Lagrangeovy rovnice druhého druhu

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 20. dubna 2016; kontroly vyžadují 16 úprav .

Lagrangeovy rovnice druhého druhu jsou diferenciální pohybové rovnice mechanického systému , získané aplikací Lagrangeova formalismu .

Druh rovnic

Pokud je holonomní mechanický systém popsán Lagrangiánem ( jsou to zobecněné souřadnice , t je čas , tečka značí diferenciaci s ohledem na čas) a v systému působí pouze potenciální síly , pak mají Lagrangeovy rovnice druhého druhu tvar $L(q_{i},{\tečka q}_{i},t)$ $Qi}$

{\frac {d}{dt))\left({\frac {\částečné L}{\částečné {\tečka q}_{i))}\pravé)-{\frac {\částečné L}{\částečné q_{i}}}=0

kde i = 1, 2, … n ( n je počet stupňů volnosti mechanického systému). Lagrangian je rozdíl mezi kinetickou a potenciální energií systému.

V přítomnosti potenciálních ( ) i nepotencionálních ( ) zobecněných sil se objeví pravá strana: ${\displaystyle Q_{i}^{p))$ ${\displaystyle Q_{i}^{n))$

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\částečné q_{i}}}=Q_{i}^{n}

Mezi nepotencionální síly patří např. třecí síla . V tomto případě mohou být Lagrangeovy rovnice druhého druhu přepsány do mírně odlišné formy:

{\frac {d}{dt))\left({\frac {\částečné T}{\částečné {\tečka q}_{i))}\pravé)-{\frac {\částečné T}{\částečné q_{i}}}=Q_{i}

kde je kinetická energie systému, je zobecněná síla . $T(q_{i},{\tečka q}_{i},t)$ $Q_{i}^{p}+Q_{i}^{n}=Q_{i}$

Odvození rovnic

Lagrangeovy rovnice v mechanice jsou získány z Eulerových zákonů dynamiky (rovnováha hybnosti a momentu hybnosti) za určitých omezení systému: musí v něm být přítomna pouze ideální holonomická omezení. Toto je zvláštní, i když velmi důležitý případ mechanických systémů. Pro ostatní případy jsou získány modifikace Lagrangeových rovnic [1] .

Pokud je pro uvažovaný systém relevantní princip nejmenšího působení (zdaleka ne všechny fyzikální systémy se jí řídí), lze závěr vyvodit jinak. V Lagrangově mechanice se odvození rovnic provádí na základě tohoto principu, který říká, že skutečné pohyby se liší od všech myslitelných tím, že funkční

S=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q_{i},{\tečka q}_{i},t)dt

nazývaná akce , nabývá extrémní (pro dostatečně malé - minimální) hodnoty na trajektorii skutečného pohybu systému ( a - počáteční a konečné okamžiky času ) [2] . Aplikováním standardního optimalizačního schématu na akční funkcionál pro něj získáme Lagrangeovy-Eulerovy rovnice , které se pro mechanický systém nazývají Lagrangeovy rovnice druhého druhu. Níže je odvození rovnice pro systém s jednou zobecněnou souřadnicí a rychlostí. $t_{2}-t_{1}$ $t_{1}$ $t_{2}$

Předpokládáme, že variace na hranicích je nulová:

\delta q(t_{1})=\delta q(t_{2})=0

Změnit akci při přechodu ze stavu na ano $t_{1}$ $t_{2}$

\delta S=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q+\delta q,{\tečka q}+\delta {\tečka q},t)dt-\ int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q,{\dot q},t)dt

Rozšířením tohoto rozdílu v pravomocích dostaneme:

\delta S=\delta \int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q,{\dot q},t)dt

Změnou tohoto výrazu získáme:

\int _{{t_{1))}^{{t_{2))}\left({\frac {\částečné L}{\částečné q))\delta q+{\frac {\částečné L}{\ částečná {\tečka q))}\delta {\tečka q}\right)dt=0

Upozorňujeme , že integrujeme druhý termín po částech: $\delta {\dot q}={\frac {d}{dt))\delta q$

\delta S={\frac {\částečné L}{\částečné {\tečka q))}\delta q{\Bigl .}{\Bigr |}_{{t_{1))}^{{t_{2 }}}+\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt )){\frac {\částečné L}{\částečné {\tečka q))}\vpravo)\delta qdt=0

První člen je roven nule na základě úplně prvního derivačního vzorce. Druhý člen se může rovnat nule, pouze pokud je integrand roven nule. Tak získáme požadovanou Lagrangeovu rovnici:

{\frac {d}{dt)){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q))))-{\frac {\partial L}{\partial q))=0

Viz také

Lagrangeovy rovnice prvního druhu

Poznámky

↑ Butenin B.V. Úvod do analytické mechaniky. - M .: Nauka, 1971. - Náklad 25 000 výtisků. — str. 56 - 59
↑ Medveděv B.V. Počátky teoretické fyziky. Mechanika, teorie pole, prvky kvantové mechaniky. — M.: Fizmatlit, 2007. — ISBN 978-5-9221-0770-9 . - Náklad 2 000 výtisků. — S. 19 - 23