Diferenciální formy v elektromagnetismu

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 5. prosince 2015; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Diferenciální formy v elektromagnetismu jsou jednou z možných matematických formulací klasické elektrodynamiky využívající diferenciální formy ve čtyřrozměrném časoprostoru.

Uvažujme Faradayovu 2-formu odpovídající tenzoru elektromagnetického pole :

{\textbf {F}}={\frac {1}{2}}F_{{ab}}\,({\mathrm d}}x^{a}\wedge {{\mathrm d}}x^{ b}.

Tato forma je formou zakřivení triviálního hlavního svazku se strukturní grupou U(1) , kterou lze popsat klasickou elektrodynamiku a kalibrační teorii . 3-forma proudu , duální ke 4-vektoru proudu, má tvar

{\textbf {J}}=J^{a}\varepsilon _{{abcd}}\,({\mathrm d}}x^{b}\wedge {{\mathrm d}}x^{c}\ klín {{\mathrm d}}x^{d}.

V tomto zápisu lze Maxwellovy rovnice psát velmi kompaktně jako

{\mathrm {d}}\,{{\textbf {F}}}={\textbf {0}}

\mathrm {d} \,{*{\textbf {F}}}={*{\textbf {J}}}

kde je Hodgeův hvězdný operátor . Geometrie obecné teorie měřidel lze popsat podobným způsobem. $*$

2-forma se také nazývá Maxwell 2-forma . $*{\mathbf {F}}$

Literatura

Arnold V. I. Matematické metody klasické mechaniky, M .: Editorial URSS, 2003. - ISBN 5-354-00341-5
Cartan A. Diferenciální počet. diferenciální formy. M.: Mir, 1971
Bolibrukh A. A. Maxwellovy rovnice a diferenciální formy , MTsNMO, 2002.

Viz také

Dyadický tenzor _ _ _
Dvouprvkový tenzor ( angl. Dyadický tenzor )
Dvouprvkové násobení tenzorů ( angl. Dyadic product )
Čtveřice
Externí algebra