Ocenění

Ocenění je zobecněním konceptu míry , obvykle definovaného na konvexních souborech euklidovského prostoru .

Definice

Dovolit být třída všech neprázdných kompaktních konvexních množin v . Ocenění na je funkce taková, že rovnost $K^n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K^n$ $v:K^{n}\to \mathbb {R}$

v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)

platí pro každou takovou , ${\displaystyle S,T\in K^{n))$ $S\cup T\in K^{n}$

Poznámky

Ocenění se nazývá spojité , pokud je spojité s ohledem na Hausdorffovu metriku .
Říká se, že ohodnocení je pohybově invariantní, pokud pro jakýkoli pohyb φ a jakýkoli pohyb $S\in K^{n}$ $v(S)=v(\phi (S))$

Příklady

Průměrná příčná míra

$k$ -tá průměrná příčná míra tělesa je definována jako průměrná -rozměrná plocha průmětů do -rozměrných rovin. $W_{k}(S)$ $S\in K^{n}$ $k$ $S$ $k$

Zejména,

$W_{n}(S)$ - objem , $S$
$W_{n-1}(S)$ je úměrná ploše . $S$
$W_{k}(\lambda \cdot S)=|\lambda |^{k}\cdot W_{k}(S)$

Ocenění Dirac

Diracovo ocenění bodu je definováno jako ${\displaystyle \delta _{x))$ $X$

\delta _{x}(U)={\begin{cases}0&{\text{if}}~x\notin U\\1&{\text{if}}~x\in U\end{ případy}}

Vlastnosti

Hadwigerův teorém : Jakékoli spojité oceňování, které je při pohybu invariantní, může být reprezentováno jako lineární kombinace křížových mír.
Jakékoli ocenění celočíselných polytopů, které je invariantní při celočíselných posunech a je vyjádřeno jako lineární kombinace koeficientů Earhartova polynomu . [jeden] $\mathrm {SL} (n,\mathbb {Z} )$

Literatura

Semyon Alesker Úvod do teorie oceňování na konvexních množinách Videozáznamy přednášek, Letní matematická škola "Algebra a geometrie" 25.–31. července 2014 Jaroslavl

Poznámky

↑ Betke, Ulrich; Kneser, Martin (1985) Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen, J. Reine Angew. Matematika. 358, 202-208.