Tenzorový součin je operace s vektorovými prostory , stejně jako s prvky ( vektory , matice , operátory , tenzory atd.) násobených prostorů.
Tenzorový součin lineárních prostorů je lineární prostor označený . Pro prvky a jejich tenzorový součin leží v prostoru .
Zápis pro tenzorový součin vznikl analogicky se zápisem pro kartézský součin množin.
Nechť a být konečnorozměrné vektorové prostory nad polem , být základem v , a být základem v . Tenzorový součin prostorů budeme nazývat vektorový prostor generovaný prvky , nazývaný tenzorové součiny bázových vektorů . Tenzorový součin libovolných vektorů lze definovat nastavením operace jako bilineární :
V tomto případě je tenzorový součin libovolných vektorů vyjádřen jako lineární kombinace základních vektorů . Prvky v , reprezentovatelné jako , se nazývají rozložitelné .
Přestože je tenzorový součin prostorů definován z hlediska volby bází, jeho geometrické vlastnosti na této volbě nezávisí.
Tenzorový součin je v jistém smyslu nejobecnějším prostorem, do kterého lze bilineárně mapovat původní prostory. Konkrétně pro jakýkoli jiný prostor a bilineární mapování existuje jedinečné lineární mapování takové, že
kde označuje složení funkcí .
Zejména z toho vyplývá, že součin tenzoru nezávisí na volbě bází v a , protože všechny prostory splňující univerzální vlastnost se ukáží jako kanonicky izomorfní k .
Zadání libovolného bilineárního zobrazení je tedy ekvivalentní zadání lineárního zobrazení : prostory a jsou kanonicky izomorfní.
Výše uvedená univerzální vlastnost může být rozšířena na produkty s více než dvěma prostory. Nechť , , a jsou například tři vektorové prostory. Tenzorový součin spolu s trilineárním mapováním z přímého součinu
má formu, jako jakékoli trilineární zobrazení z přímého součinu do vektorového prostoru
jedinečně prochází produktem tensor:
kde je lineární zobrazení. Tenzorový součin je jedinečně charakterizován touto vlastností až do izomorfismu . Výsledek výše uvedené konstrukce se shoduje s opakováním tenzorového součinu dvou prostorů. Například, jestliže , a jsou tři vektorové prostory, pak existuje (přirozený) izomorfismus
Obecně je tenzorový součin libovolné indexované rodiny množin definován jako univerzální objekt pro multilineární zobrazení z přímého součinu .
Nechť je libovolné přirozené číslo. Pak se tenzorová mocnina prostoru nazývá tenzorový součin kopií :
Tenzorový součin také působí na lineární zobrazení. Dovolit , být lineární operátory. Tenzorový součin operátorů je určen pravidlem
Po této definici se tenzorový součin stává bifunktorem z kategorie vektorových prostorů do sebe, kovariantním v obou argumentech. [jeden]
Pokud matice operátorů A a B pro nějaký výběr bází mají tvar
pak se matice jejich tenzorového součinu zapíše do báze tvořené tenzorovým součinem bází ve formě blokové matice
Odpovídající maticová operace se nazývá Kroneckerův produkt podle Leopolda Kroneckera .
(Matricové) násobení sloupcového vektoru vpravo řádkovým vektorem popisuje jejich tenzorový součin:
Následující algebraické vlastnosti jsou založeny na kanonickém izomorfismu:
Dovolit být moduly přes nějaký komutativní kruh . Tenzorovým součinem modulů je modul přes , daný spolu s multilineárním zobrazením a mající vlastnost univerzálnosti, to znamená, že pro jakýkoli modul přes a jakékoli multilineární zobrazení existuje jedinečný homomorfismus modulů takový, že diagram
komutativní. Tenzorový součin je označen . Z univerzálnosti tenzorového součinu vyplývá, že je jednoznačně definován až do izomorfismu.
Abychom dokázali existenci tenzorového součinu libovolných modulů v komutativním kruhu, zkonstruujeme volný modul, jehož generátory jsou n prvky modulů , kde . Nechť je submodul generovaný následujícími prvky:
Tenzorový součin je definován jako kvocientový modul , třída se označuje a nazývá se prvek tenzorový součin , a je definován jako odpovídající indukované zobrazení.
Z bodů 1) a 2) vyplývá, že zobrazení je multilineární. Dokažme, že pro jakýkoli modul a jakékoli multilineární zobrazení existuje jedinečný homomorfismus modulu , takový, že .
Ve skutečnosti, protože je zdarma, existuje jedinečné mapování , které vytváří diagram
komutativní, a vzhledem k tomu, že je multilineární, tak na , odtud, přejdeme k indukovanému zobrazení, dostaneme, že , bude jediný homomorfismus, jehož existenci bylo potřeba dokázat.
Prvky , které mohou být reprezentovány ve formě , se nazývají rozložitelné .
Pokud jsou izomorfismy modulů, pak indukovaný homomorfismus odpovídá bilineárnímu zobrazení
existující vlastností univerzálnosti se nazývá tenzorový součin homomorfismů .
Obzvláště jednoduchý případ je získán v případě volných modulů . Nechť je základem modulu . Vytvořme volný modul nad naším prstencem, jehož základem jsou prvky odpovídající n -kam , definující zobrazení a rozšíření o lineárnost. Pak je tenzorový součin, kde je tenzorový součin prvků . Pokud je počet modulů a všech jejich základen konečný, pak
.