Yang-Millsova teorie

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 14. srpna 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Yang-Millsova teorie je kalibrační teorie s neabelovskou kalibrační skupinou . Měřicí pole v této teorii se nazývají Yang-Millsova pole . Takové teorie navrhli v roce 1954 Zhenying Yang a Robert Mills [1] a zpočátku byly považovány pouze za matematické hledání, které nemělo nic společného s realitou [2] . V 60. a 70. letech 20. století však byly na základě Yang-Millsových teorií vytvořeny dvě základní teorie standardního modelu ve fyzice částic : kvantová chromodynamika (teorie silných interakcí).) na základě grupy SU(3) a teorie elektroslabých interakcí na základě grup SU(2) × U(1) .

Charakteristika

Skutečnost, že skupina není Abelian, znamená, že Yang-Millsova interakční nosná pole mohou interagovat sama se sebou a mezi sebou navzájem. To znamená, že rovnice popisující vývoj Yang-Millsových polí jsou nelineární (na rozdíl od lineárních Maxwellových rovnic odpovídajících Abelově teorii). Lze také říci, že princip superpozice neplatí pro Yang-Millsova pole .

Kvanta Yang-Millsových polí jsou vektorové částice (tj. bosony se spinem 1) a mají nulovou hmotnost. S pomocí mechanismu samovolného narušení symetrie však mohou fyzická Yang-Millsova pole získat nenulovou hmotnost.

Nelinearita Yang-Millsových rovnic je velmi obtížně řeší. V režimu malé vazebné konstanty lze tyto rovnice řešit přibližně ve formě řady poruchových teorií , avšak jak tyto rovnice řešit v režimu silné vazby, je stále neznámé. Není také známo, jak přesně tato nelinearita vede k omezení pozorovanému v našem světě při silných interakcích. Problém řešení Yang-Millsových rovnic je obecně jedním ze sedmi matematických „ problémů tisíciletí “, za řešení kteréhokoli z nich udělí Clay Mathematical Institute [3] cenu 1 milion amerických dolarů.

Matematika

Yang-Millsovy teorie jsou konkrétním příkladem teorie kalibračního pole s neabelovskou kalibrační skupinou symetrie. Yang-Millsovo volné pole Lagrangian takových teorií má určitou formu

\ {\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }=-{\frac {1}{4}}\operatorname {Tr} \left(F^{2}\right)=-{ \frac {1}{4}}F^{\mu \nu a}F_{\mu \nu }^{a},

kde je 2-forma Yang-Millsovy intenzity pole, která zůstává neměnná, když skupina měřidel působí na tenzorový potenciál: $F$ $A^a_\mu$

\ F_{\mu \nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a+gf^{abc}A_\mu^bA_\nu^c,

kde se rozumí kovariantní derivace v časoprostoru, v Minkowského prostoru v Galileových souřadnicích, která se redukuje na obvyklou parciální derivaci. $\částečné_\mu$

Generující Lieovy algebry grupy měřidel tento vztah splňují $T^a$

\ [T^{a},T^{b}]=if^{abc}T^{c}

kde se nazývají strukturní konstanty skupiny . $f^{abc}$

Kovariantní (někdy nazývané protáhlé) deriváty polí interagujících prostřednictvím Yang-Millsových polí dané teorie jsou definovány jako:

\ D_\mu=I\částečný_\mu-igT^aA^a_\mu

kde je operátor identity a je konstanta interakce . Ve čtyřrozměrném časoprostoru je konstanta interakce bezrozměrná veličina. Pro skupiny . $já$ $G$ $G$ $SU(N)$ $a,b,c=1\ldots N^{2}-1$

Výše uvedená definice může být odvozena z komutátoru: $F_{\mu \nu}^a$

{\displaystyle \ [D_{\mu },D_{\nu }]=-igT^{a}F_{\mu \nu }^{a))

Samotné Yang-Millsovo pole se ukazuje jako samočinné a výsledné pohybové rovnice:

\partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu \nu }^{c}=0

se nazývají semilineární. V případě malé vazebné konstanty je v této teorii použitelná teorie poruch . $g<1$

Přechod mezi "horní" ("kontravariantní") a "dolní" ("kovariantní") vektorovou nebo tenzorovou složkou je triviální pro skupinové latinské indexy (například , euklidovská metrika je zavedena do grupového prostoru), ale netriviální pro časoprostorové řecké indexy, které žonglují s časoprostorovou metrikou , v nejjednodušším případě obvyklou Minkowského metrikou . ${\displaystyle f^{abc}=f_{abc))$ $\eta_{\mu \nu }={\rm diag}\,(+---)$

Se zavedením pohybové rovnice lze přepsat takto: $F_{\mu\nu}=T^aF^a_{\mu\nu}$

(D^{\mu }F_{\mu \nu })^{a}=0.

Protože je 2-forma, pak identita Bianchi platí : $F$

\ (D_{\mu }F_{\nu \kappa })^{a}+(D_{\kappa }F_{\mu \nu })^{a}+(D_{\nu }F_{ \kappa \mu })^{a}=0

Zdroj vstupuje do pohybových rovnic jako: $J_\mu^a$

\partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu \nu }^{c}=-J_{\ ne }^{a}

(Proudy se také musí správně měnit během kalibračních transformací.)

V časoprostorových dimenzích je pole škálováno jako a interakce tedy musí mít rozměr . To znamená, že Yang-Millsovy teorie nejsou renormalizovatelné pro prostoročasové dimenze větší než čtyři (viz také Antropický princip ). Kromě toho je vazebná konstanta bezrozměrná a pole a čtverec interakční konstanty mají stejné rozměry jako pole a interakční konstanta teorie skalárního bezhmotného pole se samočinným působením . Tyto teorie tedy mají stejnou měřítkovou invarianci na klasické úrovni. $D$ $[A]=\left[L^{\frac {2-D}{2}}\right]$ $\left[g^{2}\right]={\Big [}L^{D-4}{\Big ]}$ $D=4$ $\phi^4$

Poznámky

↑ C. N. Yang , R. Mills . Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance (anglicky) // Physical Review : journal. - 1954. - Sv. 96 , č. 1 . - S. 191-195 . - doi : 10.1103/PhysRev.96.191 .
↑ Viz Předmluva v knize Devitt B. S. Dynamical Theory of Groups and Fields: Per. z angličtiny. / Ed. G. A. Vilkovský. - M .: Věda. Ch. vyd. Fyzikální matematika lit. - 1987. - 288 s.
dotisk reedice: Čerepovec: Mercury-press, 2000. ISBN 5-11-480064-7 .
↑ Clay Mathematics Institute . Datum přístupu: 22. května 2004. Archivováno z originálu 29. října 2017. (neurčitý)

Literatura

Yang, Ch ., Mills R. Zachování izotopového spinu a invariance izotopového měřidla // Elementární částice a kompenzační pole / ed. D. Ivaněnko . - M.: Mir, 1964. - S. 28-38.
Slavnov, A. A. , Faddeev L. D. Úvod do kvantové teorie kalibračních polí. - M.: Nauka, 1978. - S. 240.

Odkazy

Fyzický „problém tisíciletí“ byl považován za neřešitelný

Slovníky a encyklopedie	Britannica (online)