Zákon zachování hybnosti

Zákon zachování hybnosti ( zákon zachování hybnosti) je zákon, který říká, že součet impulsů všech těles soustavy je konstantní, pokud je vektorový součet vnějších sil působících na soustavu těles roven nule. [1] .

V klasické mechanice je zákon zachování hybnosti obvykle odvozen jako důsledek Newtonových zákonů. Z Newtonových zákonů lze ukázat, že když se systém pohybuje v prázdném prostoru, hybnost se zachovává v čase a za přítomnosti vnějšího vlivu je rychlost změny hybnosti určena součtem působících sil.

Jako každý ze základních zákonů zachování je zákon zachování hybnosti podle Noetherovy věty spojen s jednou ze základních symetrií - homogenitou prostoru [2] .

Zákon zachování hybnosti poprvé formuloval R. Descartes [3] .

Odvození v newtonovské mechanice

Podle druhého Newtonova zákona je pro systém N částic vztah

{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}},

kde je hybnost systému: ${\vec {p}}$

{\vec {p}}=\sum _{{n=1}}^{{N}}{\vec {p}}_{n},

${\vec {p}}_{n}$ je hybnost hmotného bodu a je výsledkem všech sil působících na částice systému: ${\vec {F}}$

{\vec {F}}=\sum _{k=1}^{N}\ {\vec {F}}_{k}^{ext}+\sum _{n=1}^{ N}\součet _{m=1}^{N}\ {\vec {F}}_{n,m},\quad m\neq n.

Zde je síla (nebo součet sil, je-li jich více) působící na n - tou částici ze strany m -té a je výslednicí všech vnějších sil působících na k - tou částici . . Podle třetího Newtonova zákona jsou síly tvaru a stejné v absolutní hodnotě a opačné ve směru, tj . Proto bude druhý součet na pravé straně výrazu pro roven nule, vnitřní síly jsou vyloučeny a získáme, že derivace hybnosti systému vzhledem k času je rovna vektorovému součtu všech vnějších sil působících na systém: ${\vec {F}}_{n,m}$ ${\vec {F}}_{{k}}^{{ext}}$ ${\vec {F}}_{{n,m}}$ ${\vec {F}}_{{m,n}}$ ${\vec {F}}_{n,m}=-{\vec {F}}_{m,n}$ $\vec{F}$

{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=\sum _{k=1}^{N}\ {\vec {F}}_{k}^{ext}.

Pro systém N částic, ve kterém je součet všech vnějších sil roven nule:

\sum _{{k=1}}^{{N}}\ {\vec {F}}_{{k}}^{{ext}}=0,

a ještě více pro systém, jehož částice nejsou ovlivněny vnějšími silami ( pro všechna k od 1 do N ), máme ${\vec {F}}_{k}^{ext}=0$

{\frac {d}{dt}}\sum _{n=1}^{N}{\vec {p}}_{n}=0.

Jak víte, pokud je derivace nějakého výrazu rovna nule, pak je tento výraz konstantní vzhledem k diferenciační proměnné, což znamená:

\sum _{n=1}^{N}{\vec {p}}_{n}={\overrightarrow {\mathrm {const} }}\qquad

(konstantní vektor).

To znamená, že celková hybnost systému N částic je konstanta. Pro N = 1 získáme výraz pro případ jedné částice. Z toho vyplývá závěr [1] :

Pokud je vektorový součet všech vnějších sil působících na systém roven nule, pak je hybnost systému zachována, to znamená, že se s časem nemění.

Zákon zachování hybnosti je splněn nejen pro soustavy, které nejsou ovlivněny vnějšími silami, ale platí i v případech, kdy součet všech vnějších sil působících na soustavu je roven nule. To znamená, že absence vnějších sil působících na systém je dostatečná, nikoli však nezbytná, aby byl splněn zákon zachování hybnosti.

Pokud je průmět součtu vnějších sil na libovolný směr nebo souřadnicovou osu roven nule, pak se v tomto případě hovoří o zákonu zachování průmětu hybnosti na daný směr nebo souřadnou osu.

Spojení s homogenitou prostoru

Symetrie ve fyzice
proměna	Odpovídající invariance	Odpovídající zákon zachování
↕ Čas vysílání	Jednotnost času	…energie
⊠ C , P , CP a T - symetrie	Časová izotropie	... parita
↔ Vysílací prostor	Homogenita prostoru	…impuls
↺ Rotace prostoru	Izotropie prostoru	… hybnost
⇆ Lorentzova skupina (posílení)	Relativity Lorentzova kovariance	…pohyby těžiště
~ Transformace měřidla	Invariance měřidla	... nabít

Podle Noetherovy věty je každý zákon zachování spojen s určitou symetrií rovnic popisujících systém. Zejména zákon zachování hybnosti je ekvivalentní k homogenitě prostoru , to znamená nezávislosti všech zákonů popisujících systém na poloze systému v prostoru. Nejjednodušší odvození tohoto tvrzení je založeno na aplikaci Lagrangeova přístupu k popisu systému.

Odvození ze zákona zachování energie

Uvažujme systém několika elasticky se srážejících ( bez přeměny části mechanické energie na jiné formy ) částic o hmotnostech a rychlostech před a po srážkách. Zákon zachování energie má tvar $m_{{i}}$ $u_{{i}}$ $U_{{i}}$

{\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}u_{i}^{2}={\frac {1}{2}}\součet _{i}m_{ i}U_{i}^{2}.

Přejděme k referenční soustavě pohybující se rovnoměrně a přímočaře rychlostí . Rychlosti částic z pohledu této vztažné soustavy budou před srážkami a po srážkách. Zákon zachování energie z pohledu tohoto systému má podobu $proti$ $u_{{i}}-v$ $U_{{i}}-v$

{\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}{(u_{i}-v)}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}{(U_{i}-v)}^{2},

nebo

{\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}{(u_{i}^{2}-2vu_{i}+{v}^{2})}={ \frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}{(U_{i}^{2}-2vU_{i}+{v}^{2})}.

Proto , odkud následuje . Protože rychlost je libovolná, bude poslední rovnost platná pouze v případě, že je splněn zákon zachování hybnosti $\sum _{{i}}m_{{i}}vu_{{i}}=\sum _{{i}}m_{{i}}vU_{{i}}$ $v\součet _{{i}}m_{{i}}u_{{i}}=v\součet _{{i}}m_{{i}}U_{{i}}$ $proti$

\sum _{i}m_{i}u_{i}=\sum _{i}m_{i}U_{i}.

[čtyři]

Odvození z Lagrangeova formalismu

Uvažujme Lagrangeovu funkci volného tělesa v závislosti na zobecněných souřadnicích zobecněných rychlostí a času . Zde výše uvedený bod označuje diferenciaci s ohledem na čas.Zvolme k uvážení pravoúhlý kartézský souřadnicový systém , pak pro každou -tou částici. Pomocí homogenity prostoru můžeme dát všem vektorům poloměru částic stejný přírůstek, což neovlivní pohybové rovnice: kde V případě konstantní rychlosti se Lagrangeova funkce mění následovně: ${\mathcal L}\equiv {\mathcal L}(q_{i},{\tečka q}_{i},t),$ $Qi}\,,$ ${\tečka q}_{i}$ $t$ $q$ ${\dot q}_{i}\equiv {\frac {\částečné q_{i}}{\částečné t}}.$ $q_{i}={\vec r}_{a},\ {\tečka q}_{i}={\vec v}_{a}$ $A$ ${\vec r}_{a}\to {\vec r}_{a}+{\vec {\xi )),$ ${\vec {\xi }}\equiv \overrightarrow {{\mathrm {const}}}.$

\delta {\mathcal L}=\součet _{{a}}{\frac {\částečný {\mathcal L}}{\částečný {\vec r}_{a}}}\delta {\vec r}_ {a}={\vec {\xi }}\ \sum _{{a}}{\frac {\partial {\mathcal L}}{\partial {\vec r}_{a}}},

kde součet jde přes všechny částice systému. Protože přírůstek neovlivňuje pohybové rovnice, musí být variace Lagrangeovy funkce rovna nule: Vzhledem k tomu, že vektor je libovolný, je poslední požadavek splněn, když: $\delta {\mathcal L}=0.$ ${\vec \xi}$

\sum _{{a}}{\frac {\partial {\mathcal L}}{\partial {\vec r}_{a}}}=0.

Použijeme Lagrangeovu rovnici ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal L}}{\partial {\dot q}_{i}}}}-{\frac {\partial {\mathcal L}}{ \partial q_{i}}}=0:$

\sum _{{a)){\frac {\partial {\mathcal L)){\partial {\vec r}_{a))}=\sum _{{a)){\frac {d}{ dt)){\frac {\částečný {\matematický L)){\částečný {\vec v}_{a))}={\frac {d}{dt))\součet _{{a)){\ frac {\partial {\mathcal L)){\partial {\vec v}_{a))}=0.

To znamená, že součet pod znaménkem diferenciálu je konstantou pro uvažovaný systém. Samotný součet je celková hybnost systému:

{\vec P}=\sum _{{a}}{\frac {\partial {\mathcal L}}{\partial {\vec v}_{a}}}=\overrightarrow {{\mathrm {const} }}.

Vzhledem k tomu, že Lagrangián volné částice má tvar: je snadné vidět, že poslední výraz se shoduje s výrazem v newtonském formalismu: ${\mathcal L}={\frac {mv^{2}}{2}},$

{\vec P}=\sum _{a}m_{a}{\vec v}_{a}=\overrightarrow {{\mathrm {const}}}.

Pro relativistickou volnou částici má Lagrangian mírně odlišnou formu: což vede k relativistické definici hybnosti ${\mathcal L}=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2))))},$

{\vec P}=\sum _{a}{\frac {m_{a}{\vec v}_{a}}({\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^ {2}}}}}}=\overrightarrow {{\mathrm {const}}}.

V současné době neexistují žádná experimentální fakta, která by naznačovala, že zákon zachování hybnosti není splněn.

Zákon zachování hybnosti v kvantové mechanice

Zákon zachování hybnosti v izolovaných soustavách je splněn i v kvantové mechanice [5] [6] . V těch jevech, kdy se projevují korpuskulární vlastnosti částic, je jejich hybnost stejně jako v klasické mechanice , a když se projevují vlnové vlastnosti částic, jejich hybnost je , kde je vlnová délka [7] . V kvantové mechanice je zákon zachování hybnosti důsledkem symetrie vzhledem k posunům souřadnic [8] . $p=mv$ $p={\frac {\hbar }{\lambda }}$ $\lambda$

Zákon zachování hybnosti v teorii relativity

Zákon zachování hybnosti je naplněn i v teorii relativity. Jediný rozdíl od klasické mechaniky je v tom, že v teorii relativity má závislost hybnosti na rychlosti tvar

p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.

[9] [6]

V obecné teorii relativity, podobně jako v situaci se zákonem zachování energie , platí při přechodu do zakřiveného časoprostoru zákon zachování hybnosti, vyjádřený prostorovými složkami vztahu pro tenzor energie-hybnost.

T_{{\nu ;\mu }}^{\mu }=0,

kde středník vyjadřuje kovariantní derivát , vede pouze k lokálně konzervovaným veličinám. To je způsobeno nedostatkem globální homogenity prostoru v obecném časoprostoru.

Je možné přijít s takovými definicemi hybnosti gravitačního pole, že globální zákon zachování hybnosti bude naplněn, až se soustava těles a polí bude pohybovat v čase, ale všechny takové definice obsahují prvek libovůle, protože zavedená hybnost gravitačního pole nemůže být tenzorovou hodnotou pro libovolné transformace souřadnic.

Viz také

Odkazy

Zkušenosti s míčky k demonstraci zákona zachování hybnosti (video)

Literatura

Kuznetsov BG Principy klasické fyziky. — M. : AN SSSR, 1958. — 321 s.
Feynman R. F. Feynman Přednášky o fyzice. Problém. 1 Moderní věda o přírodě. Zákony mechaniky .. - M . : Editorial URSS, 2004. - 440 s. — ISBN 5-354-00699-6 .
Shirokov Yu. M. , Yudin N. P. Jaderná fyzika. - M. : Nauka, 1972. - 670 s.
Gott VS Filosofické otázky moderní fyziky. - M . : Vyšší škola, 1972. - 416 s.
Fermi E. Kvantová mechanika. — M .: Mir, 1968. — 367 s.

Poznámky

↑ 1 2 Targ S. M. Krátký kurz teoretické mechaniky. - M . : Vyšší škola, 1995. - S. 282. - 416 s. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Teoretická fyzika. - 4. vydání, Rev. - M .: "Nauka" , 1988. - T. I. Mechanika. - S. 26. - 215 s. — ISBN 5-02-013850-9 .
↑ Gott, 1972 , str. 222.
↑ Kuzněcov, 1958 , s. 135.
↑ Perkins D. Úvod do fyziky vysokých energií. - M., Mir , 1975. - c. 94
↑ 1 2 Shirokov, 1972 , s. 276.
↑ Feynman, 2004 , str. 194.
↑ Fermi, 1968 , str. 183.
↑ Feynman, 2004 , str. 193.