Beta funkce (fyzika)

V teoretické fyzice , obzvláště v kvantové teorii pole , funkce beta je často používána charakterizovat závislost konstanty interakce na energetické úrovni. Samotná funkce beta je definována jako
$\beta (g)={\frac {\partial g}{\partial \,ln\,\mu }}$

Invariance měřítka

Jestliže funkce beta mizí při speciální hodnotě interakční konstanty, pak se QFT, jejíž konstanta je touto funkcí beta popsána, nazýváme měřítko invariantní . Často jsou tyto teorie také konformně invariantní. Taková pole jsou studována konformní teorií pole .

Příklady

Beta funkce jsou obvykle uvažovány v aproximaci, jako je teorie poruch , která předpokládá, že parametry vazby jsou extrémně malé. Dále je provedena expanze výkonu a vyšší výkony jsou zkráceny (běžně nazývané smyčky, kvůli odpovídajícímu počtu smyček ve Feynmanových diagramech ).

Kvantová elektrodynamika

Jednosmyčková beta funkce pro QED je definována jako Nebo pomocí konstanty jemné struktury Poslední vzorec vyplývá z rovnice Řešení této rovnice je funkce Funkce beta říká, že konstanta jemné struktury roste s hladinou energie, může dokonce jít do nekonečna na konečných energiích (tyto energie se nazývají Landauův pól ). Jakmile se funkce beta dostane do nekonečna, přestane fungovat teorie poruch.
$\beta (e)={\frac {e^{3}}{12\pi ^{2}}}$

$\beta (\alpha )={\frac {2\alpha ^{2}}{3\pi }}$

$\alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi }}$

$\alpha =-{\frac {3\pi }{2\,ln\,\mu }}$

Kvantová chromodynamika

Jednosmyčková beta funkce pro QCD s kvarkovými příchutěmi a skalárními barevnými bosony Or Řešením této rovnice je funkce If , pak funkce beta klesá s rostoucí hladinou energie. Tento jev se nazývá asymptotická svoboda . ${\displaystyle n_{f))$ $n_s$
$\beta (g)=-\left(11-{\frac {n_{s}}{6}}-{\frac {n_{f}}{3}}\right){\frac {g ^{3}}{16\pi ^{2}}}$

$\beta (\alpha _{s})=-\left(11-{\frac {n_{s}}{6}}-{\frac {n_{f}}{3}}\right) {\frac {\alpha _{s}^{2}}{2\pi }}$

$\alpha _{s}={\frac {12\pi }{\left(66-n_{s}-2n_{f}\right)ln\,\mu }}$ $n_{f}\leq 16$

Neabelovská teorie měřidla SU(N)

QCD používá skupinu měřidel , která definuje 3 barvy. Beta funkci můžeme zobecnit na libovolný počet barev N Nebo Kde je Casimirův invariant druhého řádu grupy měřidel, , kde jsou generátory Lieovy algebry v reprezentaci . U fermionů Majorana a Weyl nahraďte a za a, v tomto pořadí. Pro kalibrační pole (například gluonová pole) v konjugaci s , . Pro fermiony v základním zastoupení . Pak pro QCD s funkcí beta má formu uvedenou výše. $NE(3)$
$\beta (g)=-\left({\frac {11}{3}}C_{2}(SU(N))-{\frac {1}{3}}n_{s}T( R_{s})-{\frac {4}{3}}n_{f}T(R_{f})\right){\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}$

$\beta (\alpha )=-\left({\frac {11}{3}}C_{2}(SU(N))-{\frac {1}{3}}n_{s}T (R_{s})-{\frac {4}{3}}n_{f}T(R_{f})\right){\frac {\alpha ^{2}}{2\pi }}$
$C_{2}$ $T(R)\delta ^{ab}=tr(T_{R}^{a}T_{R}^{b})$ $T_{R}^{a,b}$ $R$ ${\frac {4}{3}}$ ${\frac {1}{3))$ ${\frac {2}{3))$ ${\frac {1}{6}}$ $SU(N)$ $C_{2}(NE(N))=N$ $SU(N)$ $T(R)={\frac {1}{2))$ $N=3$

Yukawa interakce

Ve standardním modelu získávají kvarky a leptony , které interagují s Higgsovým polem prostřednictvím potenciálu Yukawa, hmotnost. Interakce většiny kvarků a leptonů je ve srovnání s kvarkem t malá . V dynamice je lze popsat pomocí funkce beta Kde je konstanta interakce barev, která je také funkcí energie a má vlastnosti asymptotické volnosti. Interakce všech kvarků kromě kvarku t jsou tedy extrémně malé při energiích Grand Unified (asi GeV). Podobně lze vypočítat energie, při kterých kvarky získávají svou hmotnost – asi 100 GeV. Ve standardním modelu je předpovězená hmotnost t-kvarku 230 GeV, zatímco naměřená hmotnost je 174 GeV, což naznačuje, že mohou existovat další Higgsovy bosony.
$\beta (y)\approx \left({\frac {9}{2}}y^{2}-8g_{3}^{2}\right){\frac {y}{16\pi ^{2}}}$
$g_{3}$ $10^{15}$

Odkazy

H. David Politzer (1973). "Spolehlivé rušivé výsledky pro silné interakce?". Phys. Rev. Lett. 30: 1346-1349. Bibcode:1973PhRvL..30.1346P. doi:10.1103/PhysRevLett.30.1346.
DJ Gross a F. Wilczek (1973). Asymptoticky volné teorie měřidel. jeden". Phys. Rev. D. 8: 3633-3652. Bibcode:1973PhRvD…8.3633G. doi:10.1103/PhysRevD.8.3633..
G. 't Hooft (1999). "Kdy byla objevena asymptotická svoboda?". Nucl. Phys. B Proc. Suppl. 74:413-425. arXiv: hep-th/9808154. Bibcode:1999NuPhS..74..413T. doi:10.1016/S0920-5632(99)00207-8.
Pendleton, B.; Ross, G.G. (1981). „Hmotnost a předpovědi úhlu míšení z infračervených pevných bodů“. Phys. Lett. B98: 291. Bibcode:1981PhLB…98..291P. doi:10.1016/0370-2693(81)90017-4.
Hill, C. T. (1981). „Hmoty kvarku a leptonu z pevných bodů renormalizační skupiny“. Phys. Rev. D24: 691. Bibcode: 1981PhRvD..24..691H. doi:10.1103/PhysRevD.24.691.