Dyáda

Diáda je speciální tenzor druhého stupně, vnější součin dvou vektorů [1] [2] . V složkovém zápisu má dyáda tvar

\ A_{ij}=a_{i}b_{j},

V nesouřadnicové formě

\mathbf {A} =\mathbf {a} \otimes \mathbf {b}

, nebo prostě

\mathbf {ab}

Jakýkoli bivalentní tenzor lze rozložit na součet nejvýše n dyád, kde n je rozměr původního lineárního prostoru, protože

{\begin{bmatrix}0&\tečky &a_{1}&\tečky &0\\0&\tečky &a_{2}&\tečky &0\\\tečky &\tečky &\tečky &\tečky &\tečky \ \0&\tečky &a_{n}&\tečky &0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\tečky \\a_{n}\end{bmatrix} }\otimes {\begin{bmatrix}0&\tečky &1&\tečky &0\end{bmatrix}}

a jakákoli matice může být reprezentována jako součet nejvýše n takových "jednosloupcových" matic.

Příklad dyády

Uvažujme například dvojici vektorů

\mathbf {A} =a\mathbf {i} +b\mathbf {j}

\mathbf {B} =c\mathbf {i} +d\mathbf {j} .

Pak tenzorový součin A a B je

\mathbf {A\otimes B} =ac\mathbf {i\otimes i} +ad\mathbf {i\otimes j} +bc\mathbf {j\otimes i} +bd\mathbf {j\otimes j }

Rotační operátor

Bivalentní tenzor

\mathbf {j\otimes i} -\mathbf {i\otimes j}

je operátor pro otočení roviny o 90° (proti směru hodinových ručiček). Působí nalevo od vektoru a vytváří rotaci:

(\mathbf {j\otimes i} -\mathbf {i\otimes j} )\cdot (x\mathbf {i} +y\mathbf {j} )=x\mathbf {j(i} \cdot \mathbf {i)} -x\mathbf {i(j} \cdot \mathbf {i)} +y\mathbf {j(i} \cdot \mathbf {j)} -y\mathbf {i(j} \ cdot \mathbf {j)} =-y\mathbf {i} +x\mathbf {j} .

Použití dyád

Ve fyzice

Jako nejjednodušší součásti dvojmocných tenzorů našly dyády uplatnění v krystalové fyzice při popisu symetrických vlastností krystalů . Tento přístup zaznamenal největší rozvoj v tzv. kovariantní nebo bezkoordinační metodě , vyvinuté běloruskou školou teoretické fyziky.

Poznámky

↑ Lipschutz, S. Lineární algebra / S. Lipschutz, M. Lipson. — 4. - McGraw-Hill, 2009. - ISBN 978-0-07-154352-1 .
↑ Keller, Frank Algebraické vlastnosti matic; Přemístit; Vnitřní a vnější produkt . inf.ed.ac.uk (23. února 2020). Získáno 6. září 2020. Archivováno z originálu dne 23. června 2021. (neurčitý)

Literatura

Kochin N. E. Vektorový počet a počátky tenzorového počtu. - 9. vyd. — M .: Nauka , 1965. — 424 s.
Dimitrienko Yu I. Tenzorový počet. - M . : Vyšší škola , 2001. - 575 s.