Hladké struktury ve čtyřrozměrném euklidovském prostoru

Hladké struktury na čtyřrozměrném euklidovském prostoru jsou příklady hladkých variet , které jsou homeomorfní k , ale ne nutně diffeomorfní k, čtyřrozměrnému euklidovskému prostoru .

Čtyřrozměrný euklidovský prostor umožňuje exotické hladké struktury, to znamená, že nejsou difeomorfní na čtyřrozměrný euklidovský prostor. V jiných rozměrech než 4 nejsou v euklidovském prostoru žádné exotické hladké struktury.

Historie

Existence takových příkladů byla prokázána v roce 1982 Michaelem Friedmanem a dalšími. Důkaz používal Friedmanův teorém o topologických 4-varietách a Simon Donaldsonův teorém o hladkých 4-varietách.

Existenci kontinua zřetelných hladkých struktur poprvé dokázal Clifford Taubes . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$

Předtím byla existence exotických hladkých struktur na koulích známa, i když otázka existence takových struktur na 4-rozměrné kouli zůstává otevřená (od roku 2016).

Typy

O exotické hladké struktuře se říká , že je malá , pokud je difeomorfní k otevřené standardní podmnožině . Jinak se nazývá velký . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$

Odkazy

Topologie 4-manifoldů (neopr.) . - Princeton, NJ: Princeton University Press , 1990. - V. 39. - ISBN 0-691-08577-3 .
Univerzální vyhlazování čtyřprostorů (neopr.) // Journal of Differential Geometry . - 1986. - T. 24 , č. 1 . - S. 69-78 . — ISSN 0022-040X . (nedostupný odkaz)
Kirby, Robion C. Topologie 4-manifoldů (neopr.) . - Berlin: Springer-Verlag , 1989. - T. 1374. - ISBN 3-540-51148-2 .
Scorpan, Alexandru. Divoký svět 4-manifoldů (neopr.) . - Providence, RI: American Mathematical Society, 2005. - ISBN 978-0-8218-3749-8 .
Stallings, Johne Po částech-lineární struktura euklidovského prostoru // Proc . Cambridge Philos. soc. : deník. - 1962. - Sv. 58 , č. 3 . - str. 481-488 . - doi : 10.1017/s0305004100036756 . MR : 0149457
4-manifoldy a Kirbyho kalkul (neopr.) . - Providence, RI: American Mathematical Society, 1999. - V. 20. - ISBN 0-8218-0994-6 .
Taubes, Clifford Henry Měřicí teorie na asymptoticky periodických 4-manifoldech (anglicky) // Journal of Differential Geometry : journal. - 1987. - Sv. 25 , č. 3 . - S. 363-430 .