf {q}}_{+}$ ${\textbf {q}}_{-}^{\ast }$ ${\textbf {q))$ ${\textbf {q))$ ${\textbf {q}}^{\ast }$

${\textbf {q}}_{+}=\left({\begin{array}{cc}{\textbf {q}}^{\times }&{\textbf {q}}\\- {\textbf {q}}&0\end{array}}\right),\qquad {\textbf {q}}_{-}^{\ast }=\left({\begin{array}{cc}{ \textbf {q}}^{\ast \times }&-{\textbf {q}}^{\ast }\\{\textbf {q}}^{\ast }&0\end{array}}\right )$ .

Pro vektorové parametry Lorentzovy grupy platí následující zákon o složení

${\textbf {q}}''={\frac ({\textbf {q}}+{\textbf {q}}'+{\textbf {q}}\times {\textbf {q}} '}{1-{\textbf {q}}{\textbf {q}}'}}$ .

Vektorovou parametrizaci lze zavést i pro rotační skupinu a v tomto případě budou vektorové parametry patřit do reálného trojrozměrného prostoru a zákon jejich složení bude stejný.

Aplikace metody

Kovariantní metoda vám umožňuje provádět výpočty s vektory a tenzory v jejich přímé formě, aniž byste se uchýlili k zápisu indexu. V tomto případě je dosaženo kompaktnosti a jednoduchosti výsledných výrazů.

Polarizační kritéria mají například následující podobu:

$\mathbf {E} ^{2}=0$ - kruhová polarizace

$[\mathbf {E} ,\mathbf {E} ^{*}]=0$ - lineární polarizace

Existuje několik variant kritéria kruhové a lineární polarizace [3]. Pokud není splněno žádné z výše uvedených kritérií, jedná se o obecný případ eliptické polarizace a rozměry a orientace os polarizační elipsy jsou zjišťovány v mnohem kompaktnější podobě, než je tomu v kartézském souřadnicovém systému [ 7].

Extra

Pracovníci katedry teoretické fyziky Běloruské státní univerzity se zabývají zobecněním kovariantní metody. Taková zobecněná metoda se nazývala operátor [6], protože je založena na aplikaci evolučních operátorů spojujících pole ve dvou bodech prostoru. Operátorská metoda je použitelná pro popis vrstvených systémů (včetně systémů s válcovou a sférickou symetrií).
Kovariantní metoda byla úspěšně použita nejen v pracích běloruských fyziků, ale také ve studiích pracovníků Ústavu krystalografie Akademie věd SSSR [1] [2] .

Viz také

Diferenciální formy v elektromagnetismu

Poznámky

↑ Yu.I. Sirotin, M.P. Šaskolská. Základy fyziky krystalů. - M.: Nauka, 1975.
↑ A.F. Konstantinová, B.N. Grechushnikov, B.V. Bokut, E.G. Valjaško. Optické vlastnosti krystalů. - Minsk: Věda a technika, 1995.

Literatura

[1] F.I. Fedorov. Optika anizotropních prostředí. - Minsk: Z Akademie věd BSSR, 1958; 2. vyd. M.: URSS, 2004.
[2] F.I. Fedorov. Teorie elastických vln v krystalech. - M.: Nauka, 1965; New York: Plenum Press, 1968.
[3] F.I. Fedorov. Teorie gyrotropie. - Minsk: Věda a technika, 1976.
[4] F.I. Fedorov, V.V. Filippov. Odraz a lom světla průhlednými krystaly. - Minsk: Věda a technika, 1976.
[5] F.I. Fedorov. Lorentzova skupina. - M.: Nauka, 1979; 2. vyd. M.: URSS, 2003.
[6] L.M. Barkovský, A.N. Kožešiny. Operátorové metody pro popis optických polí ve složitých médiích. - Minsk: Běloruská věda, 2003.
[7] M. Born, E. Wolf Základy optiky
[8] IS Res. Bezpříkladný plagiát v teorii elektromagnetických vln. - Krystal. Res. Technol., 1988, sv. 23, č. 4, K77-K79.