Hvězdný Hodge

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. září 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Hodgeova hvězda je důležitý lineární operátor z prostoru q - vektorů do prostoru ( n − q ) - forem . Metrický tenzor definuje kanonický izomorfismus mezi prostory q - forem a q - vektorů, takže obvykle je Hodgeova hvězda operátorem z prostoru diferenciálních forem dimenze q do prostoru forem dimenze n − q.

*\colon \Lambda ^{q}(T^{*}M)\to \Lambda ^{{nq}}(T^{*}M)

Tento operátor byl představen Williamem Hodgeem .

Definice

Pomocné definice

Určete tvar objemu

\Omega =f(X)dX^{0}\wedge \ldots \wedge dX^{{n-1}}

\Omega _{{M_{1}\ldots M_{n}}}=f(X)\varepsilon _{{M_{1}\ldots M_{n}}}

kde je nezáporný skalár na manifoldu a je zcela antisymetrickým symbolem . . I při absenci metriky, if , je možné určit kontravariantní složky tvaru objemu. $f(X):M\to {\mathbb {R}}$ $M$ $\varepsilon _{{M_{1}\ldots M_{n}}}$ $\varepsilon _{{0\ldots n-1}}=+1$ $f(X)>0$

{\check {\Omega }}={\frac {1}{f(X))){\frac {\partial }{\partial {X^{0))))\wedge \cdots \wedge {\frac {\částečné }{\částečné {}{X^{{n-1))))}

{\check {\Omega }}^{{M_{1}\ldots M_{n}}}=f^{{-1}}(X)\varepsilon ^{{M_{1}\ldots M_{n} }}

zde antisymetrický symbol odpovídá . $\varepsilon ^{{M_{1}\ldots M_{n}}}$ $\varepsilon _{{M_{1}\ldots M_{n}}}$

V přítomnosti metriky se zvýšenými indexy se může lišit od znaménka: . Zde a dále $\Omega$ ${\zkontrolujte {\Omega ))$ $\Omega =\sigma {\kontrola {\Omega ))$ $\sigma =\název operátora{sgn} \det(g_{{mk}})$

Představujeme operaci antisymetrizace :

A_{{[m_{1}\ldots m_{q}]}}={\frac {1}{q!}}\sum _{{\sigma (m_{1}\ldots m_{q)))) ) (-1)^{{\operatorname{sgn}(m_{1}\ldots m_{q))}}A_{{\sigma (m_{1}\ldots m_{q)))))

. Suma se provádí přes všechny permutace indexů v hranatých závorkách s přihlédnutím k jejich paritě . Antisymetrizace horních indexů je definována podobně; antisymetrizovat je možné pouze nad skupinou indexů stejného typu. Příklady: ; .

\sigma (m_{1}\ldots m_{q})

\operatorname{sgn}(\sigma)

A_{{k[lm]}}={\frac {1}{2!}}(A_{{klm}}-A_{{kml}})

A_{k}^{{[l}}B_{p}^{{m]}}={\frac {1}{2!}}(A_{k}^{l}B_{p}^{m }-A_{k}^{m}B_{p}^{l})

Pojďme se nyní zabývat konvoluční operací. Při skládání množiny antisymetrických indexů je vhodné zavést následující zápis:

A^{{A\ldots \lpatro K_{1}\ldots K_{k}\rpatro B\ldots }}{}_{{C\ldots \lpatro K_{1}\ldots K_{k}\rpatro D\ ldots }}={\frac {1}{k!}}A^{{A\ldots K_{1}\ldots K_{k}B\ldots }}{}_{{C\ldots K_{1}\ ldots K_{k}D\ldots }}

Pokud je tenzor v horním i dolním kolabujícím indexu antisymetrický, je možné sčítat přes indexy uzavřené v závorkách pouze přes uspořádané množiny bez dělení , je to způsobeno tím, že různé množiny indexů , které se liší pouze v pořadí indexy dávají stejný příspěvek k součtu . $\lpodlaží\;\rpodlaha$ $k!$ $K_{1}\ldots K_{k}$

Nyní definujeme tenzory:

(A,B)_{{M_{{k+1}}\ldots M_{q}}}^{{(k)}}{}^{{N_{{k+1}}\ldots N_{p }}}=A_{{\lpatro K_{1}\ldots K_{k}\rpatro M_{{k+1}}\ldots M_{q}}}B^{{\lpatro K_{1}\ldots K_ {k}\rpatro N_{{k+1}}\ldots N_{p}}}

(A,B)_{{M_{1}\ldots M_{{qk))))^{{\podtržítko {(k)}}}{}^{{N_{1}\ldots N_{{pk} }}}=A_{{M_{1}\ldots M_{{qk}}\lpodlaží K_{1}\ldots K_{k}\rpodlaží }}B^{{N_{1}\ldots N_{{pk} }\lpatro K_{1}\ldots K_{k}\rpatro }}

Index (k) udává počet indexů, přes které byla konvoluce provedena. Pokud to nemůže vést k nejednoznačnosti, písmeno k) se vynechá. Výše uvedené tenzory se mohou lišit (nebo se nemusí lišit) pouze znaménkem.

Obecná definice Hodgeovy hvězdy

Pomocí objemové formy a polyvektoru můžeme zavést operaci , která transformuje polyvektor stupně na diferenciální formu stupně , a inverzní operaci , která transformuje formu stupně na polyvektor stupně . $\Omega$ ${\zkontrolujte {\Omega ))$ $*$ $B$ $p$ $*B$ $np$ $*^{{-1}}$ $A$ $q$ $*^{{-1}}A$ $nq$

*B=(\Omega ,B)^{{(p)}}

*^{{-1}}A=(A,{\kontrola {\Omega }})^{{\podtržítko {(q)))}

Tato operace se nazývá Hodgeova hvězda nebo Hodgeova dualita . V komponentách to vypadá takto:

(*B)_{{m_{{q+1}}\ldots m_{n}}}={\frac {f(X)}{q!}}B^{{m_{1}\ldots m_{ q}}}\varepsilon _{{m_{1}\ldots m_{n}}}

Od a jsme vytvořili vzájemnou korespondenci mezi diferenciálními formami stupně q a polyvektory stupně nq $*^{{-1}}*B=B$ $**^{{-1}}A=A$

Kromě operátorů a uvádíme dvojici operátorů: a , které se od nich liší znaménkem. $*$ $*^{{-1}}$ ${\šek {*}}$ ${\check {*}}^{{-1}}$

{\check {*}}B=(\Omega ,B)^{{\podtržítko {(p)))}

{\check {*}}^{{-1}}A=(A,{\check {\Omega }})^{{(q)))

Hodgeova hvězda v přítomnosti metriky

Nechť je dána metrika pro naši varietu dimenze n . Označme . $g_{{mk}}$ $g=\det(g_{{mk}})$

Prvek objemu nebo formulář objemu generovaný metrikou $g_{{mk}}$ jsou komponenty formuláře In: $\Omega ={\sqrt {|g|}}dX^{0}\wedge \ldots \wedge dX^{n-1}={\sqrt {|g|}}dX^{n}$

\Omega _{{m_{1}\ldots m_{n}}}={\sqrt {|g|}}\varepsilon _{{m_{1}\ldots m_{n}}}

\Omega ^{{m_{1}\ldots m_{n}}}={\frac ({\sqrt {|g|}}}{g}}\varepsilon ^{{m_{1}\ldots m_{n }}}={\frac {\operatorname{sgn}(g)}{{\sqrt {|g|}}}}\varepsilon ^{{m_{1}\ldots m_{n}}}

Protože máme metriku, můžeme vytvořit kanonický izomorfismus mezi polyvektory a diferenciálními formami:

A_{{m_{1}\ldots m_{n}}}=A^{{l_{1}\ldots l_{n}}}g_{{m_{1}l_{1}}}\cdots g_{{ m_{n}l_{n}}}

Proto můžeme vytvořit vzájemnou korespondenci mezi q-formami a (nq)-formami. $(*A)_{{m_{{q+1}}\ldots m_{n}}}={\frac {1}{q!}}\Omega _{{m_{1}\ldots m_{n} }}A_{{l_{1}\ldots l_{q}}}g^{{m_{1}l_{1}}}\cdots g^{{m_{q}l_{q}}}$

Další operátoři

Na polyvektorech můžete zavést operátor převzetí divergence , který sníží stupeň polyvektoru o 1:

\delta =*^{{-1}}d*

(\delta A)^{{M_{1}\ldots M_{{q-1))))={\frac {1}{f(X)}}\částečné _{{M_{q}}}}( f(X)A^{{M_{1}\ldots M_{q}}})

V přítomnosti metriky je operátor divergence vyjádřen pomocí kovariančního derivačního operátoru definovaného pomocí symetrického spojení konzistentního s metrikou : $\delta$ $\nabla$

(\delta A)^{{M_{1}\ldots M_{{q-1))))=(\nabla ,A)^{{\underline {(1)}M_{1}\ldots M_{{ q-1}}}}=\nabla _{{M_{q}}}A^{{M_{1}\ldots M_{q}}}={\frac {1}{{\sqrt {|g| }}}}\částečné _{{M_{q}}}({\sqrt {|g|}}A^{{M_{1}\ldots M_{q}}})

Někdy se operace ( vnější derivace ) nazývá gradient diferenciálních forem a operace se nazývá divergence. Pro 1-formu operace definuje obvyklou divergenci (v přítomnosti metriky jsou diferenciální formy a polyvektor identifikovány pomocí kanonického izomorfismu ) $d$ $\delta$ $\delta$

Laplacián tvaru - je dán takto: $\Delta$ $q$ $A$

\Delta A=(-1)^{q}(\delta d+d\delta )A

Pro skalární (0-forma) je Laplacián Laplaceův-Beltramiho operátor :

\Delta \varphi =\nabla _{M}\nabla ^{M}\varphi ={\frac {1}({\sqrt {|g|)))}\částečné _{M}{\sqrt {|g |}}g^{{MN}}\částečné _{N}\varphi

Pro skalární . Jestliže , pak se podle Bochnerova vzorce pro libovolnou metriku v , objeví další členy, které mají lineární zakřivení. Tedy pro případ $\Delta =\nabla _{M}\nabla ^{M}$ $q>0$ $\Delta$ $q=1$

(\Delta A)_{K}=\nabla _{M}\nabla ^{M}A_{K}-R_{K}{}^{M}A_{M}

kde je Ricciho tenzor vytvořený ze symetrického spojení konzistentního s metrikou. $R_{K}{}^{M}$

Zdroje

Přednášky M. G. Ivanova v kurzu "Geometrické metody v klasické teorii pole". http://theorphys.mipt.ru/courses/geomm.html