Invariance měřidla

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 2. května 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Měřicí invariance je neměnnost předpovědí fyzikální teorie pole s ohledem na (lokální) kalibrační transformace — na souřadnicově závislé transformace pole, které popisují přechod mezi bázemi v prostoru vnitřních symetrií tohoto pole.

Měřicí invariance byla poprvé založena v klasické elektrodynamice . Globální (nezávislá na souřadnici) kalibrační invariance pole vede na základě Noetherovy věty k zákonu zachování náboje tohoto pole (zejména pro elektrodynamiku k zákonu zachování elektrického náboje ). Lokální (souřadnicově závislá) kalibrační invariance nabitých polí pro zachování dynamických rovnic teorie vyžaduje zavedení nových, tzv. kalibračních polí.

Požadavek na neměnnost měřidla je jedním z klíčových ustanovení fyziky elementárních částic . Je to prostřednictvím invariance měřidla, že je možné popsat elektromagnetické , slabé a silné interakce samokonzistentním způsobem ve standardním modelu . Zejména se elektromagnetické pole "objevuje" v některých kvantových teoriích pole pod dodatečným požadavkem místní měřické invariance Lagrangeova teorie. Podle tohoto principu je možné „odvodit“ Lagrangián kvantové elektrodynamiky (QED) z Lagrangianu Diracova pole (elektronové pole nebo elektron-pozitronové pole).

Symetrie ve fyzice
proměna	Odpovídající invariance	Odpovídající zákon zachování
↕ Čas vysílání	Jednotnost času	…energie
⊠ C , P , CP a T - symetrie	Časová izotropie	... parita
↔ Vysílací prostor	Homogenita prostoru	…impuls
↺ Rotace prostoru	Izotropie prostoru	… hybnost
⇆ Lorentzova skupina (posílení)	Relativity Lorentzova kovariance	…pohyby těžiště
~ Transformace měřidla	Invariance měřidla	... nabít

V klasické elektrodynamice

Dovolit je libovolná skalární funkce souřadnic a času. Pokud potom změníme potenciály takto: $f=f(x,y,z,t)$

\varphi '=\varphi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial f}{\partial t)),\qquad \mathbf {A} '=\mathbf {A} + \nabla f,

kde φ a A jsou skalární a vektorové potenciály,

pak se skutečné pozorované chování systému nezmění.

To je zřejmé ze skutečnosti, že hodnoty elektrického a magnetického pole zůstanou při takové transformaci stejné. $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

Fázová nezávislost komplexního čísla

Zjednodušeně lze základní myšlenku invariance měřidla vysvětlit následovně. Hlavní charakteristika, která popisuje fyzikální systém v kvantové mechanice , vlnová funkce , je komplexní veličina . Všechny pozorovatelné veličiny, které jsou konstruovány jako bilineární kombinace vlnových funkcí, se však ukážou jako reálné (jak by to mělo být – ostatně v našem hmotném světě jsou všechny veličiny reálné). V důsledku toho se ukazuje, že se nic v předpovědích teorie nezmění, pokud se vlnové funkce vynásobí komplexním číslem rovným v absolutní hodnotě jedné - . (Adjungovaná funkce se vynásobí sdruženým komplexním číslem). To je zcela přirozené: absolutní hodnota fáze komplexního čísla je libovolná a neměla by ovlivnit předpovědi teorie. $e^{{i\alpha}}$

Kvantová mechanika je tedy neměnná při globálních fázových rotacích , jinak nazývaných transformace globálního měřidla .

Myšlenka invariance měřidla

Je kvantová mechanika invariantní s ohledem na lokální fázové rotace ( lokální kalibrační transformace )? Jinými slovy, změní se něco, když vlnovou funkci natočíme v jednom bodě do jedné fáze a v jiném bodě na jinou? Ano, změní se. Zejména je zřejmé, že pravá strana Schrödingerovy rovnice se bude měnit, a to téměř libovolným způsobem, a tím i vývoj systému v čase. To znamená, že kvantová mechanika volné částice se ukazuje jako neinvariantní s ohledem na lokální fázové rotace. ${\displaystyle e^{i\alpha (\mathbf {x} )))$

Je možné obnovit neměnnost? Ano můžeš. K tomu je však nutné zavést nové fyzikální pole , které „cítí“ vnitřní prostor, ve kterém produkujeme fázové rotace. Výsledkem je, že při lokálních fázových rotacích se jak vlnové funkce, tak nové pole transformují, navíc tak, že se změny v rovnicích v důsledku těchto fázových rotací kompenzují, vzájemně se „kalibrují“. To znamená, že kvantová mechanika s dalším novým polem se stala měřidlo invariantní.

Pokud nyní budeme studovat vlastnosti nového pole, pak se bude podobat elektromagnetickému poli , které pozorujeme v našem světě. Zejména interakce tohoto pole s hmotou se právě shoduje s interakcí elektromagnetického pole. Proto je zcela přirozené identifikovat tato dvě pole při konstrukci teorie.

Požadavek na měrnou invarianci se tedy ukázal jako nečekaně pohodlný způsob, jak zavést elektromagnetické pole také do teorie. Nemuselo se uvažovat samostatně, v teorii se objevilo téměř „samo“.

Měřicí pole jako základ standardního modelu

První sjednocenou teorii gravitačních a elektromagnetických polí založenou na myšlenkách invariance měřidla navrhl G. Weil . Moderní teorie kalibračních polí rozvíjí a zobecňuje jeho myšlenky [1] založené na kalibračních transformacích složitější formy, které jsou zodpovědné za invarianci v nějakém složitějším prostoru vnitřních stupňů volnosti.

Například invariance pod rotacemi kvarků v barevném prostoru vede k tomu, že silné interakce lze také popsat jako kalibrační pole. Slabé interakce nelze popsat samostatně jako kalibrační interakce, ale existuje nečekaně elegantní metoda pro popis elektromagnetické a slabé interakce současně jako dvou různých projevů určitého kalibračního elektroslabého pole.

Všechny základní interakce jsou tedy odvozeny na základě invariance měřidla. Z hlediska konstrukce fyzikální teorie se jedná o extrémně ekonomické a úspěšné schéma.

Gravitační interakce stojí stranou. Ukázalo se také, že jde o měřicí pole a obecná teorie relativity je přesně měřicí teorií gravitační interakce. Je však formulován zaprvé ne na kvantové úrovni a stále není jasné, jak přesně jej kvantovat, a zadruhé, prostorem, ve kterém se rotace provádějí, je náš čtyřrozměrný časoprostor , a nikoli vnitřní prostor interakční symetrie.

Historie

Nejstarší teorií pole s kalibrační symetrií byla Maxwellova formulace klasické elektrodynamiky v letech 1864-1865, která uváděla, že žádné vektorové pole, jehož rotor zmizí, se nezmění, když se přidá gradient funkce, tedy pro takové sčítání. na vektorový potenciál nemění magnetické pole [2] . Důležitost této symetrie zůstala v prvních formulacích nepovšimnuta. Podobně, tiše , Hilbert odvodil Einsteinovy rovnice pole postulováním invariance akce při obecné transformaci souřadnic. Později Hermann Weyl ve snaze sjednotit obecnou relativitu a elektromagnetismus navrhl, že invariance pod změnou měřítka (nebo „měřidlo“) je také místní symetrií obecné relativity [3] . Po vývoji kvantové mechaniky Weil, Vladimir Fock a Fritz London upravili měřidlo tím, že nahradili faktor měřítka komplexní veličinou a změnili transformaci měřítka na fázovou změnu - toto je symetrie měřidla U(1). To vysvětlilo vliv elektromagnetického pole na vlnovou funkci nabité základní částice . Toto byla první široce přijímaná teorie měřidla, popularizovaná Pauli v roce 1941 [4] .

V roce 1954, ve snaze vyřešit velký zmatek ve fyzice částic , Zhenning Yang a Robert Mills představili neabelovskou kalibrační teorii jako model pro pochopení silné síly, která drží nukleony pohromadě v atomových jádrech [5] . (Ronald Shaw, pracující pod Abdusem Salamem , nezávisle představil tento koncept ve své doktorské disertační práci.) Zobecněním měřicí invariance elektromagnetismu se pokusili zkonstruovat teorii založenou na působení (neabelovské) grupy symetrie SU(2) na isospinový dublet protonů a neutronů . _ To je podobné působení skupiny U(1) na spinorová pole v kvantové elektrodynamice . V částicové fyzice byl kladen důraz na použití teorií kvantovaného měřidla.

Později tato myšlenka našla uplatnění v kvantové teorii pole slabé interakce a její kombinaci s elektromagnetismem v elektroslabé teorii. Teorie měřidel se staly ještě atraktivnějšími, když se ukázalo, že neabelovské teorie měřidel reprodukují rys zvaný asymptotická svoboda , který byl považován za důležitou charakteristiku silných interakcí. To podnítilo hledání teorie měřidla silné interakce. Tato teorie, nyní známá jako kvantová chromodynamika , je kalibrační teorií s působením grupy SU(3) na kvarkový barevný triplet . Standardní model kombinuje popis elektromagnetismu, slabé interakce a silné interakce v jazyce kalibrační teorie.

V 70. letech 20. století začal Michael Atiyah studovat matematiku řešení klasických Yang-Millsových rovnic . V roce 1983 Atiyahův student Simon Donaldson , čerpající z této práce, ukázal, že diferencovatelná klasifikace hladkých 4 - variet je velmi odlišná od jejich klasifikace až po homeomorfismus [6] . Michael Friedman použil Donaldsonovu práci k ukázce exotických struktur v R 4 , tedy exotických diferencovatelných struktur v euklidovském 4-prostoru. To vedlo k rostoucímu zájmu o teorii měřidel jako takovou, bez ohledu na její pokroky v základní fyzice. V roce 1994 Edward Witten a Nathan Seiberg vynalezli kalibrační teoretické metody založené na supersymetrii , které umožnily vypočítat některé topologické invarianty [7] [7] ( Seiberg-Witten invariants ). Tento příspěvek teorie měřidel k matematice vedl k obnovenému zájmu o tuto oblast.

Důležitost teorií měření ve fyzice je ilustrována obrovským úspěchem matematického formalismu při poskytování jednotného rámce pro popis kvantových teorií pole : elektromagnetismus , slabé vzájemné ovlivňování a silné vzájemné ovlivňování . Tato teorie, známá jako Standardní model , přesně popisuje experimentální předpovědi o třech ze čtyř základních přírodních sil a je kalibrační teorií s kalibrační skupinou SU(3) × SU(2) × U(1) . Moderní teorie, jako je teorie strun , stejně jako obecná teorie relativity , jsou tak či onak teoriemi měřidla.

Viz Pickering [8] pro více informací o historii kalibračních a kvantových teorií pole.

Globální symetrie měřidla U(1)

Invariance děje vzhledem k nějaké spojité operaci (grupě) symetrie vede podle Noetherovy věty k příslušnému zákonu zachování [9] . Platí i obrácené tvrzení, že každá zachovaná veličina má svou symetrii, což lze pozorovat na příkladu zachování elektrického náboje [10] . Nechť Lagrangián soustavy dvou skutečných volných skalárních polí je uveden ve tvaru [11] $\phi _{1}$ $\phi _{2}$

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{1})(\partial ^{\mu }\phi _{1} )-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi _{1}^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{ 2})(\částečné ^{\mu }\phi _{2})-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi _{2}^{2}\,,

( 1.1 )

pak lze formálně uvažovat o těchto dvou polích ve dvourozměrném izotopovém prostoru s jednotkovými vektory ve tvaru $({\vec {i)),{\vec {j)))$

{\vec {\phi }}=\phi _{1}{\vec {i}}+\phi _{2}{\vec {j}}\,.

( 1.2 )

Tato reprezentace umožňuje odhalit geometrický význam transformace měřidla. V tomto případě má Lagrangian (1.1) jednoduchou formu

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }{\vec {\phi }})(\partial ^{\mu }{\vec { \phi )))-{\frac {1}{2}}m^{2}{\vec {\phi }}\cdot {\vec {\phi }}\,,

( 1.3 )

který se při transformacích měřidel nemění

{\begin{aligned}\phi _{1}^{'}&=\phi _{1}\cos \alpha +\phi _{2}\sin \alpha \,,\\\phi _ {2}^{'}&=-\phi _{1}\sin \alpha +\phi _{2}\cos \alpha \,.\end{aligned}}

( 1.4 )

Taková rotace o úhel v izotopovém prostoru je prvkem ortogonální grupy dvourozměrných rotací O(2) nebo k ní izomorfní grupy U(1), nemění Lagrangián systému (1.3) [11] . Pokud budeme tato pole považovat za dvojici komplexních polí, pak Lagrangian (1.1) lze zapsat jako [12] $\alpha$ $\phi =(\phi _{1}+i\phi _{2})/{\sqrt {2)),\,\phi ^{*}=(\phi _{1}-i\ phi _{2})/{\sqrt {2}}\,,$

{\mathcal {L}}=(\partial _{\mu }\phi )(\partial ^{\mu }\phi ^{*})-m^{2}\phi ^{*}\ phi\,,

( 1.5 )

a transformace měřidla pro komplexní pole se stává

\phi _{1}^{'}+i\phi _{2}^{'}=e^{-i\alpha }(\phi _{1}+i\phi _{2}) ,\,\phi _{1}^{'}-i\phi _{2}^{'}=e^{i\alpha }(\phi _{1}-i\phi _{2})\ ,.

( 1.6 )

Tato symetrie má globální charakter, protože neovlivňuje časoprostorové souřadnice [12] [10] .

Místní symetrie rozchodu

Nabízí se otázka, zda je možné nahradit globální symetrii symetrií lokální, tedy v závislosti na bodu v časoprostoru , ale při zachování vlastností Lagrangianu. Ukazuje se, že Lagrangián mění svůj tvar kvůli přítomnosti dalších derivací funkce [11] . Přesto je možné změnit Lagrangian tak, aby byl zachován působením transformací místního rozchodu. K tomu je zavedeno nové vektorové pole , které interaguje s proudem Noether. Přídavek k Lagrangianu (1.5) má podobu $\phi (x)\rightarrow e^{-i\alpha (x)}\phi (x),\,\phi ^{*}(x)\rightarrow e^{i\alpha (x)} \phi ^{*}(x)$ $\alpha(x)$ $A_{{\mu ))$

{\mathcal {L_{1))}=-ie(\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi -\phi \partial ^{\mu }\phi ^{*})A_ {\mu }\,,

( 1.7 )

kde je bezrozměrná vazebná konstanta [13] . To vede k tomu, že se objevuje příspěvek k variaci lagrangea od produktu všech oborů, a abychom se toho zbavili, je zaveden ještě jeden termín $E$

{\mathcal {L_{2}}}=e^{2}A_{\mu }A^{\mu }\phi ^{*}\phi \,,

( 1.8 )

který zcela obnovuje invariantnost měřidla nového lagrangiánu [13] . Protože zavedené vektorové pole musí také volně přispívat k Lagrangianu, zavádí se pro něj 4-rozměrný rotor pole podle standardního vzorce - to je tenzor síly elektromagnetického pole. Sečtením příspěvků (1.5) , (1.7) a (1.8) k Lagrangianu volného vektorového pole je výsledkem Lagrangian elektrodynamiky komplexního skalárního pole [14] : ${\mathcal {L}}+{\mathcal {L_{1}}}+{\mathcal {L_{2}}}\,$ $A_{{\mu ))$ $F_{{\mu \nu }}=\částečné _{{\mu }}A_{{\nu }}-\částečné _{{\nu }}A_{{\mu }}$ $\phi$

{\mathcal {L}}_{tot}=(\partial _{\mu }\phi )(\partial ^{\mu }\phi ^{*})-m^{2}\phi ^ {*}\phi -ie(\phi ^{*}\částečné ^{\mu }\phi -\phi \částečné ^{\mu }\phi ^{*})A_{\mu }+e^{2 }A_{\mu }A^{\mu }\phi ^{*}\phi -{\frac {1}{16\pi }}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\, ,

( 1.9 )

kde pole odpovídá elektrickému náboji a komplexní pole odpovídá náboji s opačným znaménkem Tento přístup k zavedení elektromagnetické interakce použil Weil ve 20. letech 20. století [15] . $\phi$ $E,$ $\phi ^{*}$ $-e.$

Ukázalo se, že symetrie měřidla souvisí s formou interakce [15] . Symetrie také jednoznačně určuje dynamiku interakce částic. Koncept lokální kalibrační symetrie může být aplikován na kvarky a pomáhá vybudovat teorii silných interakcí [10] .

Viz také

Poznámky

↑ Uchiyama, 1986 , s. 174.
↑ Vizgin, 1985 , str. 261.
↑ Vizgin, 1985 , str. 265.
↑ Pauli, Wolfgang (1941). „Relativistické teorie pole elementárních částic“. Rev. Mod. Phys . 13 (3): 203-32. Bibcode : 1941RvMP...13..203P . DOI : 10.1103/revmodphys.13.203 .
↑ Yang CN, Mills RL (1954). „Zachování izotopového spinu a izotopové invariance měření“. Phys. Rev. 96 : 191-195. Bibcode : 1954PhRv...96..191Y . DOI : 10.1103/PhysRev.96.191 .
↑ Donaldson, Simon K. (1983). “Samoduální spojení a topologie hladkých 4-rozdělovačů”. Býk. amer. Matematika. soc. 8 (1): 81-83. DOI : 10.1090/S0273-0979-1983-15090-5 .
↑ 1 2 Seiberg, N. & Witten, E. (1994a), Elektrická magnetická dualita, monopolní kondenzace a omezení v supersymetrické Yang-Millsově teorii N=2 , Nuclear Physics B svazek 426 (1): 19–52 . DOI 10.1016/0550-3213(94)90124-4 ; Erratum , Nuclear Physics B Vol. 430 (2): 485–486, 1994 , DOI 10.1016/0550-3213(94)00449-8
↑ Pickering, A. Konstrukce kvarků. - University of Chicago Press , 1984. - ISBN 0-226-66799-5 .
↑ Sadovský, 2003 , s. 24.
↑ 1 2 3 S. S. Gershtein. Co je to barevný náboj nebo jaké síly vážou kvarky // Sorovsky vzdělávací časopis. - 2000. - č. 6 . - S. 78-84 .
↑ 1 2 3 Sadovský, 2003 , s. 27.
↑ 1 2 Sadovský, 2003 , s. 26.
↑ 1 2 Sadovský, 2003 , s. 29.
↑ Sadovský, 2003 , s. třicet.
↑ 1 2 Sadovský, 2003 , s. 31.

Literatura

Vizgin V.P. Sjednocené teorie pole v první třetině XX století. - M. : Nauka, 1985. - 304 s.
Sadovsky MV Přednášky o kvantové teorii pole . - Iževsk: Ústav počítačového výzkumu, 2003. - 480 s. - ISBN 5-93972-241-5 .
Jackson JD a Okun LB Historické kořeny invariance měřidla // Rev. Mod. Fyzik.. - 2001. - T. 73 . - S. 663 . - doi : 10.1103/RevModPhys.73.663 . - arXiv : hep-ph/0012061 .
G. 't Hooft, Měřicí teorie sil mezi elementárními částicemi , " Pokroky ve fyzikálních vědách ", 1981, sv. 135, č. 3, str. 379. (překlad článku z Scientific American , červen 1980, sv. 242, str. 90.)
Konopleva N. P., Popov V. N. . Kalibrační pole. — M .: Atomizdat , 1972.
Slavnov AA, Faddeev LD Úvod do kvantové teorie kalibračních polí. - 2. vyd., přepracováno. a doplňkové — M .: Nauka , 1988.
Sardanashvili G. A. Moderní metody teorie pole. 1. Geometrie a klasická pole. - M .: URSS , 1996. - ISBN 5-88417-087-4 .
Sardanashvili G. A. Moderní metody teorie pole. 4. Geometrie a kvantová pole. - M .: URSS , 2000. - ISBN 5-88417-221-4 .
Uchiyama R. K čemu fyzika dospěla. Od teorie relativity k teorii kalibračních polí. - M . : Knowledge, 1986. - 224 s.
Voloshin M. B. , Ter-Martirosyan K. A. Teorie kalibračních interakcí elementárních částic. — M .: Energoatomizdat, 1984. — 288 s.
Ivaněnko D. D. (ed.). Elementární částice a kompenzační pole. - M .: Mir, 1964. - 298 s.

Slovníky a encyklopedie	Britannica (online)