Polní věž

Věž polí je posloupnost rozšíření pro nějaké pole : , které může být konečné nebo nekonečné. Často psáno svisle: $K$ $K\subset K_{1}\subset \dots \subset K_{i}\subset \dots$

{\begin{array}{c}\vdots \\|\\K_{i}\\|\\\vdots \\|\\K_{1}\\|\\K\end{array))

Například je konečná věž rozšíření oboru racionálních čísel , která postupně zahrnuje pole reálných a komplexních čísel. $\mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$

Normální polní věž je posloupnost normálních rozšíření , oddělitelná polní věž je posloupnost oddělitelných rozšíření , abelovská polní věž je posloupnost abelovských rozšíření .

Klasický problém řešitelnosti v polynomiálních radikálech, řešený pomocí Galoisovy teorie , lze formulovat z hlediska věží pole: řešitelnost je ekvivalentní ponoření pole koeficientů daného polynomu do normální a abelovské věže pole.

Polní věž třídy je polní věž postavená na nějakém poli algebraických čísel , z nichž každý prvek je maximální abelovskou nerozvětvenou extenzí předchozího. Jedním z výsledků třídní teorie pole , který má důležité důsledky pro algebraickou teorii čísel, je negativní řešení neomezeného Burnsideova problému ( Golod-Shafarevichův teorém ), v jazyce třídních polí je formulováno takto: existuje nekonečno věže tříd pole [1] [2] (zejména taková je věž postavená nad rozšířením pole racionálních čísel získaných sečtením čísla ). ${\sqrt {30030}}$

Poznámky

↑ Golod E. S. O nil-algebrách a konečně aproximovatelných p-grupách // Izvestiya AN SSSR. Matematická řada. - 1964. - T. 28, číslo 2 . - S. 273-276 .
↑ Golod E. S. , Shafarevič I. R. Na věži třídních polí // Izvestija Akademie věd SSSR. Matematická řada. - 1964. - T. 28, číslo 2 . - S. 261-272 .

Literatura

I. M. Vinogradov. Věž polí // Matematická encyklopedie. — M.: Sovětská encyklopedie . - 1977-1985. (Ruština)