Propojený prostor

Propojený prostor je neprázdný topologický prostor , který nelze rozdělit na dvě neprázdné neprotínající se otevřené podmnožiny.

Definice

Prázdné místo je považováno za odpojené.

Neprázdný topologický prostor se nazývá odpojený , pokud jej lze reprezentovat jako spojení dvou neprázdných neprotínajících se otevřených podmnožin .

Neprázdný topologický prostor, který není odpojen , se nazývá spojený .

Podmnožina topologického prostoru se nazývá spojená , pokud spolu s její indukovanou topologií tvoří souvislý prostor.

Ekvivalentní definice

Nechť X je topologický prostor. Pak jsou ekvivalentní následující podmínky:

X je připojeno.
X nelze rozdělit na dvě neprázdné neprotínající se uzavřené podmnožiny.
Jediné podmnožiny X , které jsou otevřené i uzavřené, jsou prázdná množina a celý prostor X . $\varno nic$
Jediné podmnožiny s prázdnou hranicí jsou prázdná množina a celý prostor X . $\varno nic$
X nelze reprezentovat jako spojení dvou neprázdných množin, z nichž každá neprotíná uzavření té druhé.
Jediné spojité funkce od X do dvoubodové množiny (s diskrétní topologií) jsou konstanty.

Související definice

Každá připojená podmnožina prostoru je obsažena v nějaké maximální spojené podmnožině. Takové maximální spojené podmnožiny se nazývají spojené komponenty ( spojené komponenty , komponenty ) prostoru . $X$ $X$
- Prostor, ve kterém se každá připojená součást skládá z jediného bodu, se nazývá zcela rozpojený . Příklady jsou libovolné prostory s diskrétní topologií, prostor racionálních čísel na reálné čáře a
Cantorova množina . $\mathbb {Q}$

Pokud existuje základ topologie prostoru , sestávající z připojených otevřených množin, pak topologie prostoru a samotný prostor (v této topologii) jsou lokálně propojeny .

X

X

X

Propojený kompaktní Hausdorffův prostor se nazývá kontinuum .

Prostor pro libovolné dva různé body , pro které existují otevřené disjunktní množiny a takové , se nazývá zcela oddělený .

X

X

y

U\ni x

V\ni y

X=U\cup V

Je zřejmé, že jakýkoli zcela oddělený prostor je zcela odpojen, ale obráceně to není pravda. Uvažujme sadu skládající se ze dvou kopií sady . Pravidlem zavedeme relaci ekvivalence a sestrojíme kvocientový prostor s kvocientovou topologií s ohledem na tuto relaci. Tento prostor bude zcela odpojen, ale pro dvě (z definice topologicky odlišné) kopie nuly neexistují žádné dvě otevřené množiny, které splňují definici zcela odděleného prostoru.

\mathbb {Q}

q\sim p\Leftrightarrow q=p,\;q\neq 0,\;p\neq 0

Vlastnosti

V libovolném topologickém prostoru jsou prázdná množina a jednobodové množiny spojeny. Někteří autoři však nepovažují prázdnou množinu za spojenou. (Někteří autoři jej však také nepovažují za soubor.)
V připojeném prostoru má každá podmnožina (kromě prázdné podmnožiny a celého prostoru) neprázdnou hranici .
- Podmnožiny s prázdnou hranicí jsou otevřené i uzavřené podmnožiny a nazývají se otevřené-uzavřené podmnožiny . V propojeném prostoru jsou všechny clopen podmnožiny triviální, buď prázdné, nebo se shodují s celým prostorem.
Obraz připojené množiny pod spojitým mapováním je připojen.
Spojitost prostoru je topologická vlastnost, tedy vlastnost, která je invariantní pod homeomorfismy .
Uzavření připojené podmnožiny je spojeno. $A$
- Kromě toho je také připojena jakákoli „mezilehlá“ podmnožina ( ). Jinými slovy, pokud je připojená podmnožina hustá v , pak je také připojena. $B$ $A\subset B \subset \bar{A}$ $A$ $B$ $B$
Dovolit být rodina spojených souborů, z nichž každý má neprázdný průsečík s připojeným souborem . Pak sada $\{A_{\alpha}\}$ $A$ $A\cup \left(\bigcup _{\alpha }A_{\alpha }\right)$

také připojeno. (To znamená, že pokud je k připojené sadě přilepena libovolná rodina spojených sad, spojení zůstane vždy připojeno.)

Součin spojených prostorů je propojen. Pokud je alespoň jeden z faktorů odpojen, produkt bude odpojen.
Každá složka prostoru je uzavřená množina. Různé složky prostoru nemají společné body. Spojené komponenty prostorové podmnožiny jsou maximálními spojenými podmnožinami množiny . $X$ $X$ $A$ $X$ $A$
Souvislé mapování z propojeného prostoru do zcela nespojeného prostoru se redukuje na mapování do jediného bodu.
Místně připojené prostory nemusí být připojeny a připojené prostory nemusí být připojeny lokálně.
V lokálně propojeném prostoru jsou připojené komponenty otevřené.
Jakýkoli prostor připojený k cestě je připojen.
- Opak není pravda; například uzávěr grafu funkce je souvislý, ale ne lineárně spojený (tato množina obsahuje segment na ose y). $\sin\tfrac1x$ $[-1,1]$

Příklady

Pseudooblouk je příkladem zcela lineárně rozpojeného kontinua.
Ventilátor Knaster-Kuratovský je příkladem tak propojené podmnožiny roviny, že odstraněním jednoho bodu z něj dojde k jeho úplnému odpojení .
Mandelbrotova množina je příkladem spojené množiny, u které není známo, zda je připojena cestou.

Variace a zobecnění

prostor spojený s cestou