Asymptota

Asymptota , nebo asymptota [1] (z jiného řeckého ἀσύμπτωτος - neshodný, nedotýkající se křivky s nekonečnou větví) - přímka s vlastností, že vzdálenost od bodu křivky k této přímce má sklon k nule, když bod je odstraněn podél větve do nekonečna [2] . Termín se poprvé objevil v Apolloniovi z Pergy , ačkoli asymptoty hyperboly studoval Archimedes [3] .

Typy asymptot grafů

Vertikální

Přímka formuláře je svislá asymptota, pokud je splněna alespoň jedna z rovností: $x=a$

$\lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty$
$\lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty$ .

Vertikálních asymptot může být libovolný počet.

Čára nemůže být vertikální asymptotou, pokud je funkce spojitá v . Proto je třeba hledat vertikální asymptoty v bodech diskontinuity funkce. $A$

Vodorovné a šikmé

Šikmá asymptota je přímka tvaru , pokud je splněna alespoň jedna z rovností: $y=kx+b$

$\lim _{x\to +\infty }(f(x)-kx)=b$
$\lim _{x\to -\infty }(f(x)-kx)=b$ .

Navíc, pokud je splněna první podmínka, pak říkají, že tato přímka je asymptota v , a pokud druhá, pak asymptota v [4] . $x \to + \infty$ $x \to - \infty$

Jestliže , pak se asymptota také nazývá horizontální . $k=0$

Poznámka 1: Počet šikmých asymptot pro funkci nemůže být větší než dvě: jedna pro a jedna pro , ale může mít jednu nebo žádnou. $x \to + \infty$ $x \to - \infty$

Poznámka 2: Některé zdroje obsahují požadavek, aby křivka neprotínala tuto přímku v okolí nekonečna [5] .

Poznámka 3: V některých případech, jako je algebraická geometrie, je asymptota definována jako přímka, která je „tečnou“ ke křivce v nekonečnu [5] .

Hledání asymptot

Pořadí hledání asymptot

Hledání bodů nespojitosti, výběr bodů, kde je vertikální asymptota (přímým ověřením, že limita v tomto bodě je nekonečno).
Kontrola, zda limity a nejsou konečné . Pokud ano, pak existuje horizontální asymptota pro resp . $\lim _{x\to +\infty }f(x)=b$ $\lim _{x\to -\infty }f(x)=b$ $y=b$ $+\infty$ $-\infty$
Hledání dvou limitů $\lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=k$
Nalezení dvou limit , pokud alespoň jedna z limit v odstavci 3 nebo 4 neexistuje (nebo je rovna ), pak šikmá asymptota v (nebo ) neexistuje. $\lim_{x \to \pm \infty}(f(x)-kx)=b$ $\pm\infty$ $x \to + \infty$ $x \to - \infty$

Oblique asymptote - výběr celočíselné části

Také šikmou asymptotu lze nalézt extrakcí celé části. Například:

Daná funkce . $f(x)={\frac {2x^{3}+5x^{2}+1}{x^{2}+1))$

Vydělením čitatele jmenovatelem dostaneme : $f(x)=2x+5+{\frac {-2x-4}{x^{2}+1}}=2x+5+(-2)\cdot {\frac {x+2} {x^{2}+1}}$

v , , $x\to \pm \infty$ $\frac{x+2}{x^2+1} \na 0$

a je požadovanou šikmou asymptotní rovnicí a na obou stranách. $y=2x+5$

Vlastnosti

Mezi kuželosečkami mají asymptoty pouze hyperboly . Asymptoty hyperboly jako kuželosečky jsou rovnoběžné s generátory kužele ležícího v rovině procházející vrcholem kužele rovnoběžné s rovinou sečny [6] . Maximální úhel mezi asymptotami hyperboly pro daný kužel je roven úhlu otevření kužele a je dosažen se sečnou rovinou rovnoběžnou s osou kužele.

Viz také

Asymptotická křivka

Poznámky

↑ Dvojitý přízvuk je uveden v Sovětském encyklopedickém slovníku. Ve slovnících 19. a 1. poloviny 20. století (např. v knize: Slovník cizích slov / Editoval I.V. Lyokhin a prof. F.N. Petrov. - M . : Státní nakladatelství zahraničních a národních. slovníků, 1955. - s. 77. - 856 s. ), byla naznačena jediná varianta přízvuku "asymptota".
↑ Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M .: Sovětská encyklopedie , 1982. - T. 1.
↑ Mathematical Encyclopedic Dictionary Archivní výtisk ze dne 1. srpna 2013 na Wayback Machine - M. : Sovětská encyklopedie, 1988. - 847 s.
↑ Kudryavtsev L. D. Kurz matematické analýzy. - 5. vyd. - M .: "Business Drop", 2003. - T. 1. - S. 374-375. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1 .
↑ 1 2 "Asymptoty" od Louise A. Talmana
↑ Taylor C. Geometrické kuželosečky; Včetně anharmonického poměru a projekce, s četnými příklady . - Cambridge: Macmillan , 1863. - str. 170.

Literatura

Rashevsky P.K. Kurz diferenciální geometrie, 4. vyd. M., 1956.
Grafy funkcí: Příručka / Virchenko N. A., Ljaško I. I., Shvetsov K. I. - Kyjev: Nauk. Dumka, 1979, - 320 s.

Odkazy

Asymptota // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
Asymptota / E. G. Poznyak // Angola - Barzas. - M . : Sovětská encyklopedie, 1970. - ( Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / šéfredaktor A. M. Prochorov ; 1969-1978, sv. 2).